Anneaux, morphismes et idéaux

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369 est-il un multiple de 15 ? Donner la liste des diviseurs de 24 o b d 6 est-il un diviseur de 192 ? Donner la liste des diviseurs de 72 C 2Qz ODI QL O 3 a 369 est-il un multiple de 15 ? Donner la liste des diviseurs de 24 36B — 60 32 12 b 6 est-il un diviseur de 192 ? d Donner la liste des diviseurs de 72 Cø -r QL

Unité C Chapitre 8 : Utiliser la divisibilité et les nombres

b 192 = 6 × 32 Donc 6 est un diviseur de 192 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur positif : lui-même Les nombres premiers sont

Notions de diviseurs et multiples - famillefuteecom

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) Un nombre est divisible par Un nombre est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 33 si la somme de ces chiffres est divisible par 33 si la somme de ces chiffres est divisible par 3

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Donner trois répartitions possibles pour les 158 élèves de l'école 211* 3 -k 3 a 369 est-il un multiple de 15 ? c Donner la liste des diviseurs de 24 b 6 est-il un diviseur de 192 ? d Donner la liste des diviseurs de 72 36B 32

AR-cah valide manuel base 2012 3N1 (2) - Sésamath

a 4 est-il un diviseur de 28 ? b 32 est-il un multiple de 6 ? c 4 divise-t-il 18 ? d 35 est-il divisible par 5 ? 2 Dans chaque cas, écris quatre phrases utilisant les nombres et l'un des mots suivants : diviseur, multiple, divisible, divise a 70 et 210 b 186 et 15 c 192 et 48 3 Critères de divisibilité Parmi les nombres : 12 ; 30

Multiples et Diviseurs (Fiches méthodes)

- combiner entre eux ces critères quand le diviseur à tester est un multiple d’un des nombres vus plus haut : un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et 3, il est divisible par 10 s’il est divisible par 2 et 5, par 12 s’il est divisible par 3 et 4, par 15 s’il est divisible par 3 et 5, par 18 s’il est divisible par

Nombres entiers - La classe inversée de Mme TESSE

400 est un multiple de 16 b 25 divise 400 400 est le quotient de 16 et 25 d 16 est un diviseur de 400 1 a Recopier la liste de nombres suivants : 56; 4 365 ; 897 ; 50 ; 653 367 ; 78; 780 b Entourer en bleu les nombres divisibles par 2, et en rouge les nombres divisibles par 5 2, Parmi les nombres ci-dessous, lesquels sont

Les singularites du diviseur ∵ de la jacobienne intermediaire

~, il passe 5 droites de X distinctes de s Si la courbe ~ n'est pas connexe, elle est r6union de deux courbes isomorphes a C, et la restriction de g a l'une de ces courbes est de degr6 ~ 2 : ceci entralne que C est ration-

Anneaux, morphismes et idéaux - Éditions Ellipses

Déﬁnition 1 7 Un élément ad’un anneau Aest un diviseur de zéro (à gauche) si l’application ϕa:A→A, x→a·xn’est pas injective Un diviseur de zéro à droite est déﬁni de manière analogue Dans un anneau commutatif les notions de diviseur de zéro à droite et à gauche coïncident et on parle de diviseur de zéro

Chapitre 1

1.1 Définition

Dénition 1.1Unanneau (unitaire)(A,+,·)est un ensembleAmuni de deux lois de composition interne - L"addition notée+:A×A→A,(a,b)?→a+b - La multiplication notée·:A×A→A,(a,b)?→a·b qui satisfont les propriétés suivantes :

1.(A,+)est un groupe commutatif. On note0

A ou simplement0son élément neutre et-al"opposé deadansAdéfini par la condition (-a)+a=a+(-a)=0.

2. la loi·est associative : tout triplet(a,b,c)d"éléments deAvérifie

(a·b)·c=a·(b·c).

3.La multiplication est distributive par rapport à l"addition : tout triplet(

a,b,c)d"éléments deAvérifie(a+b)·c=(a·c)+(b·c)etc·(a+b)=(c·a)+(c·b). et noté1 A ou plus simplement1qui vérifie la condition1 A

·a=a·1

A =a pour tout élémentadeA. Un anneauAest ditcommutatifsi, en outre,a·b=b·apour tout couple(a,b) d"éléments deA.

Soit1et1

deux éléments unités dansA, alors1·1 =1=1 . Il en résulte qu"un

anneau (unitaire) possède exactement un élément unité. Certains livres ne demandentpas dans la définition d"un anneau qu"il soit unitaire, il est essentiel de vérifier ce point

dans la définition. Dans le reste du livre, comme il est d"usage lorsqu"on utilise une

seule multiplication, on omet le·du produit et on noteabau lieu dea·b.9782340-025752_001_192.indd 79782340-025752_001_192.indd 727/06/2018 11:0227/06/2018 11:02

2 CHAPITRE 1. ANNEAUX, MORPHISMES ET IDÉAUX

EXEMPLES.

1. LensembleZdes entiers relatifs, muni de l"addition et de la multiplication des entiers, est un anneau commutatif. 2. L"ensemble2Z={2n;n?Z}des entiers pairs, muni de l"addition et de la multiplication des entiers, ne possède pas d"élément unité mais vérifie toutes les autres propriétés d"un anneau commutatif. 3. L"anneau nul{0}, vérifiant0+0=0et0·0=0, est un anneau unitaire.

C"est le seul anneau dans lequel

1=0. En effet, s"il existe un élément non

nula?=0dansA, alors0·a=0?=aet il en résulte que0?=1. 4. Pour un entiernl"anneauA=M(n,B)des matricesn×nà coefficients dans un anneauBest un anneau. Pourn=2etB?={0}nous avons ?01 00?? 10 00? =?00 00? ?=?01 00? =?10 00?? 01 00?

L"anneauAest non commutatif pourB?={0}etn≥2.

Définition 1.2SoitAetBdeux anneaux. Une application?:A→Best unmor- phisme(d"anneaux unitaires) si :

1.?(a+b)=?(a)+?(b)pour tousa,bdansA;

2.?(ab)=?(a)?(b)pour tousa,bdansA;

3.?(1 A )=1 B Lenoyaudu morphisme?estker(?)={a?A;?(a)=0}etl"imagedu morphisme?estim(?)={?(a);a?A}. Un morphisme bijectif?est unisomorphisme. La notationA≂=Bsignifie qu"il existe un isomorphisme d"anneaux?:A→B. -Unendomorphismeest un morphisme de l"anneau vers lui même. -Unautomorphismeest un endomorphisme bijectif. On note?:A?→Bun morphisme d"anneaux injectif et?:A?Bun morphisme d"anneaux surjectif. Notons quelques conséquences immédiates de cette définition. Un morphisme?vérifie ?(0 A )=?(0 A +0 A )=?(0 A )+?(0 A ). En ajoutant-?(0 A )aux deux membres, nous obtenons?(0 A )=0 B . De même0 B =?(0 A )=?(a+(-a)) =?(a)+?(-a) pour tout élémentadeA. L"unicité de l"opposé dans le groupe(B,+)entraîne ?(-a)=-?(a). La composition de deux morphismes d"anneaux est un morphisme d"anneaux. Par définition un morphisme d"anneaux?:A→Best surjectif si, et seulement si,im(?)=B.

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1.1. DÉFINITION 3

Lemme 1.3Soit?:A→Bun morphisme d"anneaux. Le morphisme?est injectif si, et seulement si,ker(?)={0 A }.Si?est un isomorphisme, alors l"application inverse? -1 est également un morphisme d"anneaux.

DÉMONSTRATION.Si?est injectif, alorsker(?)={0

A }. Supposons maintenant ker(?)={0 A }. SoitaetbdansAtels que?(a)=?(b). Alors,?(a)-?(b)=0 B et donc?(a-b)=0 B . L"hypothèseker(?)={0 A }montre quea=b. Par consé- quent,?est injectif. Supposons que le morphisme?soit bijectif. Pour tousα=?(a)etβ=?(b) dansBnous avons? -1 -1 (?(a)+?(b)) =? -1 (?(a+b)) =a+b= -1 -1 (β). De même,? -1 -1 -1 (β)et donc? -1 est un mor- phisme d"anneaux. Les morphismes injectifs permettent didentier des objets. En algèbre linéaire il est classique didentier les nombres réels aux matrices scalairesλI n deM(n,R) oùI n désigne la matrice unité deM(n,R). Les morphismes permettent également de transporter des calculs vers d"autres anneaux et de développer des algorithmes. Cette identification est largement exploitée dans la suite. Définition 1.4Un élémentad"un anneauAest ditinversibles"il existe un élémentb dansAtel quea·b=b·a=1, appeléinversedea.SiAn"est pas l"anneau nul (dans ce cas1?=0) et si tous les éléments non nuls deAsont inversibles, alorsAest appelé uncorps. Si de plusAest commutatif, alorsAest uncorps commutatif. Proposition et définition 1.5SoitAun anneau. L"ensembleU(A)des éléments inversibles est stable pour la multiplication. Muni de la multiplication induite par celle de Al"ensembleU(A)est un groupe, appelégroupe multiplicatifdeA, dont l"élément neutre est l"élément unité1 A deA. Exemple 1.6U(Z)={-1,1},U(R)=R\{0}etU(M(n,R)) = GL(n,R). Définition 1.7Un élémentad"un anneauAest undiviseur de zéro(à gauche) si l"application? a :A→A, x?→a·xn"est pas injective. Un diviseur de zéro à droite est défini de manière analogue. Dans un anneau commutatif les notions de diviseur de zéro à droite et à gauche coïncident et on parle de diviseur de zéro. Parfois la définition équivalente suivante est utilisée :adansAest un diviseur de zéro à gauche si, et seulement si, il existe b?=0dansAvérifiantab=0. Montrons l"équivalence de ces deux définitions. SiApossède plus d"un élément, alors? a non injective implique qu"il existeb?=b dansAtels queab=ab ou encore tels que a(b-b )=0. Donc siApossède plus d"un élément, alors pour un diviseur de zéroa

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4 CHAPITRE 1. ANNEAUX, MORPHISMES ET IDÉAUX

deAil existec=b-b dansAnon nul tel quea·c=0. Réciproquement, s"il existec dansAnon nul tel quea·c=0, alors? a n"est pas injective puisquea·c=a·0=0. SiadansAn"est pas un diviseur de zéro à gauche, alorsab=0impliqueb=0

En effet, toutbdansAvérifie?

a (b)=ab=0=? a (0)et, puisque? a est injective, il en résulte queb=0.

Définition 1.8Un anneauAest ditintègresi

1.A?={0};

2.Aest commutatif (et unitaire);

3.0est l"unique diviseur de zéro.

Dans un anneau intègre le produit de deux éléments non nuls est non nul. Lemme 1.9Dans un anneau intègre nous pouvons utiliser la règle de simplification suivante : poura,b,cdansAavecanon nul, la relationab=acimpliqueb=c. EXEMPLES. L"anneau nul({0},+,·)est un anneau unitaire avec1 A =0 A .Ilne contient pas de diviseurs de zéro, il n"est pas intègre et ce n"est pas un corps. L"anneau des entiers(Z,+,·)est un anneau intègre mais pas un corps commutatif. Les anneaux(R,+,·)et(C,+,·)sont des corps commutatifs. Pourn≥2l"anneauM(n,C)des matrices de taillenparnà coefficients dansC muni de l"addition et de la multiplication des matrices est un anneau non commutatif et non intègre. L"algèbre des quaternionsHde l"exercice 1.15 est un corps (non commutatif). Définition 1.10Soit(A,+,·)un anneau (unitaire). Unsous-anneaudeAest unquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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