FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques
1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci- contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie « Mirifici
Logarithme népérien
népérien et est l’objet d’étude de ce chapitre I/ La fonction logarithme népérien Soit k un réel strictement positif On appelle logarithme népérien de k, l’unique solution de l’équation d’inconnue x x: e =k On note cette solution ln(k) qui se lit « logarithme népérien de k » La fonction logarithme népérien est la
Fonction logarithme népérien
Fondamental : Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme népérien (admis) La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur Complément On conçoit en effet que la fonction exponentielle étant continue, la fonction logarithme dont la courbe se déduit par symétrie ne pose pas de soucis de continuité également
Fonctions exponentielle et logarithme népérien Applications
On obtient le tableau de variations de la fonction exp x 1 0 1 +1 +1 e ex 1 0 —La courbe représentative de la fonction x7expasse par les points de coordonnées (0;1) et (1;e) —La tangente à la courbe représentative de la fonction x7exau point de coordonnées (0;1) a pour équation y= x+ 1 De plus, pour h« assez petit
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES
Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216 ln (1) 6 ln (1) 16 ln( )a 0,7 1,1 Exercice n° 3 Comparez les réels x et y : x =3ln2 et y =2ln3 x = −ln5 ln2 et y = −ln12 ln5 Exercice n° 4
Chapitre 6 Fonction logarithme népérien
Chapitre 6 - Fonction logarithme népérien 4 3 Etude de la fonction logarithme Courbe de la fonction logarithme népérien 3 1 Étude du signe Propriété 6 Le tableau de signe de la fonction logarithme népérien est le suivant : x ln(x) 0 1 +1 0 + 3 2 Étude des variations Propriété 7 (admise)
Chapitre 1 Exponentielle et logarithme népérien
Exponentielle et logarithme népérien • 9 2 La fonction logarithme népérien La définition La fonction logarithme népérien f x= x() ln sur ]0;+¥[ est définie comme la fonction donnant l’unique solution de l’équation e =xy pour x> 0 D’où e =x y= xy ssi ln On a aussi la dérivée de cette fonction : ( ) 1 lnx'= x Le graphique
La fonction logarithme népérien - lyceedadultesfr
3 ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN • Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable On pose X = 1 x Donc si x → 0+ alors X → +∞ On a alors : lim x→0+ lnx = lim X→+∞ ln 1 X = lim ∞ −lnX =−∞ 3 3 Tableau de variation et courbe On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans
Fonction logarithme népérien - Parfenoff org cours de
III) Etude de la fonction logarithme népérien 1) Dérivée de la fonction ???? On admet que la fonction ???? est continue sur ]0 ;+∞[ Théorème: La fonction ???? )est dérivable sur ]0 (;+∞[et ???? ’???? = ???? Démonstration: On sait que pour tout >0 ln( )=
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Logarithme népérien
En classe de première nous avons pu conclure sur la puissance de la fonction exponentielle et son utilité dans les domaines scientifiques. Un nouveau problème s'ouvre alors à nous, celui du retour en arrière, courant en mathématiques. En effet face à une équation du type ex=4 nous n'avons pour le moment pas le moyen de déterminer précisément la valeur de x. Pour cela il nous faudrait en effet la fonction réciproque de la fonction exponentielle, cette fonction est appelée logarithme népérien et est l'objet d'étude de ce chapitre.I/ La fonction logarithme népérien
Soit k un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de k, l'unique solution de l'équation d'inconnue x : ex=k . On note cette solution ln(k) qui se lit " logarithme népérien de k » La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel strictement positif x associe y=lnx y=lnx et x>0 ssi ey=x Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse5 : Logarithme népérien 2/8 Exercice 1 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes : ex=0ex=4e2x+4=e3x2+6x-2e2x-3=4Propriétés :1. La fonction ln (en rouge) est définie et continue sur ]0;+∞[
2. Pour tout réel x, ln(exp(x))=xet pour tout réel strictement positif
exp(ln(x))=x3. ln1=0 et lne=1
4. La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et
ln'(x)=1x5. La fonction ln est strictement croissante sur ]
0;+∞[
6. Pour tous réels
a et b strictement positifa=b équivaut à lna=lnb7. La courbe représentative de la fonction ln (en rouge) est le symétrique de la courbe
représentative de la fonction exponentielle (en violet) par rapport à la droite d'équation y=xExercice 2:
1.Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
f(x)=ln(4-x) g(x)=ln(2-x) h(x)=ln(1+x2)2.Résoudre les équations suivantes dans ℝ:
ln(1+x)=ln(-x)ln(4x-1)=ln(2-x)3.Résoudre les inéquations suivantes : ln(1+x)≥ln(2-x) ln(-x)Propriétés :
1. Pour tout entier n et tout réel a strictement positif ln(an)=nln(a)
2. Pour tout réel b strictement positif, ln(1b)=-ln(b)3. Pour tous réels a et b strictement positifs,
ln(a b)=ln(a)-ln(b)4. Pour tout réel a strictement positif,2ln(a)Exercice 4 : Exprimer en fonction de
ln(5) chacune des expressions suivantes :A=ln25+ln
C =lne425D=e-ln5-ln(5e)
Exercice 5 : Résoudre dans ℕles inéquations suivantes (2 5) n <10-432n>108III/ Limites liées à la fonction lnAux bornes de l'ensemble de définition :
limx→+∞ln(x)=+∞ et limx→0 ln(x)=-∞Croissance comparée avec les fonctions puissances : limx→0xn∗ln(x)=0 et lim x→+∞ln(x) xn=0 et en particulier : limx→0x∗ln(x)=0et aussi limx→+∞ ln(x)x=0Exercice 6:Calculer les limites suivantes : x) x3 limx→+∞x²ln(x)-x2limx→1(x-1)ln(x-1)
(1-1 x)2Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse5 : Logarithme népérien 4/8IV/ Fonctions de la forme ln u
On considère une fonction u définie sur un intervalle I dans ]0;+∞[. Pour une fonction de la forme ln u, on utilise la formule de dérivée des fonctions composées, c'est à dire, dans le cas de la fonction logarithme népérien : (lnu(x))'=u'(x) u(x)V/ Fonction logarithme décimal
Une fonction très proche du logarithme népérien est le logarithme décimale. Ce dernier est très utilisé en physique-chimie ! La différence fondamentale est dans la construction de la fonction. Le logarithme népérien est la réciproque de ex alors que le logarithme décimal est la réciproque de 10x. On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log définie sur ]0;+∞[ par log(x)=ln(x) ln(10) Le logarithme décimal est surtout utilisé en sciences expérimentales et possède les propriétés suivantes :1. log 10 = 1 et log 1 = 0
2. La fonction log est définie et dérivable sur ]0;+∞[
3. Elle est strictement croissante sur cet intervalle.
4. Pour tous réels a et b strictement positifs et n un entier quelconque :
log(a∗b)=log(a)+log(b) log(a b)=log(a)-log(b)log(a n)=nlog(a) Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse5 : Logarithme népérien 5/8Logarithme népérien
Les démos
La dérivée de la fonction logarithme népérien est fonction inverse. On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[. Considérons la fonction f définie pour tout x>0 par f(x)=eln(x)-x. Grâce à ladéfinition du logarithme népérien on reconnaît ici une fonction nulle dont la dérivée
est elle aussi nulle sur ]0;+∞[. Nos connaissances sur la dérivation et notamment sur la dérivation d'une fonction composée nous permettent d'écrire que f' (x)=ln'(x)∗eln(x)-1=0et donc que ln'(x)=1x limx→0x∗ln(x)=0