FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES
3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : 1 2ln3 ln2 ln 2 A = + + 1 ln9 2ln3 2 B = − Exercice n° 2 Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216 ln (1) 6 ln (1) 16 ln( )a 0,7 1,1 Exercice n° 3
Exercices : fonction Logarithme N´ep´erien
Terminale ES Fonction Logarithme N´ep´erien Exercices : fonction Logarithme N´ep´erien Exercice 1: ´Ecrire sous la forme d’un seul logarithme n´ep´erien, chacun des n ombres suivants : a) ln6+ln5−ln3; b) −2ln5+ln10; c) 2ln3−5ln2; d) 3ln2+ln1 2; e) 1+ln5; f) 3−ln2; g) 5−2ln2 Exercice 2: Prouver les ´egalit´es suivantes : a
Fonction ln Fonction logarithme népérien Exercices
Fonction logarithme népérien – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier 29 En programmant un algorithme puis en résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier tel que 30 Un banquier désire calculer le nombre d’années nécessaire à un placement à un intérêt composés au taux de
Terminale ES – Exercices de résolutions déquations avec le
Terminale ES – Exercices de résolutions d'équations avec le logarithme népérien Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes : (E1) e 3x 1=3 (E 2) e x 1=2 (E 3) e x=2 (E
Terminale ES – Exercices de résolutions déquations avec le
Terminale ES – Exercices de résolutions d'équations avec le logarithme népérien Corrigés Exercice 1 : 3(E1) e x 1=3 ⇔ ln (e3 x 1)=ln 3 (on a le droit de composer par le logarithme car les deux
Fonction logarithme neperien - Free
la fonction logarithme népérien notée ln associe à tout nombre x de son domaine de définition ( à préciser) un nombre noté lnx ( le logarithme népérien de x ) donné par la calculatrice ou une table de logarithmes cette fonction est telle que, quels que soient les nombres x et y de son domaine de définition on a : ln(xy) = lnx+lny
MATHEMATIQUES Logarithmes exercices et corrig es
exercices et corrig es Compil e le 29 octobre 2002 tion logarithme n’est d e nie que pour x2]0; +1[ Exercices & corrig es - 3/16 - Logarithmes 1 8 Exercice 8 1 8
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - Maths & tiques
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation ex=a On la note lna La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln: 0;] +∞ →[ℝ xlnx Remarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre
Terminale ES – Exercices : inéquations avec des logarithmes
Terminale ES – Exercices : inéquations avec des logarithmes et des exponentielles – Corrigés Exercice 1 : (I1) ln x 3 ln x est défini si et seulement si x>0 On résout donc (I1) dans ]0;+∞[ (I1) 3⇔ e ln x e On peut composer les deux membres par la fonction exponentielle, car la fonction
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Terminale ES - Exercices : inéquations avec des logarithmes et des exponentielles - Corrigés
Exercice 1 : (I1) lnx⩽3lnx est défini si et seulement si x>0. On résout donc (I1) dans ]0;+∞[.
(I1) ? elnx⩽e3 On peut composer les deux membres par la fonction exponentielle, car la fonction
exponentielle est strictement croissante donc conserve l'ordre sur (I1) ? x⩽e3. x doit être dans ]0;+∞[ et vérifier x⩽e3. Donc S=]0;e3].(I2) ex>2L'équation est définie sur ℝ car la fonction exponentielle est elle-même définie sur ℝ.
(I2) ? ln(ex)>ln2 car ex et 2 sont deux réels strictement positifs. On peut donc composer les deux
membres de l'inéquation par la fonction logarithme népérien qui conserve l'ordre sur ]0;+∞[ puisqu'elle est strictement croissante sur ]0;+∞[. (I2) ? x>ln2.Donc S=]ln2;+∞[. (I3) lnx>e lnx est défini si et seulement si x>0. On résout donc (I3) dans ]0;+∞[.(I3) ? elnx>ee car la fonction exponentielle est strictement croissante donc conserve l'ordre sur ℝ.
(I3) ? x>ee.Comme tout x de ]ee;+∞[ est dans ]0;+∞[(1), S=]ee;+∞[.(I4) ex⩽3. La fonction exponentielle est définie sur ℝ, donc cette inéquation aussi. On la résout dans ℝ.
(I4) ? ln(ex)⩽ln(3). On peut composer par la fonction logarithme népérien car les deux membres ex et 3
sont strictement positifs et car la fonction logarithme népérien est strictement croissante donc conserve l'ordre
sur ]0;+∞[. (I4) ? x⩽ln3S=]?∞;ln3[(I5) e5x>3. La fonction exponentielle est définie sur ℝ, donc cette inéquation aussi, puisque lorsque x ?
ℝ, 5x ? ℝ. On résout donc (I5) dans ℝ.(I5) ? ln(e5x)>ln3 On peut composer les deux membres par la fonction logarithme népérien car e5x et 3
sont strictement positifs et car la fonction logarithme népérien est strictement croissante donc conserve l'ordre
sur ]0;+∞[. (I5) ? 5x>ln3 ? x>ln35S=]ln3
5;+∞[
(I6) ex?1<2. La fonction exponentielle est définie sur ℝ, donc cette inéquation aussi.(I6) ? ln(ex?1) sont strictement positifs et car la fonction logarithme népérien est strictement croissante donc conserve l'ordre (I7) ? eln(2x?1)>e?1 : on peut composer les deux membres par la fonction exponentielle car celle-ci est x-∞ ?2 0 +∞ x+2 - 0 + + x - - 0 + x⩾3 (car a⩾b ? ln(a)⩾ln(b) puisque la fonction logarithme népérien est strictement x-∞ 0 1 +∞ x - 0 + + Mais comme nous résolvons dans ]?∞;?2[?]0;+∞[, l'ensemble des solutions de (I8) est l'intersection de : l'intersection de deux ensembles est constituée des éléments qui sont dans les deux ensembles à la fois. x-∞ 0 2 +∞ x?2 - - 0 + x(x?2) + 0 - 0 + (I9) est donc définie sur ]0;+∞[ ∩( ]?∞;0[?]2;+∞[ ) = ]2;+∞[. On résout donc (I9) dans ]2;+∞[. x-∞ 0 3 +∞ x - 0 + + x?3 - - 0 + x(x?3) + 0 - 0 + On peut composer les trois membres par la fonction logarithme népérien, puisque les 3 membres sont (I11) ? lnx⩾?2 ? elnx⩾e?2 (on peut composer les deux membres par la fonction exponentielle car1 On dit aussi que l'intervalle ]0;+∞[ est inclus dans ]0;+∞[ , ce qui se note ]ee;+∞[? ]0;+∞[ .
Terminale ES - Exercices sur " logarithmes, exponentielles et inéquations » 1/7 On résout donc (I7) dans ]1
2;+∞[.
2e à
1 2, afin de savoir lequel des deux
intervalles ]1 2;+∞[ ou ]1+e
2e;+∞[ est inclus dans l'autre.
1 +e 2e=( 1 e+1)e 2e= 1 e+1 2=1 2e+1 2 . Comme e>0, 1
2e>0, donc 1
2e+1 2>1 2, soit 1+e
2e>1 2 Donc S=]1+e
2e;+∞[.
(I8) ln(1+2 x)⩾ln3 (I8) est définie lorsque 2 x est défini, donc pour x≠0, et lorsque 1+2 x>0. 1 +2 x>0 ? x x+2 x>0 ? x+2 x>0. On a donc
x+2 x>0 lorsque x ? ]?∞;?2[?]0;+∞[. I8) est donc définie pour x ? ]?∞;?2[?]0;+∞[. On la résout dans cet ensemble. (I8) ? 1+2 2x+2 + + 0 -
Rappel
L'ensemble des solutions de l'inéquation
(I9) est donc ]2;+∞[ ∩ (]?∞;0]?[3;+∞[) = [3;+∞[. S=[3;+∞[
(I10) 1 2⩽ex⩽2La fonction exponentielle est définie sur ℝ, donc cette double inéquation aussi.
2)⩽ln(ex)⩽ln2 ? ?ln2⩽x⩽ln2.S=[?ln2;ln2].
I11) lnx+2⩾0Cette inéquation est définie sur ]0;+∞[, comme la fonction ln. Terminale ES - Exercices sur " logarithmes, exponentielles et inéquations » 3/7
2 On peut composer les deux membres par la fonction exponentielle car
celle-ci est strictement croissante donc conserve l'ordre sur (I13) ? elnx⩽e 12 ? x⩽e
1 2. L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc ]0;+∞[ ∩ ]?∞;e 12], soit S=]0;e
1 2].(I14) 2lnx+1⩾0 (I14) est définie, comme la fonction ln, sur ]0;+∞[. On la résout dans cet ensemble.
(I14) ? 2lnx⩾?1 ? lnx⩾?12 ? elnx⩾e
?12 ? x⩾e ?12.Comme pour tout réel x, ex>0, on sait que e
?12>0, ]0;+∞[ ∩ [e ?12;+∞[ = [e ?12;+∞[.Donc S=[e
?12;+∞[. (I15) lnx+4⩾0 (I15) est définie sur ]0;+∞[, comme la fonction ln. Nous la résolvons dans cet ensemble.(I15) ? lnx⩾?4 ? elnx⩾e?4 ? x⩾e?4. De manière analogue à (I14), on trouve S=[e?4;+∞[
(I16) lnx(2?lnx)⩾0. (I16) est définie sur ]0;+∞[, comme la fonction ln. Nous la résolvons dans cet ensemble. lnx>0 ? lnx>ln1 ? x>1 et 2?lnx>0 ? 2>lnx ? e2>elnx ? e2>x. Terminale ES - Exercices sur " logarithmes, exponentielles et inéquations » 4/7x0 1 e2 +∞
lnxǁ - 0 + +
2?lnxǁ + + 0 -
lnx(2?lnx)ǁ - 0 + 0 -
Donc dans l'ensemble
]0;+∞[, lnx(2?lnx)⩾0 lorsque x ? [1;e2].S=[1;e2]. Exercice 2 : 1) Résolvons l'inéquation ?x2?4x+5>0.On considère le trinôme
?x2?4x+5. ∆=(?4)2?4×(?1)×5=16+20=36=62.Les deux racines du trinôme sont donc
x 1=4?62×(?1)=?
2 ?2=1 et x2=4+62×(?1)=
10 ?2=?5.Comme le coefficient du terme de plus haut degré de ce trinôme est négatif (puisqu'il est égal à
?1), on a :x-∞ ?5 1 +∞
?x2?4x+5 - 0 + 0 -
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation
?x2?4x+5>0 est ]?5;1[.2) Nommons (I) l'inéquation ln(?x2?4x+5)+ln1
8>0. (I) est définie lorsque ?x2?4x+5>0, c'est-à-dire sur ]?5;1[. Résolvons-la dans ]?5;1[ : (I) ? ln(?x2?4x+5)>?ln( 18) ? ln(?x2?4x+5)>ln(8) puisque l'inverse de 1
8 est 8 et car pour tout
b ? ℝ+?, ln( 1 b)=?lnb. Donc (I) ? ?x2?4x+5>8 ? ?x2?4x?3>0. Considérons le trinôme ?x2?4x?3. ∆=(?4)2?4×(?1)×(?3)=16?12=4=22.Ce trinôme admet donc deux racines :
x 3=4?22×(?1)=
2 ?2=?1 et x4=4+22×(?1)=
6 ?2=?3. Sur ℝ, le signe de ?x2?4x?3 est donné par le tableau suivant :x-∞ ?3 ?1 +∞
?x2?4x?3 - 0 + 0 -