2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

Limites usuelles des fonctions trigonométriques pdf Lorsque vous obtenez 0/0 lors du calcul de la limite de fonction de trigonométrie (sin x, cos x ou tan x), vous devez utiliser les deux formules ci-dessous pour augmenter l’inghaminealité (voir tableau récapitulatif des différentes méthodes de résolution des cas non spécifiés)

Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

sin′ x =cosx et cos PAUL MILAN 4 TERMINALE S 3 2 APPLICATION AUX CALCULS DE LIMITES Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction suivante : f(x)=cos2x +cos2 x

Développement limité des fonctions trigonométriques : 1)

Les D L de 1− x et 1− x 1 s’obtiennent en faisant le changement de variable x=-t Développement limité des fonctions trigonométriques : 1) Fonction cosinus : Soit f (x)=cos x On sait que f est indéfiniment dérivable sur IR et on a : π ∀ ∈ = + 2 n( ) ; ( ) cos n IN f x x n D’où 2 ( ) (0) cos π f n = n

Fonctions usuelles – Limites

Soit f une fonction de I dans Y et a ∈ I On dit que f est continue en a si et seulement si la limite de f(x) quand x tends vers a existe et vaut f(a) f continue en a lim ( ) ( ) x a f x f a → ⇔ = • Théorème d’encadrement (des gendarmes) : Soit f, g et h trois fonctions et a ∈ I

2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

2 8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques Théorème 14 : D’après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, ona: lim x→0 sinx x = 1 et lim x→0 cosx −1 x = 0 Pré-requis : Dérivées des fonctions sinus et cosinus Démonstration : On revient à la déﬁnition du nombre dérivée en 0 sin′ 0 = lim x

LIMITE ET CONTINUITE - alloschoolcom

COMPLEMENTS (limite à droite et à gauche et opérations sur les limites) et 1)Résultats Soient ???? et Q deux fonction polynôme et x 0 et a alors : 1) lim P x P x 0 0 xxo 2) 0 0 0 lim xx P x P x o Q x Q x si Qx 0 z 0 3) 0 limsin sin 0 xx xx o 4) 0 lim cos cos 0 xx xx o o o 5) 0 lim tan tan 0 xx xx o si 0 2 xk S z S k 6) 0 lim 0 xx xx o x si

Formulaire de trigonométrie circulaire - PROBLEMES ET SOLUTIONS

Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers en fonction de t=tan(x/2) cosp +cosq = 2cos p +q 2 cos p−q 2 cosx = 1 −t2 1 +t2 1+cosx = 2cos2 x 2

Chapter 1 Limites et Equivalents - INP Toulouse

Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu’une fonction f(x) tend vers ±∞ou vers 0 lorsque xest voisin de x0 ne suﬃt pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quelle vitesse cette convergence a lieu ou encore d’être capable de comparer la façon de converger de plusieurs fonctions Par exemple, les fonctions f(x)=x

LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool

et 2 2 21 1 3 x g x x x 31 2 x kx xx et 3 ²1 sin x h x x x 1)Déterminer : 2 lim x fx et lim x fx 2)Déterminer : lim x gx et x 3 3)Déterminer : 0 lim x hx 4)Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de k Solution : 1)Déterminer : et 2 lim2 1 5 x x et 2 2 lim 3 10 x xx Donc : 2 lim 5 10 10 5 x fx lim 2 1 lim 2 xx xx Donc

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

cos(x) R sin(x) sin(x) R cos(x) tan(x) ] et celles-ci imposent toujours leur limites en 0+ ou +1au logarithme Fonctions circulaires réciproques

Unicitédelafonctionexponentielle

Théo Il existeune uniquefonction fdérivable surRtelle que: f =fetf(0)=1

Onnomme cettefonction exponentielleet onla note: expDémonstration :L"existencede cettefonction estadmise.

Démontronsl"unicité.

La fonctionexponentielle nes"annule passur R.

Soit lafonction ?définie surRpar :?

(x)=f(x)f(x). Montronsque lafonction ?est constante.Pour celadérivons ?. (x)=f (x)f(x)f(x)f (x)

Commef

=f,ona: =f(x)f(x)f(x)f(x) 0

Comme?

=0 alorsla fonction?est constante.Donc : xR?(x)=?(0)=f 2 (0)=1

On endéduit alors: f

(x)f(x)=1, doncla fonctionfne peuts"annuler .

Unicité

On supposeque deuxfonctions fetgvérifientles conditionsdu théorème,soit f=f ,g =getf(0)=g(0)=1. Lafonction gne s"annuledonc pas,on définit alors surRla fonctionhparh f. Ondérive h: h f gfg g 2 fgfg 2 =0

La fonctionhest doncconstante eth

(x)= f( 0) g(0)= 1

On adonc :

xR,f (x) g(x)= 1.

On endéduit quef

=g.L"unicité estainsi prouvé.

2. Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

2.2 Relationfonctionnelle del"exponentielle

Théo Soitaetbdeux réels,on aalors :

exp (a+b)=exp(a)exp(b) Remarque :Cette relations"appellela relation fonctionnellecar onpourraitdé- finir l"exponentielleà partirde cettepr opriétépour retr ouverquel"exponentielle est égaleà sadérivée.

Démonstration :Posons lafonction h

(x)= exp(x+a) exp(a) M ontronsalors quela fonctionhn"est autrequela fonctionexponentielle. Ilsuf fit alors deMontr erqueh =heth(0)=1: h (x)= exp (x+a) exp(a)= e xp(x+a) exp(a)= h(x) h(0)= exp(0+a) exp(a)= 1 L a fonctionhest doncla fonctionexponentielle. Onen déduitalors : exp (x+a) exp(a)= e xp(x)exp(x+a)=exp(x)exp(a)

2.3 Limitesen l"infinide l"exponentielle

Théo On ales limitessuivantes :

l im x+∞ e x =+∞et lim x∞ e x =0 Démonstration :Soit lafonction fsuivante :f(x)=e x x.

Dérivons lafonction f:f

(x)=e x 1 Comme lafonction exponentielleest strictementcr oissante,on a: f (x)0x0 etf (x)0x0

On obtientalors letableau devariation suivant:

x f (x) f(x) ∞0+∞ 0+ 1 xRf(x)0donce x x or onsait quelim x+∞ x=+∞par comparaisonon a: lim x+∞ e x

En faisantle changementde variableX

=x, onobtient : lim x∞ e x =lim

X+∞

e X =lim

X+∞

1 e X =0

2.4 Limitesde référencede l"exponentielle

Théo On a: lim

x0 e x 1 x =1 Démonstration :La démonstrationdécoule dela définitionde ladérivée en0 appliquée àla fonctione x lim x0 e x e 0 x =exp (0)=exp(0)=1

Théo Croissance comparée

l im x+∞ e x =+∞et lim x∞ xe x =0

Démonstration :Comme pourla limitede e

x en+∞, onétudie lesvariation d"une fonction.Soit doncla fonctiongdéfinie surRpar : g (x)=e x x 2 g :g (x)=e x x

D"après leparagraphe 2.3,on a:

xRe x xdoncg (x)0

La fonctiongest donccr oissantesurR.

Org (0)=1 doncsi x0 alorsg(x)0. Onen déduitdonc que: x

0g(x)0e

x x 2 e x x 2 O n saitque lim x+∞ x 2 =+∞, parcomparaison, ona : lim x+∞ e x Pour ladeuxième limite,on faitun changementde variableX =x, onobtient alors : lim x∞ xe x =lim

X+∞

(X)e X =lim

X+∞

X =0 C onséquence: lafonction exponentielle" l"emporte» surla fonctionx.

2.5 Logarithmedu produit

Théo Pour tousréels strictementpositifs aetb,ona: lnab =lna+lnb Démonstration :D"après lespr opriétésdel"exponentielle,on a: e a =e b a=b Ore lnab =abete lna+lnb =e lna e lnb =ab

On conclutdonc queln ab

=lna+lnb. Remarque :C"est cettepr opriétéquiestà l"originede lafonction logarithme.

2.6 Limitesde lafonction logarithmeen 0et enl"infini

Théo On ales limitessuivantes :

l im x+∞ lnx=+∞et lim x0 lnx=∞

Démonstration :

Pour montrerlalimite en

+∞,on revientàla définition:

Pour toutM

0, siln xMalors, commela fonctionexp estcr oissante,

x e M

Il existedonc unréel A

=e M tel quesi xAalors lnxM.

Conclusion :lim

x+∞ lnx=+∞. Pour ladeuxième limite,on faitun changementde variable.On poseX 1 x. D onc six 0 alorsX+∞. Ona alors: lim x0 lnx=lim

X+∞

ln1 X =lim

X+∞

lnX=∞

2.7 Croissancecomparée

Théo Croissance comparée

l im x+∞ lnx =0et lim x0 xlnx=0

Pré-requis :lim

x+∞ e x

Démonstration :

Pour lapr emèrelimite,onfaitun changementde variable.On pose:X =lnx, on aalors x =e X . Ona alors: x +∞alorsX+∞

Notrelimite devientalors :

lim x+∞ lnx =lim

X+∞

X =0car lim x+∞ e x Pour ladeuxième limite,on faitle changementde variablesuivant :X 1 x.On a alors: x 0 alorsX+∞

La deuxièmelimite devientalors :

lim x0 xlnx=lim

X+∞

1 Xln1X =lim

X+∞

lnX =0 R emarque :On peutdir eque:" xl"emporte surln xen

2.8 Limiteset dérivéesdes fonctionstrigonométriques

Théo D"après lesfonctions dérivéesdes fonctionssinus etcosinus, o na: lim x0 sinx =1et lim x0 cosx1 x =0 Pré-requis :Dérivées desfonctions sinuset cosinus. Démonstration :On revientàla définitiondu nombre dérivéeen 0. sin 0=lim x0 sinhsin0 h =lim h0 sinh o r onsait que: sin

0=cos0=1 donclim

h0 sinh =1 d e même,on a: cos 0=lim h0 coshcos0 h =lim h0 cosh1 h o r onsait que: cos

0=sin0=0 donclim

h0 cosh1 h =0

2.9 Théorèmefondamental del"intégration

Théo Soit unefonction fcontinue etpositive surun intervalle[a;b].

La fonctionFdéfinie par: F

(x)= x a f(t)dtest dérivablesur [a;b]etF =f Démonstration :Dans lecas oùfest croissantesur[a;b](On admetce théo- rème dansle casgénéral). On revientàla définitionde ladérivée, ilfaut montrer quesi x 0 [a;b]: lim h0 F(x 0 +h)F(x 0 h =f(x 0 1 e r cas:h0, ona : F (x 0 +h)F(x 0quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] 2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

Unicitédelafonctionexponentielle

Démontronsl"unicité.

La fonctionexponentielle nes"annule passur R.

Soit lafonction ?définie surRpar :?

Commef

Comme?

On endéduit alors: f

Unicité

La fonctionhest doncconstante eth

On adonc :

On endéduit quef

2. Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales

2.2 Relationfonctionnelle del"exponentielle

Théo Soitaetbdeux réels,on aalors :

Démonstration :Posons lafonction h

2.3 Limitesen l"infinide l"exponentielle

Théo On ales limitessuivantes :

Dérivons lafonction f:f

On obtientalors letableau devariation suivant:

En faisantle changementde variableX

X+∞

X+∞

2.4 Limitesde référencede l"exponentielle

Théo On a: lim

Théo Croissance comparée

Démonstration :Comme pourla limitede e

D"après leparagraphe 2.3,on a:

La fonctiongest donccr oissantesurR.

0g(x)0e

X+∞

X+∞

2.5 Logarithmedu produit

On conclutdonc queln ab

2.6 Limitesde lafonction logarithmeen 0et enl"infini

Théo On ales limitessuivantes :

Démonstration :

Pour montrerlalimite en

Pour toutM

0, siln xMalors, commela fonctionexp estcr oissante,

Il existedonc unréel A

Conclusion :lim

X+∞

X+∞

2.7 Croissancecomparée

Théo Croissance comparée

Pré-requis :lim

Démonstration :

Notrelimite devientalors :

X+∞

La deuxièmelimite devientalors :

X+∞

X+∞

2.8 Limiteset dérivéesdes fonctionstrigonométriques

0=cos0=1 donclim

0=sin0=0 donclim

2.9 Théorèmefondamental del"intégration

La fonctionFdéfinie par: F