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Formes indéterminées - MATHEMATIQUES

Polynômes, fonctions rationnelles • La limite d’un polynôme en +∞ ou −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré • La limite d’une fonction rationnelle en +∞ ou −∞ est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré Nombres dérivés Les limites suivantes sont fournies dans le cours

I Les limites

Il existe deux formes indéterminées de limites de fonctions : 0 0 et f f Pour trouver la limite de fonctions comme ceci, il suffit de changer la forme de la fonction soit en factorisant et simplifiant ou en trouvant une fonction équivalente 1 La forme indéterminée de Il y a plusieurs façons de changer la forme de ces fonctions afin de les

Introduction au calcul, 12 e année - edugovmbca

QQ somme ou différence de fonctions QQ produit ou quotient de fonctions QQ puissance d’une fonction QQ Utiliser les théorèmes des limites pour déterminer la limite de fonctions par substitution directe IC 1 2 Évaluer des limites pour analyser des fonctions Q Expliquer pourquoi 0 0 est appelé une forme indéterminée

CALCUL INTÉGRAL : MÉTHODES GÉNÉRALES R

On en déduit une expression de π, comme limite de suite, d’où une possibilité de calcul approché : 1 2 4 6 2 2 lim p 1 3 5 (2 1) p pp π →+∞ = − valeurs numériques : pour p = 5, on obtient 3,30 pour p = 10, on obtient 3,15 Relation de récurrence entre les intégrales indéfinies 2 n (1)n dx Ix x = ∫ + Pour tout n entier

Histoire des fonctions - académie de Caen

que la notion de fonction était seulement en train de prendre forme C’est Leibniz en 1673 qui introduisit son terme : « J'appelle fonctions toutes les portions des lignes droites, qu'on fait en menant des droites indéfinies, qui répondent au point fixe, et aux points de la courbe

A DENJOY Surlesfonctionsdérivéessommables

fonction de l'espèce dite prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs particulières, et, second caractère, elle est limite de fonctions continues Ces deux propriétés créent déjà une analogie profonde de ces fonctions avec les dérivées Il y a plus : toute fonction approximativement continue bornée est une fonction dérivée

T VISA BAC E R M A T H S

Dans un calcul de limite, si on obtient « + ∞ - ∞ » ou « 0 ∞ » ou « ∞ ∞ » ou « 0 0 », alors on a une forme indéterminée Pour lever l’indétermination, on fait une transformation d’écriture Formes indéfinies Dans un calcul de limite d’un quotient, si on obtient « 0 » , avec

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Limite supérieure et limite inférieure d'une suite réelle 78 § 8 PROPRIETES LES FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT 78 Continuité uniforme 85 § 9 ESPACES CONNEXES 87 Espaces connexes par arcs 90 § 10 COMPLEMENTS LE TOPOLOGIE GENERALE SUR LES ESPACES CONNEXES 91 Quelques applications de la notion de connexité 92 Existence et

CONTENU DU COURS - sitesnbednbca

Composition de fonctions Réciproque d’une fonction o Fonctions biunivoques o Domaine et image de la réciproque Notion de limite o Calcule de limites, forme indéterminée Continuité Bloc 1 : Évaluation début avril 2016 (28 de la note finale) Définition de la dérivée o Taux de variation moyen o Taux de variation instantané Règles de

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LaurentSchwartz

Professeuràl'EcolePolytechnique

et

àlaFacultédesSciencesdeParis

nalvs wÊËÊmmÊm liii mÊÊmWPlinpr %J

MATHÉMATIQUE

Cours professé

àl'EcolePolytechnique,Paris

I

Hermann

115boulevardSaint-GermainParisVI

VIII

Quotientd'un

groupeparun sous-groupe invariant 14

Quotientd'un

espace vectoriel par unsous espace vectoriel15

§4RELATIONSD'ORDRE16

Exemples

derelationd'ordre17

Parties

majorées,majorants,maximum, bor¬ ne supérieure19

Fonctionscroissantes20

DroiteachevéeR22

§5PUISSANCES.ENSEMBLESDENOMBRABLES

22

Puissances.Cardinaux23

Ensemblesdénombrables27

Puissanceducontinu29

Nombrestranscendants

30

Hypothèse

ducontinu32

§6QUELQUESPRINCIPESDELOGIQUE32

TABLE

Chapitre

II

TOPOLOGIE

37

Sphères,boules38

Espaces

vectorielsnormés39

2OUVERTS.FERMES.VOISINAGES.INTERIEUR.

Partiesouvertes41

Partiesfermées43

Voisinages

».44

Intérieur46

Extérieur46

Frontière46

Adhérence47

Sous-ensemblesdenses

48

Sous-espace.Métrique

induite48

Homéomorphismes

52
54

Topologie

deladroite achevéeK58 X

§5SUITES.LIMITES»CONVERGENCES59

6

TOPOLOGIEPRODUIT62

Suites

convergentes dansun produit 64

Ponctionscontinuesde

plusieurs variables64

Groupestopologiques,espaces

vectoriels topologiques 65

Continuité

partielle d'unefonctiondedeux variables66

Espacestotalementcompacts73

Pointd'accumulationd'unesuite74

Limite

supérieure etlimiteinférieure d'unesuiteréelle78

8PROPRIETESLESFONCTIONSCONTINUESSURUN

ESPACE

COMPACT78

Continuitéuniforme85

§9

ESPACESCONNEXES87

Espaces

connexespararcs90

§10

COMPLEMENTSLETOPOLOGIEGENERALESURLES

ESPACESCONNEXES

91

Quelquesapplications

delanotionde connexité92 ciproque d'unefonctionstrictementmonoto¬ necontinue92

§11ESPACES

METRIQUES

COMPLETS

94

Prolongement

des applications uniformément continues98 XI

Priorités

particulières aux espaces vectoriels topologiques dedimensionfinie100

12THEOREMEDUPOINTFIXE101

§13

THEORIEELEMENTAIREDESESPACESVECTORIELS

NORMESETDESESPACESDEBANACH104

Noyau et image d'une application linéaire continue 106

Produitsd'espaces

vectorielsnormés112

Applications

"bilinéairescontinuesd'un produitd'espace vectorielnormédansun espace vectorielnormé 114

Applications

multilinéairescontinues....119

§14

SERIESDANSLESESPACESVECTORIELSNORMES120

Changement

d'ordredestermesd'unesérie123

Produitdedeuxsériesnumériques.

Effet d'une application "bilinéairecontinuesur deux séries.129

Critèredesemi

-convergence 133

CONVERGENCESIMPLEETUNIFORME137

Convergence

uniformed'unesuitede fonctions 141

Autres

emplois del'expression :conver¬ gence uniforme 143

Espaces

faisantintervenir

àlafoisla

structuredeEetlastructuredeF....145

Sériesdefonctions

àvaleursdansunes¬

pace vectorielnormé 151
XII

16PRODUITSINFINISDENOMBRESOUDEFONCTIONS

REELS

OUCOMPLEXES155

Produitinfinietsériedes

logarithmes 156

Produitsinfinisdefonctionsréellesou

complexes 159

Application

àlafonction

deRiemann....160 TABLE

Chapitre

III

CALCULDIFFERENTIEL

§1ESPACESAFFINES167

Définition168

Variétésaffines

169

Applicationslinéaires,applications

affines..170

Espaces

affinesnormés 172

Ensemblesconvexesdansles

espaces affines ...17^

Espaces

vectorielsetaffineseuclidiens 175

Espaces

vectorielsetaffineshermitiens176

Isomorphisme

(ousemi-isomorphisme) d'un espace euclidien(ou hermitien)dedimensionfiniet de sondual»178

Basesorthonormales179

Espaces

euclidiensouhermitiens généralisés.. l8l

§2FONCTIONSREELLESD'UNEVARIABLEREELLE

CONTINUITEADROITE,

AGAUCHE184

Discontinuitésdepremièreespèce.

Fonctions

réglées 184

Dérivéed'unefonction

réelledevariableréelle186

Fonctionsconvexes192

XIV

DANSUNAUTRE.VECTEURDERIVED'UNEFONCTION

D'UNEVARIABLESCALAIRE.192quarte

Dérivée

partielle suivantunvecteur195

Matricedérivée.Déterminant

jacobien195

Dérivéetotaleou

application dérivée 197

Interprétationgéométrique

de l'applicationdé¬ linéaire tangente 201

Gradientd'unefonctionréellesurun

espace euclidien204

Dérivée

d'une application bilinéaire continue..209 dérivables 211

Espaces

defonctionsdérivables212 4

THEOREMEDESFONCTIONSCOMPOSEES2l4

§5FORMULEDESACCROISSEMENTSFINIS2?2

6

DERIVEESD'ORDRESUPERIEUR24l

Dérivéessuccessives245

Cas d'espacesproduits :Dérivabilitétotaleet dérivabilité partielle250

Espaces

defonctionsm,foisdérivables 251

Dérivéesd'un

produit(formulesquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10