Limites de fonctions (3) 3°) Remarque: 1 asymptotes
- Etudier les branches infinies de courbes -- Déterminer graphiquement des limites 8 L’idée d’asymptote Est différente de l’idée de tangente Une droite qui va concerner un morceau de la courbe (pas toute la courbe mais seulement une partie) Il pourrait être utile pour les élèves de faire un exercice avec des courbes et des
Devoir à rendre pour le 02 novembre 2015
c) En déduire les variation de la fonction f ExerciceIV Reconnaître une courbe (2 points) La figure ci-contre est la représentation gra-phique Cf d’une fonction f dérivable sur]0;+∞[Parmi les trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est susceptible de représenter la fonction dérivée f′ de f On se justifiera 1 −1 −2 O
Exercices
Reconnaître une courbe La figure ci-contre est la représentation graphiqueC f d’une fonction f dérivable sur]0;+1[Parmi les trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est susceptible de repré-senter la fonction dérivée f0de f Exercice XII : On donne le tableau de variation de la fonction f suivant :
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Chapitre 6• Fonctions de variable réelle continues 6 1 Un peu d’histoire 113 6 2 Limite d’une fonction en un point 114 6 3 Limites et inégalités 118 6 4 Limites d’une somme, d’un produit, d’un quotient de fonctions 120 6 5 Fonctions équivalentes 122 6 6 Limites de fonctions monotones 124 6 7 Continuité 125
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1
1ère S Limites de fonctions (3) :
asymptotes horizontales, asymptotes verticalesNous allons voir dans ce chapitre que certaines limites peuvent s'interpréter graphiquement avec la notion
d'asymptote. Le premier travail va être de comprendre l'idée d'asymptote.Nous verrons ensuite comment reconnaître des asymptotes et quelles applications elles peuvent avoir.
On découvrira notamment le plaisir de faire des courbes.Dans ce chapitre, nous allons voir que certaines droites sont attachées à la courbe d'une fonction : les
asymptotes, que nous allons apprendre à trouver avec les limites. Ces droites permettent d'aider le tracé des courbes.I. Introduction (notion d'asymptote)
1°) " Définition » (notion intuitive d'asymptote, définition poétique)
Une " asymptote » est une droite le long de laquelle vient " mourir » une courbe. (Retenir déjà qu'une asymptote est une droite).2°) Exemple
f : x 1 x (fonction " inverse ») O C i jLa courbe représentative C de la fonction inverse est constituée de deux branches (branches infinies).
Il s'agit d'une même courbe constituée de deux " morceaux ».La courbe admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale (en + et en - ) et l'axe des ordonnées pour
asymptote verticale. On peut dire aussi que les axes de coordonnées sont asymptotes à la courbe : - l'axe des abscisses est asymptote horizontale en + et en - ; - l'axe des ordonnées est asymptote verticale.On parle bien d'asymptotes et non de tangentes.
Le logiciel Geogebra permet de faire des zooms au voisinage de + , - et de 0. 23°) Remarque
On distingue trois types d'asymptotes :
- horizontale d'équation réduite y = k - verticale d'équation réduite x = k - oblique d'équation réduite y = ax + b (a 0)Le mot asymptote marche avec le mot courbe.
Dans ce chapitre, on va s'intéresser aux deux premiers types d'asymptotes à savoir - les asymptotes horizontales - les asymptotes verticales. Nous étudierons dans un chapitre ultérieur les asymptotes obliques.4°) Intérêt
Les asymptotes servent de guide à la courbe.
Commentaires :
La définition poétique ne permet en aucun cas de démontrer qu'une droite est une asymptote. Pour démontrer qu'une droite est une asymptote, il faut faire un calcul de limite (cf III).II. Observations graphiques
1°) Exemple 1
On donne la courbe représentative C d'une fonction f définie sur .On a tracé une droite qui concerne la courbe C " à droite » (repasser la droite en rouge sur le graphique ci-
dessous). C O 2 i jLorsque x tend vers + (à l'extrême droite du graphique), il semble que la courbe C se rapproche de plus en
plus de la droite d'équation y = 2 (sans jamais la couper).On admet qu'il en est bien ainsi ; on dit que la courbe C admet la droite d'équation y = 2 pour asymptote
horizontale en + .On peut dire alors que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes (c'est-à-dire tend vers + )
f (x) prend des valeurs de plus en plus proches de 2. 3On a donc : lim ( ) 2xf x .
2°) Exemple 2
On donne la courbe représentative C d'une fonction f définie sur . C O 2 i jLorsque x tend vers (à l'extrême gauche du graphique), il semble que la courbe C se rapproche de plus en
plus de la droite d'équation y = 2 (sans jamais la couper).On admet qu'il en est bien ainsi ; on dit que la courbe C admet la droite d'équation y = 2 pour asymptote
horizontale en .On peut dire alors que lorsque x prend des valeurs de plus en plus petites (c'est-à-dire tend vers ),
f (x) prend des valeurs de plus en plus proches de 2.On a donc : lim ( ) 2
xf x3°) Exemple 3
On donne la courbe représentative C d'une fonction f définie sur 2;. C O 2 i jLorsque x tend vers 2 avec x > 2, il semble que la courbe C se rapproche de plus en plus de la droite
d'équation x = 2 (sans jamais la couper).On admet qu'il en est bien ainsi ; on dit que la courbe C admet la droite d'équation x = 2 pour asymptote
verticale.On a donc :
2lim ( )
xf x . 4 (Rappel : 2x signifie 22xx) III. Reconnaissance d'asymptote horizontale et d'asymptote verticale1°) Règle
On note C la représentation graphique d'une fonction f dans le plan muni d'un repère.Lorsque lim ( )x af x ou lim ( )x af x où a est un réel, alors la courbe C admet la droite d'équation
x = a pour asymptote verticale (idem avec x a et x a).Lorsque lim ( )xf x b ou lim ( )xf x b où b est un réel, alors la courbe C admet la droite d'équation y = b
pour asymptote horizontale en + ou en - . Il y a toujours une AH quand la limite en + / est égale à un réel.2°) Retenir
AH : Il faut que le résultat de la limite quand x tend vers + ou - soit un nombre fini.AV : Il faut que le résultat de la limite quand x tend vers un nombre fini soit égal à + ou - .
Pour une AH, on précise en + ou en - .
Pour une AV, on ne dit rien.
Lorsque
/lim ( ) x a af x , la courbe C admet la droite d'équation x = a pour asymptote verticale.On n'a pas grand-chose à faire des " petits + » ou des " petits - » (pour aet a) ou du signe devant l'infini.
On n'y fait pas mention dans la phrase.
Graphiquement la courbe se positionnera à gauche ou à droite de l'asymptote suivant que la limite est en a ou
en a et viendra se rapprocher vers le haut ou vers le bas selon que le résultat de la limite est + ou .
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