[PDF] Lucian - Facultatea De Matematica Iasi

Sobre o Limite Exponencial Fundamental

Sobre o Limite Exponencial Fundamental Estamos de nindo o limite exponencial fundamental (LEF) como sendo o lim x+1 1 + 1 x x = e: Demonstra˘c~ao: Mostramos primeiro a exist^encia do limite para a sequ^encia x n = 1 + 1 n n Vamos mostrar por indu˘c~ao que essa sequ^encia e crescente e que e limitada por 3, i e , 3 e uma cota superior do

El numero´ e 1 Convergencia de la sucesi´on

Damos ahora demostraciones alternativas de los resultados de los Corolarios 1 1 y 1 3 y en consecuencia del Teorema 1 1 Lema 1 2 (Desigualdad de Bernoulli) Para todo x > ¡ 1 y todo n 2 IN vale que

4 Series,Taylor y límitesindeterminados

senn+1 n 3+n converge, ya que 0 senn+1 n +n 2 n y sabemos que å 2 n3 =2 å 1 n3 converge Ej å n+1 n2 diverge, pues n+1 n 2 1 y la armónica diverge de n+1 n2 1 n no sacaríamos nada Lo podemos afirmar sin el criterio: la suma de una åa n convergente y otra b n divergente es divergente (si convergiese, å[a n+b n] åa n =åb n

LIMITES DE SUITES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 TI CASIO II Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite

Límite de una sucesión numérica

Límite de una sucesión numérica Como una breve introducción presentamos un pequeño problema de células ideales, resuelto afortunadamente El cual dice lo siguiente: Demostrar que al año habrá (12)2 células, sabiendo que estas se reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un mes y

S¶equ^encias e S¶eries Inflnitas de Termos Constantes

Exemplo 4: Provar que a sequ^encia f1 ng tem limite L = 0 1 Usando o Teorema 1: f(n) = 1 n =) f(x) = 1 x =) lim f(x) x 1 = lim µ 1 x ¶ x 1 = 0 =) lim ffng n 1 = 0 2 Usando a Deflni»c~ao 2: Precisamos mostrar que para todo † > 0 existe um numero¶ N > 0 tal que se n for inteiro e se n > N ent~ao temos o seguinte: fl fl fl fl 1

6 Sucesiones y series

pág 3 a 7 = 1/7 ≈ 0 14 a 8 = 1/8 ≈ 0 12 a 9 = 1/9 ≈ 0 11 a 10 = 1/10 = 0 1 A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0 Si representamos los términos como puntos en una línea, esto

EJERCICIOS DE SUCESIONES NUMERICAS

4 Calcular el l mite de la sucesi on de t ermino general a n= p n2 + n+ 1 p 3n2 1 3n Soluci on Debido a la indeterminaci on 11 , procedemos as : L = l m n1 (p n2 + n+ 1 p 3n2 1) l m

Lucian - Facultatea De Matematica Iasi

Capitolul III: Limite de funct¸ii Continuitate Lect dr Lucian Maticiuc a) Suntem ˆın cazul de nedeterminare 11deoarece ax 1 +ax 2 + +ax n1+1+ +1 = n Vom folosi limita fundamentala cu˘ e

Capitolul 5 LIMITE DE FUNCTII¸

LIMITE DE FUNCTII¸ 5 1Limita unei func¸tii într-un punct Fie o func¸tie f : D RR Ne punem problema de a studia comportarea lui f în apropierea unui punct dat x0 2R, în sensul de a observa daca˘ pentru valori x ale argumentului apropiate de x0 valorile f(x) ale func¸tiei se apropie si¸ ele de o

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Capitolul III: Limite de funct¸ii. Continuitate. Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnic

a, Geodezie s¸i Ingineria Mediului

Matematici Superioare, Semestrul I,

Lector dr. Lucian MATICIUC

SEMINARUL 5.

Cap. IIILimite de funct¸ii. Continuitate

1. Folosinddefinit¸ia cu"¸sisa se arate calimx7!5=2(2x+ 1) = 6.

Rezolvare:

Aplic amDefinit¸ia: Funct¸iaf:E!Rare limital2Rˆın punctulx02R, daca pentru orice " >0, exista un numar(")>0a.ˆı. oricare ar fix2E,x6=x0cujxx0j< (")sa rezulte j f(x)lj< ". Deci vom lua" >0oarecare. Alegem, de exemplu,(") ="=2. Fie acumx2Ra.ˆı. j x5=2j< (") ="=2. Avem atunci j f(x)lj=j(2x+ 1)6j=j2x5j= 2jx5=2j<2"=2 =" adic a ceea ce trebuia demonstrat.

2. Fie funct¸iaf:R!R,f(x) =jxjx

,x6= 0. Sa se arate cafnu are limitaˆın punctulx0= 0.

Rezolvare:

Aplic amDefinit¸ia:

1) Numarullsestelimita la stˆangaa funct¸ieifˆın punctulx0adica avem

l s= limx%x

0f(x)sauls=f(x00)

daca ¸si numai daca pentru orice ¸sirxn!x0cuxn< x0avemf(xn)!ls.

2) Numarulldestelimita la dreaptaa funct¸ieifˆın punctulx0adica avem

l d= limx&x

0f(x)sauld=f(x0+ 0)

daca ¸si numai daca pentru orice ¸sirxn!x0cuxn> x0avemf(xn)!ld 3) ( Teorema de caracterizare a limitei cu ajutorul limitelor laterale ) Funct¸iafare limita ˆın x

0daca ¸si numai daca are ˆınx0limite laterale egale.ˆIn acest caz avemlimx!x0f(x) =f(x00) =

f(x0+ 0)

Vom alege (s¸tim c

a existaˆın mod evident) s¸irurilexn,yna.ˆı.xn,yn!0cuxn<0s¸iyn>0. Avem f(xn) =jxnjx n=xnx n=1! 1; pentruxn!0iar f(yn) =jynjy n=yny n= 1!1; pentruyn!0decils=f(x00) =1s¸ild=f(x0+ 0) = 1adica funct¸iafnu are limita

ın punctulx0= 0.

1Lucian Maticiuc

Capitolul III: Limite de funct¸ii. Continuitate. Lect. dr. Lucian Maticiuc 3. S a se determine constanta2Ra.ˆı. funct¸ia urmatoaresa aiba limitaˆın punctula= 1: f: (1=e2;2]!R,f(x) =( p

22xln(xe) +x2; x2(1=e2;1)

+x=2; x2[1;2].

Rezolvare:

Aplic amDefinit¸iile:

1) Numarullsspunem ca estelimita la stˆangaa funct¸ieifˆın punctulx0daca pentru orice" >0,

exista un numar(")>0a.ˆı. oricare ar fix2E,x6=x0cujxx0j< (")¸six < x0sa rezulte j f(x)lj< ". Vom nota culs=f(x00) = limx%x

0f(x).

2) Numarulldspunem ca estelimita la dreaptaa funct¸ieifˆın punctulx0daca pentru orice" >0,

exista un numar(")>0a.ˆı. oricare ar fix2E,x6=x0cujxx0j< (")¸six > x0sa rezulte j f(x)lj< ". Vom nota culd=f(x0+ 0) = limx&x

0f(x).

3)(Teorema de caracterizare a limitei cu ajutorul limitelor laterale) Funct¸iafare limita ˆın

x

0daca ¸si numai daca are ˆınx0limite laterale egale.ˆIn acest caz avemlimx!x

0f(x) =f(x00) =

f(x0+ 0) Vom calcula limitele lateralels=f(a0)s¸i respectivld=f(a+ 0)pentrua= 1. f(10) = limx%1f(x) = limx%1 p

22xln(xe) +x2

p

22ln(e) + 1 =p

22+ 1 =q(1)2=j1j

Pe de alt

a parte f(1 + 0) = limx&1f(x) = limx&1(+x=2) =+ 1=2:

Deci funct¸ia are limit

aˆın punctula= 1daca f(10) =f(1 + 0), j1j=+ 1=2:

Acum dac

a >1atunci avem1 =+ 1=2, contradict¸ie. Daca <1atunci avem

1=+ 1=2,1=2 = 2,= 1=4.

4. S a se calculezelimx!1(2 + sinx)lnx.

Rezolvare:

Aplic amcriteriul majorarii la infinit: Fie doua funct¸iif;ga.ˆı.limx!x

0g(x) =1. Presupunem ca

avem inegalitateaf(x)g(x). Atunci obt¸inem calimx!x0f(x) =1

S¸tim c

a j sinxj 1, 1sinx1;8x2R deci (2 + sinx)lnx(21)lnx= lnx ;8x >1 deunde, trec ˆandlalimita, obt¸inemcalimx!1(2 + sinx)lnxlimx!1lnxdecilimx!1(2 + sinx)lnx= 1

Observat¸ie

: am folosit urm atoarele limite lim x !1lnx=1;limx&0lnx=1

2Lucian Maticiuc

Capitolul III: Limite de funct¸ii. Continuitate. Lect. dr. Lucian Maticiuc 5. S a se studiezecontinuitateafunct¸ieif:R!R, f(x) =8 :e1x2; x6= 2 0 ; x= 2ˆ

ın punctula= 2.

Rezolvare:

Aplic amDefinit¸iile:

1) Funct¸iafeste continua la stˆanga ˆın punctulx0daca exista limita lateralaf(x00)ˆın acel

punct ¸si ea este egala cu valoarea funct¸iei ˆın punct (adicaf(x00) =f(x0)).

2) Funct¸iafeste continua la dreapta ˆın punctulx0daca exista limita lateralaf(x0+ 0)ˆın acel

punct ¸si ea este egala cu valoarea funct¸iei ˆın punct (adicaf(x0+ 0) =f(x0)).

3) Funct¸iafeste continua ˆın punctulx0daca ¸si numai daca este continua la stˆanga ¸si la dreapta ˆın

x

0(adica avemf(x00) =f(x0+ 0) =f(x0)).

Vom calcula limitele lateralels=f(a0)s¸i respectivld=f(a+ 0)pentrua= 2. f(20) = limx%2f(x) = limx%2e1x2

Darlimx%2(x2) = 0s¸i(x2)<0deci1x2

!10 =1deci f(20) = limx%2f(x) =elimx%21x2 =e1=1

Pe de alt

a parte f(2 + 0) = limx&2f(x) = limx&2e1x2

Darlimx&2(x2) = 0s¸i(x2)>0deci1x2

!10 +=1deci f(2 + 0) = limx&2f(x) =elimx&21x2 =e1= 0 adic af(20) =1,f(2 + 0) = 0,f(2) = 0deci, evident, funct¸ia nu este continuaˆın punctula= 2(ea nici macar nu are limitaˆın punctul2).

Observat¸ie

: am folosit limitele

1) Dac

alimx!x

0u(x) = 0;u(x)>0atuncilimx!x

01u(x)=10

+=1

2) Dac

alimx!x

0u(x) = 0;u(x)<0atuncilimx!x

01u(x)=10

=1

3) Dac

alimx!x

0u(x) =1atunci

lim x x

0eu(x)=1;limx!x

0eu(x)= 0

6. S

a se determine constanta2Ra.ˆı. funct¸iile urmatoare sa fiecontinueˆın punctele indicate:

a )f:R!R,f(x) =( sin(x+1)x+1 ; x >1 2 x+ 1; x 1,a=1 b )f:R!R,f(x) =((1 +x)1x ; x >0 x+e; x0,a= 0

Rezolvare:

3Lucian Maticiuc

Capitolul III: Limite de funct¸ii. Continuitate. Lect. dr. Lucian Maticiuc a f(10) = limx%1f(x) = limx%1sin(x+ 1)x+ 1=

Pe de alt

a parte f(1 + 0) = limx&1f(x) = limx&1(2x+ 1) =2+ 1 adic af(10) =,f(1 + 0) =2+ 1,f(1) =2+ 1deci, daca vrem ca funct¸ia s a fie continuaˆın punctula=1, atunci trebuie caf(x00) =f(x0+ 0) =f(x0)adica =2+ 1,= 1=3. b f(00) = limx%0f(x) = limx%0(x+e) =e

Pe de alt

a parte f(0 + 0) = limx&0f(x) = limx&0(1 +x)1x = lim x 0h (1 +x)1x i=e adic af(00) =e,f(0 + 0) =e,f(0) =edeci, daca vrem ca funct¸ia sa fie continuaˆın punctula= 0, atunci trebuie caf(x00) =f(x0+ 0) =f(x0)adica= 1.

Observat¸ie

: am folosit limita lim x x

0sinu(x)u(x)= 1

pentrulimx!x

0u(x) = 0

7. S a se studiezecontinuitatea lateralapentru funct¸iaf:R!R, f(x) =8 :2 x

11x1; x <1

ln(1 +x); x1ˆ

ın punctula= 1.

Rezolvare:

(pentru teorie vezi exercit¸iul 7.) Deci f(10) = limx%1f(x) = limx%12 x

11x1= limy%12

y1y = ln2

Pe de alt

a parte f(1 + 0) = limx&1f(x) = limx&1ln(1 +x) = ln2 adic af(10) = ln2,f(1 + 0) = ln2,f(1) = ln2deci funct¸ia este continuaˆın punctul a= 1. 8. S a se calculeze limitele: a ) lim x 0 ax1+ax2++axnn

1sinx,b) limx!0(1 + sin3x)19x

c ) lim x

1ln(1 +tg(x+ 1))ln(1 + sin(x+ 1)),d) limx!1e

sin3( x

1)12(x1),d) limx&0xlnx,e) limx&0xx.

Rezolvare:

4Lucian Maticiuc

Capitolul III: Limite de funct¸ii. Continuitate. Lect. dr. Lucian Maticiuc a )Suntemˆın cazul de nedeterminare11deoareceax1+ax2++axn!1 + 1 ++ 1 =n . Vom folosi limita fundamental a cue. ax

1+ax2++axnn

1sinx=h

1 +ax1+ax2++axnn

1i 1sinx h

1 +(ax11)+(ax21)++(axn1)n

i n( ax11)+(ax21)++(axn1) (ax11)++(axn1)nsinx Deci lim x 0 ax1+ax2++axnn

1sinx=elimx!0(

ax11)++(axn1)nsinx Dar limx!0(ax

11)++(axn1)nsinx= limx!0

ax11x +ax21x ++axn1x xnsinx = lim x 0 ax11x +ax21x ++axn1x limx!0xnsinx = (lna1+ lna2++ lnan)1n =1n ln( a1an) = lnnpa 1an Deci lim x 0 ax1+ax2++axnn

1sinx=elnnpa

1an=npa

1an b lim x

0(1 + sin3x)19x

=(nedeterminarea11)= limx!0(1 + sin3x)19x = lim x 0h (1 + sin3 x )1sin 3x i sin 3 x9x =elimx!0sin 3x9x =e13 limx!0sin 3x3x =e13 c lim x

1ln(1 +tg(x+ 1))ln(1 + sin(x+ 1))= limx!1ln(1 +tg(x+ 1))1 +tg(x+ 1)

1 + sin(

x+ 1)ln(1 + sin(x+ 1))1 +tg(x+ 1)1 + sin(x+ 1)= 111 +tg01 + sin0 = 1 d)Facem schimbareax=1y ,y=1x deci x&0,y!10 +=1 Deci lim x

0xlnx= limy!11y

ln1y = limy!11y lny) =limy!1lnyy = 0 e lim x

0xx= limx&0elnxx= limx&0exlnx=elimx&0xlnx=e0= 1

Observat¸ie

: am folosit limitele fundamentale lim xquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10