LIMITES ET ASYMPTOTES

Exercice 5 : asymptotes parallèles aux axes d’un repère, équation d’asymptote oblique On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative d’une fonction Déterminer graphiquement , l’ensemble de définition de , puis une équation de chacune des asymptotes à Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

LIMITES ET ASYMPTOTES - Rosamaths

lim ( ) et lim ( ) x x x x f x f x → → < > =+∞ =−∞ Remarque : la calculatrice a ses « limites » On a l’impression que la courbe a des points communs avec la droite d’équation x =1 Ceci est dû au tracé approximatif des courbes par une calculatrice II Limites et asymptotes Corrigé

LIMITES – EXERCICES CORRIGES

Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique connaissant les asymptotes Exercice n°20 Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la représentation graphique C de l’une d’entre elles

I Exercices - Lycée Jean Vilar

Chapitre 2 : Limites et asymptotes I Exercices 1 Limites sans ind´etermination Calculer les limites des fonctions suivantes, et pr´eciser lorsque la courbe repr´esentative de f (not´ee (Cf)) admet une asymptote horizontale ou verticale 1 f(x) = x2 +2x− 3 en +∞ 2 f(x) = x3 −6x2 +1 en −∞ 3 f(x) = 1 (x+1)2 en +∞ 4 f(x

Limites et asymptotes - Maths : cours et exercices corrigés

et on note : x lim f(x) = f(x) peut dépasser n'importe nombre M aussi grand soit-il dès que x devient suffisamment grand X lim f(x) = écrit lim f(x) -emar e 2n définit de manière analogue les écritures : 2) Asymptotes obliques lim f(x) : a et b deux (avec a O), et C la courbe représentative fonction f fans un repère

Limites - Continuité - Asymptotes

Limites e MM M M Limites - Continuité - Asymptotes EXERCICE N°1 Soit la fonction f définie par f(x)= 1- Déterminer Lim f(x) et Lim f(x) ( √2) - ( √2) + 2- La fonction f admet-elle une limite en √2 EXERCICE N°2

Exercices Limites et asymptotes et etudes de fonctions

Pour les exercices de 1 à 4, utiliser le tableau de variations pour trouver le domaine de déﬁnition, les limites aux bornes de l’ensemble de déﬁnitio n et les asymptotes éventuelles Construire ensuite une courbe susceptible de réprésenter la fonction f en commençant par tracer les asymptotes et les tangentes horizontales Exercice1 x

3s - Dérivées II : variations et asymptotes

Title: Dérivées II: variations et asymptotes, exercices maths standard secondaire II Author: Marcel Délèze Subject: Dérivées et monotonie; tableau de variations; limites et asymptotes Énoncés d'exercices pour le lycée

LIMITES ET ASYMPTOTES

I. Lectures graphiques Corrigé

Exercice 1

()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x a ()lim xf x a La droite d"équation y a= est une asymptote horizontale à la courbe ()lim x a x af x ()lim x a x af x ()lim x a x af x ()lim x a x af x La droite d"équation x a= est une asymptote verticale à la courbe

1N°2N°3N°4N°

5N°6N°

7N°10N°9N°8N°

2 ()()lim 0 xf x ax b ()()lim 0 xf x ax b La droite d"équation y ax b= + est est une asymptote oblique à la courbe

Exercice 2

: La courbe ci-contre représente une fonction f.

1) La fonction f représentée ci-contre

admet les limites suivantes : a) lim ( ) 1 xf x b) 2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x c)

2lim ( ) 0

xf x d) lim ( ) 3 xf x

2) On en déduit l"existence de trois

asymptotes :

Une asymptote horizontale d"équation

1y= - car lim ( ) 1

xf x une asymptote verticale d"équation

2x= - car

2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x une asymptote horizontale d"équation

3y= car lim ( ) 3

xf x

Exercice 3

: La courbe ci-contre représente une fonction f.

1) a) En

-¥, la fonction f admet pour limite b) En 0, la fonction f admet pour limite 0. c) En 1, la fonction f admet pour limite d) En +¥, la fonction f admet pour limite

2) De la question 1b) (

1lim ( )

xf x on peut déduire que la courbe représentative de f admet la droite d"équation

1x= comme

asymptote verticale.

12N°11N°

3Exercice 4

: La fonction f représentée ci- contre est définie sur {}1;2-R\. 1) lim ( ) 1 xf x 1 1

1 1lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x 2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x lim ( ) xf x

2) La courbe admet quatre asymptotes :

une asymptote horizontale d"équation 1y= ; deux asymptotes verticales d"équations

1 et 2x x= - = ;

une asymptote oblique d"équation

3y x= -.

Exercice 5

La fonction f représentée ci-contre admet les limites suivantes : lim ( ) 1 et lim ( ) 1 x xf x f x 1 1

1 1lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x

Remarque : la calculatrice a ses " limites ».

On a l"impression que la courbe a des points communs avec la droite d"équation

1x=. Ceci est dû au tracé approximatif des

courbes par une calculatrice.

II. Limites et asymptotes Corrigé

Exercice 6

: f est une fonction définie sur ][][;2 2;-¥ È +¥. a) lim ( ) 3 xf x la droite d"équation

3y=est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

2lim ( )

xf x la droite d"équation

2x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

c) lim ( ) 5 xf x la droite d"équation

5y= - est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Exercice 7

0lim ( )

xf x la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5lim ( )

xf x la droite d"équation

5x= - est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

3lim ( )2xf x

4 la droite d"équation

2y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

d) lim ( ) 7 xf x la droite d"équation

7y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

e) 3 3

3 3lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x la droite d"équation

3x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exercice 8

: La courbe ci-dessous représente une fonction f telle que : 1 1

1 1lim ( ) 0 ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

x x x x x xf x f x f x f x

Exercice 9

1) f est une fonction telle que

()lim ( ) 2 5 0 xf x x la droite d"équation

2 5y x= - est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

2) f est une fonction telle que

( ) ( ) et lim ( ) 0 xf x x g x g x la droite d"équation y x= est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 10

: f est la fonction définie sur ][][;0 0;-¥ È +¥ par 1( ) 2f x xx= + +. ()0lim 2 2xx®+ = ;

0 0 0 0

1 1lim donc lim ( ) et lim donc lim ( )

x x x x x x x xf x f xx x

On en déduit que la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

D"autre part,

( )1 1 1( ) 2 et lim lim 0 x xf x xx x x®-¥ ®+¥- + = = =, 5donc ()()lim ( ) 2 0 et lim ( ) 2 0 xxf x x f x x

On en déduit que la droite d"équation

2y x= + est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 11

a) La droite d"équation

5y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 5

xf x b) La droite d"équation

0y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 0

xf x c) La droite d"équation

4x= est asymptote à la courbe de f se traduit par

4lim ( )

xf x d) La courbe de la fonction f admet pour asymptote la droite d"équation

2x= - :

2lim ( )

xf x e) La droite d"équation

3y x= - + est asymptote à la courbe de f : ()lim ( ) 3 0

xf x x f) La courbe de la fonction f admet pour asymptote l"axe des abscisses : lim ( ) 0 xf x III. Détermination de limites Corrigé

En utilisant les opérations

Exercice 12 :

21lim 2xxx®+¥

()2lim 2 xx

®+¥+ = +¥ et 1lim 0

xx®+¥= donc 21lim 2 xxx®+¥ ( )+ + = +¥( )( ) (limite d"une somme). b) 2 2

21lim 32x

x xx ()2

2lim 2 0

x x x- - = donc 2 2 1lim2 x xx®

De plus,

()2

2lim 3 7

®+ = donc ( )

2 2

21lim 32

x x xx + = -¥- (limite d"un produit). c)

1 1lim2xx x®-¥

1lim 02xx®-¥=- et

1lim 0

xx®-¥= donc 1 1lim 02xx x®-¥ ( )+ =( )-( ) (limite d"une somme). d)

21lim 1xxx®+¥

1lim 0

xx®+¥= donc 1lim 1 1xx®+¥

De plus,

2limxx®+¥= +¥ donc 21lim 1

xxx®+¥ ( )- = +¥( )( ) (limite d"un produit). e)

201lim 2 1xxx®

0lim 0xx+

®= donc 201lim

xx®= +¥.

6 De plus,

()0lim 2 1 1xx®- = - donc 201lim 2 1 xxx® ( )+ - = +¥( )( ) (limite d"une somme). f) ( )1lim 3 2 1xxx®-¥

1lim 0

xx®-¥= donc 1lim 3 3xx®-¥

De plus,

()lim 2 1xx®-¥- + = +¥ donc ( )1lim 3 2 1 xxx®-¥ ( )- - + = -¥( )( ) (limite d"un produit).

En appliquant les théorèmes

Exercice 13 : Limites de polynômes et fonctions rationnelles en l"infini. Rappel : La limite d"un polynôme en l"infini est celle de son monôme de plus haut degré.

La limite d"une fonction rationnelle en l"infini est celle du rapport des monômes de plus haut degré.

a) ()

4 4lim 2 3 1 lim 2

x xx x x b) ()()3 3lim 1 2 lim x xx x x c)

2 23 1 3lim lim lim 3

3x x x

x xx x x®+¥ ®+¥ ®+¥ d)

3 3 22 7 2 2lim lim lim 01x x x

x x x x x®-¥ ®-¥ ®-¥ e) 3 3

3 31 2 2 2 2lim lim lim5 2 3 5 5 5x x x

x x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

Exercice 14

: Limites de fonctions rationnelles au bord d"une valeur interdite. a) 3 3 1lim3 x xx® ( )33 33

1lim 3 0 donc par passage à l"inverse : lim3

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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LIMITES ET ASYMPTOTES

I. Lectures graphiques Corrigé

Exercice 1

1N°2N°3N°4N°

5N°6N°

7N°10N°9N°8N°

Exercice 2

1) La fonction f représentée ci-contre

2 2lim ( ) et lim ( )

2lim ( ) 0

2) On en déduit l"existence de trois

Une asymptote horizontale d"équation

1y= - car lim ( ) 1

2x= - car

2 2lim ( ) et lim ( )

3y= car lim ( ) 3

Exercice 3

1) a) En

2) De la question 1b) (

1lim ( )

1x= comme

12N°11N°

3Exercice 4

1 1lim ( ) et lim ( )

2 2lim ( ) et lim ( )

2) La courbe admet quatre asymptotes :

1 et 2x x= - = ;

3y x= -.

Exercice 5

1 1lim ( ) et lim ( )

Remarque : la calculatrice a ses " limites ».

1x=. Ceci est dû au tracé approximatif des

II. Limites et asymptotes Corrigé

Exercice 6

3y=est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

2lim ( )

2x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5y= - est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Exercice 7

0lim ( )

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5lim ( )

5x= - est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

3lim ( )2xf x

4 la droite d"équation

2y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

7y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

3 3lim ( ) et lim ( )

3x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exercice 8

1 1lim ( ) 0 ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

Exercice 9

1) f est une fonction telle que

2 5y x= - est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

2) f est une fonction telle que

Exercice 10

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1lim donc lim ( ) et lim donc lim ( )

On en déduit que la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

D"autre part,

On en déduit que la droite d"équation

2y x= + est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 11

5y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 5

0y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 0

4x= est asymptote à la courbe de f se traduit par

4lim ( )

2x= - :

2lim ( )

3y x= - + est asymptote à la courbe de f : ()lim ( ) 3 0

En utilisant les opérations

Exercice 12 :

21lim 2xxx®+¥

®+¥+ = +¥ et 1lim 0

21lim 32x

2lim 2 0

De plus,