Exponentielles et logarithmes - Yannick Delbecque
Note 8 2 Les propriétés des logarithmes (b) et (c) sont équivalente au fait que le logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle Note 8 3 La propriété (d) est la raison pour laquelle les logarithme ont été introduit histori-quement : le logarithme d’un produit devient une somme Comme calculer la somme de deux
4 Exponentielle et logarithme - univ-reunionfr
Lien exponentielle et logarithme La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y =x)
EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
3 Le logarithme n´ep ´erien comme fonction r eciproque de´ l’exponentielle La fonction exp est d´erivable a d´eriv´ee strictement positive, donc strictement croissante, de limites 0 en −∞ et +∞ en +∞ Elle admet une fonction r´eciproque]0,+∞[, que l’on appelle le logarithme n´ep´erien et que l’on note « log », ou
EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES - unistrafr
EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES METHODE D’EULER´ OLIVIER DEBARRE – NICOLE BOPP Table des mati`eres 1 L’exponentielle comme solution d’une ´equation diff´erentielle 1 2 Caract´erisation de l’exponentielle par une ´equation fonctionnelle 4 3 Le logarithme n´ep´erien comme fonction r´eciproque de l’exponentielle 5 4
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME I Définition de la fonction exponentielle Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que "=" et "(0)=1 Cette fonction s’appelle fonction exponentielle et se note exp
Chapitre 1 Exponentielle et logarithme népérien
Exponentielle et logarithme népérien • 9 2 La fonction logarithme népérien La définition La fonction logarithme népérien f x= x() ln sur ]0;+¥[ est définie comme la fonction donnant l’unique solution de l’équation e =xy pour x> 0 D’où e =x y= xy ssi ln On a aussi la dérivée de cette fonction : ( ) 1 lnx'= x Le graphique
FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1 De la
1 De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1 1 Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur et : lim x→−∞ ex = 0 et lim x→+∞ ex = +∞ Démonstration : • Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y
Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour
Les limites et la fonction exponentielle Déterminer la limite en +∞ de f(x) = x(e−x + 3e−2x) Par calcul direct , on a une forme indéterminée , développons f :
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques
1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci- contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie « Mirifici
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Exponentielleetlogarithme
Terminale S
Courbes représentatives
-1 -2 -31 2341 2 3 4 5-1-2-3-4-50
y= ln(x) e y= exp(x)? ?eFonction exponentielle
f(x) = exp(x) =ex définie surRà valeurs dans]0; +∞[
e 0= 1 e1=e≈2,718
(ex)?=ex (eu)?=u?eu lim x→-∞ex= 0+ lim x→+∞ex= +∞Fonction logarithme
f(x) = ln(x) définie sur]0; +∞[à valeurs dansR
ln(1) = 0 ln(e) = 1 (ln(x))?=1 x (ln(u))?=u? u lim x→0+ln(x) =-∞ lim x→+∞ln(x) = +∞Propriétés des exponentielles
a,betnsont des réels : ?Produit : ea×eb=ea+b ?Inverse :1 ea=e-a ?Quotient :ea eb=ea-b ?Puissance :(ea)n=ean ?Racine carrée : e12=⎷e
Propriétés des logarithmes
aetbsont des réels strictement positifs,nest un réel : ?Produit :ln(ab) = ln(a) + ln(b) ?Inverse :ln?1 a? =-ln(a) ?Quotient :ln?a b? = ln(a)-ln(b) ?Puissance :ln(an) =nln(a) ?Racine carrée :ln(⎷ a) =12ln(a)Lien exponentielleet logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes
représentatives sont symétriques par rapport à la premièrebissectrice (y=x) ?ln(expx) =xln(ex) =x ?exp(lnx) =xeln(x)=x ?expx=y??x= ln(y)ex=y??x= ln(y) ?xy= exp(yln(x))xy=eyln(x) Équations et d"inéquations avec des exponentielles u,vsont des réels,λest un réel strictement positif : ?eu=ev??u=veu=λ??u= ln(λ) ?eu>ev??u > veu> λ??u >ln(λ) Équations et d"inéquations avec des logarithmes u,vsont des réels strictement positifs,λest un réel : ?ln(u) = ln(v)??u=vln(u) =λ??u=eλ ?ln(u)>ln(v)??u > vln(u)> λ??u >eλ Croissance comparée et limites particulières limx→-∞xex= 0 limx→+∞e xx= +∞limx→0e x-1x= 1 limx→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x)x= 0 limx→0ln(1 +x)x= 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47