Limites de suites

CH6 - Limites de suites Proposition 1 (Unicité de la limite) Si une suite (un) est convergente alors il exite un unique réel L vers lequel elle converge On dit alors que L est la limite de la suite (un) et on note : lim n→+∞ un = L Théorème 1 Soit L un réel et f une fonction déﬁnie sur [n0;+∞[ où n0 est un entier naturel

TS Limites de suites (3)

V Bilan sur la limite d’une suite monotone VI Détermination de la limite d’une suite récurrente VII Étude d’une suite du type u f un n 1 VIII Appendice : unicité de la limite d’un suite convergente I Rappels sur les suites majorées, minorées, bornées 1°) Définition 1 (suite majorée, minorée, bornée)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D UNE SUITE

Une suite majorée par 2 l’est aussi par 3, π, 15 Par ailleurs : Les majorants d’une suite sont par déﬁnition des constantes Une majoration de un par un réel QUI DÉPEND DE n NE montre PAS que la suite (un)n∈Nest majorée Pour montrer qu’une suite (un)n∈Nest monotone, deux méthodes courantes : — étudier le signe de un+1

Limites de suites - mathgmfr

Limites de suites Les savoir-faire 30 Déterminer une limite en utilisant la déﬁnition 31 Étudier la limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient 32 Déterminer une limite par minoration, majoration, encadrement 33 Connaître et utiliser le théorème de convergence des suites monotones 34

Limites des Suites Numériques - davanefr

Une suite ne possède pas forcément une limite : u n =(−1)n et v n =sin(n) par exemples Définition : Suite convergente ou divergente Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie Une suite non convergente est dite divergente Propriété : Unicité de la limite Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique Preuve :

Limites de suites - pagesperso-orangefr

Théorème Unicité de la limite - Ge

Théorème):Unicitédelalimite)) Soitf unefonctiondéfinieauvoisinagedea Si f est une fonction qui admet la limite L en a Alors f ne peut pas s’approcher d’une

Suites : récurrence, limites

VUne suite décroissante est majorée par son premier terme : un •¢¢¢•u2 •u1 •u0 Remarques VDans ces déﬁnitions, M et m sont des nombres réels indépendants de n VSi une suite est majorée par M, elle a une inﬁnité de majorants, en particulier tous les nombres supérieurs à M le sont aussi

Analyse I : suites, limites et continuité - Page dIgor

Analyse I : suites, limites et continuité Maxime Legrand ENS - 7 décembre 2013 http ://matholympia blogspot fr/ 1 Petitsrappelssurlesquantiﬁcateurs

Chapitre 3Limites de suites

Les savoir-faire

30.Déterminer une limite en utilisant la définition.

31.Étudier la limite d"une somme, d"un produit et d"un quotient.

32.Déterminer une limite par minoration, majoration, encadrement.

33.Connaître et utiliser le théorème de convergence des suitesmonotones.

34.Déterminer la limite éventuelle d"une suite géométrique.

35.Déterminer un seuil à l"aide d"un algorithme.

I. Convergence d"une suite

Introduction :

Étudier la convergence d"une suite (un), c"est examiner le comportement des termesunquandntend vers +∞.

1. Limite finie

On dit que la suite (un) tend vers?(ou converge vers?), si tout intervalle ouvert I contenant?contient tous

les termes de la suite à partir d"un certain rang. Autrement dit, pour toutε >0, il existe un entiern0tel que : sin?n0alors?-ε < un< ?+ε

Définition

0 un nn0

2. Unicité de la limite

Si une suite (un) a une limite finie?quandntend vers +∞, alors cette limite est unique. On note limn→+∞un=?.

Propriétés

II. Suite divergente

1. Suites divergentes

Une suite qui n"est pas convergente est dite divergente.

Définition

2. Limite infinie

Une suite (un) tend vers +∞, si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[ avecA?R, contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rang. Autrement dit, pour tout réelA, il existe un entiern0tel que : sin?n0alorsun> A.

On note limn→+∞un= +∞.

Définition

0n0n un A

Une suite (un) tend vers-∞, si tout intervalle ouvert de la forme ]- ∞;A[ avecA?R, contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rang. Autrement dit, pour tout réel A, il existe un entiern0tel que : sin?n0alorsun< A.

On note limn→+∞un=-∞.

Définition

0n0 n un A

3. Suites sans limite

Certaines suites n"ont pas de limite.

Par exemple, la suiteudéfinie parun= sinnpourn?0 et représentée ci-dessous n"a pas de limite quandn

tend vers +∞. -1 -0.5 0.5 1

20406080100nu

Autre exemple :

La suite (un) définie parun= (-1)nn"admet pas de limite.

Définition

III. Calcul d"une limite de suite

1. Opérations sur les limites

limn→+∞un+vn. limn→+∞un→ lim n→+∞vn b?R+∞-∞ a?Ra+b+∞-∞ Somme limn→+∞un×vn. limn→+∞un→ lim n→+∞vn

0b?R?+∞-∞

000?? a?R?0ab±∞±∞

Produit

limn→+∞u nvn. limn→+∞un→ lim n→+∞vn

0a?R?+∞-∞

0?±∞±∞±∞

b?R?0a b±∞±∞ +∞00?? -∞00??

Quotient

Il y a quatre formes indéterminées pour lesquelles on ne peutconclure directement :∞ - ∞,∞ ×0,0

0,∞

Formes indéterminées

Exemple :1.Calculer les limite suivantes :

lim n→+∞(n2+n) limn→+∞? 1 ⎷n+ 1? (n2+ 3) limn→+∞2n2+ 3Vidéo

2.Calculer limn→+∞(n-3⎷n).Vidéo

3.Calculer limn→+∞5n2+ 44n2+ 3n. .Vidéo

4.Calculer limn→+∞3n2+nn+ 3.Vidéo

5.Calculer limn→+∞(⎷n+ 2-⎷n). .Vidéo

2. Théorèmes de comparaison

Soient deux suites (un) et (vn) telles que, à partir d"un certain rang,un?vn: - si limn→+∞un= +∞, alors limn→+∞vn= - si lim n→+∞vn=-∞, alors limn→+∞un=

Propriété

Exemple :

Calculer limn→+∞(n2+ (-1)n)

Vidéo

Soient trois suites (un), (vn) et (wn) telles que, à partir d"un certain rang,un?vn?wn. Si (un) et (wn) converge vers une limite finie?, alors la suite (vn) converge aussi vers?.

Théorème des gendarmes

Exemple :

Calculer limn→+∞?

1 +sinn

n?Vidéo

3. Comportement d"une suite(qn)

Soitqun nombre réel,

- Siq >1, alors limn→+∞qn= - Siq= 1, alors limn→+∞qn=1 - Si-1< q <1, alors limn→+∞qn=0 - Siq?-1, alors la suite (qn)n"a pas de limite.

Théorème

Exemple :

Calculer limn→+∞(-2)n

3limn→+∞(2n-3n)

lim n→+∞? 1 + 1

2+?12?

2 +....+?12? n?Vidéo 4

4. Limites de suites monotones

Soit (un) une suite définie surN:

- (un) est majorée par M lorsque, pour toutn?N,un?M. - (un) est minorée réelmlorsque, pour toutn?N,m?un. - (un) est bornée lorsqu"elle est à la fois minorée et majorée.

Définition

- Toute suite croissante majorée est convergente. - Toute suite décroissante minorée est convergente. - Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞. - Toute suite décroissante non minorée a pour limite-∞.

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Chapitre 3Limites de suites

Les savoir-faire

30.Déterminer une limite en utilisant la définition.

31.Étudier la limite d"une somme, d"un produit et d"un quotient.

32.Déterminer une limite par minoration, majoration, encadrement.

33.Connaître et utiliser le théorème de convergence des suitesmonotones.

34.Déterminer la limite éventuelle d"une suite géométrique.

35.Déterminer un seuil à l"aide d"un algorithme.

I. Convergence d"une suite

Introduction :

1. Limite finie

Définition

2. Unicité de la limite

Propriétés

II. Suite divergente

1. Suites divergentes

Définition

2. Limite infinie

On note limn→+∞un= +∞.

Définition

On note limn→+∞un=-∞.

Définition

3. Suites sans limite

Certaines suites n"ont pas de limite.

20406080100nu

Autre exemple :

Définition

III. Calcul d"une limite de suite

1. Opérations sur les limites

0b?R?+∞-∞

Produit

0a?R?+∞-∞

0?±∞±∞±∞

Quotient

0,∞

Formes indéterminées

Exemple :1.Calculer les limite suivantes :

2.Calculer limn→+∞(n-3⎷n).Vidéo

3.Calculer limn→+∞5n2+ 44n2+ 3n. .Vidéo

4.Calculer limn→+∞3n2+nn+ 3.Vidéo

5.Calculer limn→+∞(⎷n+ 2-⎷n). .Vidéo

2. Théorèmes de comparaison

Propriété

Exemple :

Calculer limn→+∞(n2+ (-1)n)

Vidéo

Théorème des gendarmes

Exemple :

Calculer limn→+∞?

1 +sinn

3. Comportement d"une suite(qn)

Soitqun nombre réel,

Théorème

Exemple :

Calculer limn→+∞(-2)n

3limn→+∞(2n-3n)

2+?12?

4. Limites de suites monotones

Soit (un) une suite définie surN:

Définition

Théorème

Exemple :

3un+ 2 etu0= 2.

1.Démontrer que la suite (un) est majorée par 3.

Vidéo

2.Démontrer que (un) est convergente et calculer sa limite.Vidéo