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3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : 1 2ln3 ln2 ln 2 A = + + 1 ln9 2ln3 2 B = − Exercice n° 2 Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216 ln (1) 6 ln (1) 16 ln( )a 0,7 1,1 Exercice n° 3

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Terminale ES - Exercices de résolutions d'équations avec le logarithme népérien.

Corrigés.

Exercice 1 : (E1) e3x?1=3? ln(e3x?1)=ln3 (on a le droit de composer par le logarithme car les deux membres sont strictement positifs) (E1) ? 3x?1=ln3 ?3x=ln3+1 ? x=ln3+1

3. S={ln3+1

3} (E2) ex?1=2 ? ln(ex?1)=ln2 (Même remarque que ci-dessus) ? x?1=ln2 ? x=ln2+1

S={ln2+1}

(E3) e?x=2? ln(e?x)=ln2 (Même remarque que ci-dessus) ? ?x=ln2 ? x=?ln2 S={?ln2} (E4) e 1 x=2 ? ln(e 1 x)=ln2 (Même remarque que ci-dessus) ? 1 x=ln2 ? 1 ln2=x S={ 1 ln2} (E5) ex=1

2 ? ln(ex)=ln(

2) (Même remarque que ci-dessus) ? x=ln1?ln2 ? x=0?ln2

? x=?ln2S={?ln2} (E6) e3x=1

2? ln(e3x)=ln(

2) (Même remarque que ci-dessus) ? 3x=?ln2 ? x=?ln2

S={?ln2

3} (E7) ex(ex?2)=0 ? ex=0 ou ex?2=0

Remarque : l'équation

ex=0 n'a pas de solution car pour tout réel x, ex>0. Donc (E7) ? ex?2=0 ? ex=2 ? ln(ex)=ln2 car les deux membres de l'équation sont strictement positifs. (E7) ? x=ln2.S={ln2} (E8) (ex+3)(ex?5)=0 ? ex+3=0 ou ex?5=0.

Or, pour tout

x de ℝ, ex>0 donc ex+3>3>0. Donc l'équation ex+3=0 n'a pas de solution dans ℝ. Donc (E8) ? ex?5=0 ? ex=5 ? ln(ex)=ln5 (On peut composer par ln car les deux membres sont strictement positifs), (E8) ? x=ln5.S={ln5} (E9) (e?x?2)(e?x?1

2)=0 ? e?x?2=0 ou e?x?1

2=0 ? e?x=2 ou e?x=1

On peut composer les membres de ces deux équations par la fonction ln car tous ces membres sont strictement positifs.

(E9) ? ln(e?x)=ln2 ou ln(e?x)=ln( 1

2) ? ?x=ln2 ou ?x=?ln2 ? x=?ln2 ou x=ln2.

S={?ln2;ln2}

(E10) (e3x?1)2=4? (e3x?1)2?4=0 ? (e3x?1)2?22=0 ? (e3x?1?2)(e3x?1+2)=0 (E10) ? (e3x?3)(e3x+1)=0 ? e3x?3=0 ou e3x+1=0.

Or pour tout réel

x, e3x>0 donc e3x+1>1 donc e3x+1≠0. Donc (E10) ? e3x?3=0 ? e3x=3.

Comme les deux membres de cette équation sont strictement positifs, on peut composer par la fonction ln :

(E10) ? ln(e3x)=ln3 ? 3x=ln3 ? x=ln3 3.S={ ln3 3}. Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 1/6

Autre résolution possible pour (E10):

(E10) (e3x?1)2=4? e3x?1=2 ou e3x?1=?2 ? e3x=3 ou e3x=?1.

Pour tout x

? ℝ, e3x>0 donc e3x≠?1. Donc (E10) ? e3x=3 ? ln(e3x)=ln3 (On peut composer par ln car les deux membres sont strictement positifs), donc (E10) 3x=ln3 ? x=ln3 3.

(E11) ex2?3=2 ? ln(ex2?3)=ln2(On peut composer par ln car les deux membres sont strictement positifs)

(E11) ? x2?3=ln2 ? x2=ln2+3 ? x=⎷ln2+3 ou x=?⎷ln2+3.S={?⎷ln 2+3;⎷ln2+3}

(E12) ex2?3=?2S=∅. L'équation n'a pas de solution car pour tout réel x, ex2?3>0, donc ex2?3≠?2.

(E13) e2x?2e?2x=1 ? e2x?2 e2x=1. On pose X=e2x et on résout donc, pour X>0, X?2

X=1 (E'13).

(E'13) ? X?1?2

X=0 ? X2?X?2

X=0. Considérons le trinôme X2?X?2. ∆=12?4×1×(?2)=1+8=9=32.

Donc ce trinôme a deux racines :

1=?(?1)?3

2=?1 et X2=?(?1)+3

2=2. Seule

X2 est strictement positive.

Donc (E13) ? e2x=2 ? ln(e2x)=ln2 ? 2x=ln2 ? x=ln2 2.S={ ln2 2} (E14) (ex?1)2=1 ? (ex?1)2?12=0 ? (ex?1?1)(ex?1+1)=0 ? (ex?2)ex=0 (E14) ? ex?2=0 ou ex=0 ? ex?2=0 car pour tout réel x, ex>0 donc ex≠0. (E14) ? ex=2 ? ln(ex)=ln2 ? x=ln2.S={ln2} On peut aussi résoudre comme suit : (E14) ? ex?1=⎷1 ou ex?1=?⎷1... Exercice 2 : a) (E) 5x2?13x?6=0∆=(?13)2?4×5×(?6)=169+120=289=172 (E) a deux solutions dans ℝ : x1=13?17

10=?0,4 et x2=13+17

10=3. S={?0,4;3}.

b) (E') 5e4x?13e2x?6=0. En posant X=e2x, l'équation (E') s'écrit 5X2?13X?6=0. (Petite précision si besoin : e4x=(e2x)2 ) On sait que cette dernière équation a deux solutions dans ℝ : ?0,4 et 3.

Or il ne s'agit pas de la résoudre dans

ℝ mais dans ℝ+?, car pour tout x de ℝ, e2x>0.

On ne garde donc que la solution

X=3.

On résout donc

e2x=3 ? ln(e2x)=ln3 ? 2x=ln3 ? x=ln3 2.S={ ln3 2}.

Exercice 3 : (E1) ln(1+3x)=ln(x+1)

(E1) est définie pour 1+3x>0 et x+1>0 ? 3x>?1 et x>?1 ? x>?1

3 et x>?1 ? x>?1

3 car ?1

3>?1. On résout donc (E1) dans ]?1

3;+∞[.

Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 2/6 (E1) ? 1+3x=x+1 ? 2x=0 ? x=0. Comme 0 ? ]?1

3;+∞[, S={0}.

(E2) ln(2x+1)=ln(x2?1). (E2) est définie lorsque 2x+1>0 et x2?1>0.

2x+1>0 ? 2x>?1 ? x>?1

2 ? x ? ]?1

2;+∞[.

x2?1=(x+1)(x?1)

x-∞ ?1 1 +∞

x+1 - 0 + +

x?1 - - 0 +

x2?1 + 0 - 0 +

x2?1>0 ? x ? ]?∞;?1[?]1;+∞[. (]?∞;?1[?]1;+∞[)∩]?1

2;+∞[=]1;+∞[

On résout donc l'équation (E2) dans ]1;+∞[. (E2) ln(2x+1)=ln(x2?1) ? 2x+1=x2?1 ? 0=x2?2x?2.

2)2?4×1×(?2)=4+8=12=(2⎷3)2

Le trinôme x2?2x?2 admet donc deux racines dans ℝ : x1=2?2⎷2

3=1?⎷3 et x2=2+2⎷3

2=1+⎷3.

Mais

1?⎷3?]1;+∞[, donc S={1+⎷3}.

(E3) ln(x?3)?1=0. (E3) est définie pour x?3>0 ? x>3 ? x ? ]3;+∞[.

On résout donc (E3) dans ]3;+∞[.

(E3) ? ln(x?3)=1 ? eln(x?3)=e1 ? x?3=e ? x=e+3. e>0 donc e+3>3 donc e+3 ? ]3;+∞[.Donc S={e+3}. (E4) ln(x)+ln(x?1)=0(E4) est définie pour x>0 et x?1>0 ? x>0 et x>1 soit pour x>1.

On résout donc

(E4) dans ]1;+∞[. (E4) ? ln(x(x?1))=0 ? ln(x(x?1))=ln1 ? x(x?1)=1.

E4) ? x2?x?1=0.∆=(?1)2?4×1×(?1)=5.

Le trinôme x2?x?1 admet donc deux racines dans ℝ : x1=1?⎷5

2 et x2=1+⎷5

2. Seul x2 est dans ]1;+∞[. Donc S={

1+⎷5

2}. (E5) ln(4?x)=0(E5) est définie pour 4?x>0 ? 4>x ? x ? ]?∞;4[. On résout donc (E5) dans ]?∞;4[. (E5)? ln(4?x)=ln1 ? 4?x=1 ? 3=x. ?3 ]?∞;4[, donc S={3}. Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 3/6 (E6) ln(x)?ln(1?x)=ln(2)

(E6) est définie pour x>0 et 1?x>0, soit pour x>0 et 1>x. Donc (E6) est définie pour x ? ]0;1[.

On résout (E6) dans ]0;1[.

(E6) ? ln(x)?ln(1?x)?ln2=0 ? lnx

2(1?x)=0 ? lnx

2(1?x)=ln1 ? x

2(1?x)=1

(On remarque que si x ? ]0;1[, nécessairement 1?x≠0 ) (E6) ? x=2(1?x) ? x=2?2x ? 3x=2 ? x=2

3. Comme 2

3 ? ]0;1[, S={

2 3}. (E7) ln(2x+1)+ln(x?3)=ln(x+5) (E7) est définie pour 2x+1>0 et x?3>0 et x+5>0

Soit pour 2x>?1 et x>3 et x>?5, soit pour x>?1

2 et x>3 et x>?5, donc pour x ? ]3;+∞[.

On résout (E7) dans ]3;+∞[.

(E7) ? ln((2x+1)(x?3))=ln(x+5) ? (2x+1)(x?3)=x+5 ? 2x2?6x+x?3=x+5 (E7) ? 2x2?6x?8=0 ? x2?3x?4=0.∆=(?3)2?4×1×(?4)=9+16=25=52 Le trinôme x2?3x?4 admet donc deux racines dans ℝ : x1=3?5

2=?1 et x2=3+5

2=4. Seule x2 est dans ]3;+∞[, donc S={4}. (E8) ln(x?1)+ln(2?x)=ln(6x)(E8) est définie pour x?1>0 et 2?x>0 et 6x>0

Soit pour x>1 et 2>x et x>0, soit pour x ? ]1;2[.

On résout (E8) dans ]1;2[.

(E8) ? ln[(x?1)(2?x)]=ln(6x) ? (x?1)(2?x)=6x ? 2x?x2?2+x=6x ? 0=x2+3x+2 ∆=32?4×1×2=9?8=1=12.

Le trinôme

x2+3x+2 admet donc deux racines : x1=?3?1

2=?2 et x2=?3+1

2=?1.

Mais ni

?2, ni ?1 n'appartiennent à l'intervalle ]1;2[. Donc l'équation (E8) n'a pas de solution. S=∅.

Exercice 4 : 1) x2?2x?3=0∆=(?2)2?4×1×(?3)=4+12=16=42.

L'équation

x2?2x?3=0 admet donc deux solutions : x1=2?4

2=?1 et x2=2+4

2=3.S={?1;3}.

2) a) L'équation ln(x?2)+lnx=ln3 n'est définie que pour x?2>0 et x>0, soit x>2 et x>1, soit

x>2. Donc ?1 ne peut pas être solution de cette équation.

3 l'est-elle ? Calculons

ln(3?2)+ln3=ln1+ln3=0+ln3=ln3.

3 est solution de l'équation

ln(x?2)+lnx=ln3. b) L'équation ln[x(x?2)]=ln3 est définie pour x(x?2)>0. Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 4/6

x-∞ 0 2 +∞

x - 0 + +

x?2 - - 0 +

x(x?2) + 0 - 0 +

L'équation

ln[x(x?2)]=ln3 est donc définie pour x ? ]?∞;0[?]2;+∞[.

1 et 3 appartiennent à cet ensemble.

ln(?1(?1?2))=ln(?1×(?3))=ln3. Donc ?1 est solution de l'équation ln[x(x?2)]=ln3. ln(3×(3?2))=ln(3×1)=ln3. Donc 3 est solution de l'équation ln[x(x?2)]=ln3. ?1 et 3 sont tous deux solution de l'équation ln[x(x?2)]=ln3.

Exercice 5 : (E1) ln(x+3)+ln(x+2)=ln(x+11)

(E1) est définie pour x+3>0 et x+2>0 et x+11>0, soit pour x>?3 et x>?2 et x>?11, soit pour x>?2. (E1) est définie sur ]?2;+∞[. On résout donc (E1) dans ]?2;+∞[ : (E1) ? ln[(x+3)(x+2)]=ln(x+11) ? (x+3)(x+2)=x+11 ? x2+5x+6=x+11 (E1) ? x2+4x?5=0.∆=42?4×1×(?5)=16+20=36=62 Le trinôme x2+4x?5 admet donc deux racines dans ℝ : x1=?4?6

2=?5 et x2=?4+6

2=1.

Seule 1 appartient à l'intervalle

]?2;+∞[, donc S={1}. (E'1) ln(x2+5x+6)=ln(x+11). Cette équation est définie lorsque x2+5x+6>0 et lorsque x>?11.

Résolvons l'inéquation

Le trinôme x2+5x+6 admet donc deux racines : x3=?5?1

2=?3 et x4=?5+1

2=?2.

Le coefficient de

x2 dans ce trinôme étant 1>0, on a le tableau de signes suivant :

x-∞ ?3 ?2 +∞

x2+5x+6 + 0 - 0 +

L'ensemble de définition de l'équation

(E'1) est donc ]?11;+∞[∩(]?∞;?3[?]?2;+∞[), c'est-à-dire ]?11;?3[?]?2;+∞[.

On résout

(E'1) dans ]?11;?3[?]?2;+∞[ : (E'1) ? x2+5x+6=x+11 ? x2+4x?5=0 ? x=?5 ou x=1. (Voir résolution de (E1) )

Ici, on peut garder les deux racines,

?5 et 1, car elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de résolution ]?11;?3[?]?2;+∞[.S={?5;1}. Exercice 6 : 1) 2x2+3x?2=0.∆=32?4×2×(?2)=9+16=25=52.

L'équation

2x3+3x?2=0 a deux solutions dans ℝ : x1=?3?5

4=?2 et x2=?3+5

4=1

2.S={?2;12}

2) (E2) 2(lnx)2+3lnx?2=0.

Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 5/6

En posant X=lnx, résoudre (E2) (dans ]0;+∞[ )revient à résoudre (E'2) 2X2+3X?2=0 dans ℝ. (Car

lorsque x parcourt ]0;+∞[, lnx parcourt ℝ)

Or on a vu au 1) que

(E'2) admet deux solutions : X=?2 et X=1 2.

Résoudre

(E2) revient donc à résoudre dans ]0;+∞[ lnx=?2 ou lnx=1 2. lnx=?2 ? elnx=e?2 ? x=e?2 lnx=1

2 ? elnx=e

2 ? x=e

1 2 Ces deux valeurs sont bien dans ]0;+∞[, donc l'ensemble des solutions de (E2) est S={e?2;e 1 2}. Exercice 7 : (E1) ln(x2)=(lnx)2 On résout dans ]0;+∞[. (E1) ? 2ln(x)=(lnx)2.

En posant X=lnx, résoudre (E1) dans ]0;+∞[ revient à résoudre 2X=X2 dans ℝ (Car lorsque x parcourt

]0;+∞[, lnx parcourt ℝ)

2X=X2 ? 0=X2?2X ? 0=X(X?2) ? X=0 ou X?2=0 ? X=0 ou X=2.

Donc (E1) ? lnx=0 ou lnx=2 ? elnx=e0 ou elnx=e2 ? x=1 ou x=e2.S={1;e2}

(E2) e2x?2ex=0. On pose X=ex. Résoudre (E2) dans ℝ revient à résoudre X2?2X=0 dans ]0;+∞[,

car lorsque x parcourt ℝ, ex parcourt ]0;+∞[.

On a vu que, dans

ℝ, X2?2X=0 ? X=0 ou X=2.

0 n'appartient pas à

]0;+∞[. Donc on garde seulement la solution X=2.

On a donc

(E2) ? ex=2 ? x=ln2.S={ln2}

Exercice 8 : (S1) {3X?3Y=3

3X ?2Y=7 ? {X?Y=1 3X ?2Y=7 ? { X=1+Y 3 (1+Y)?2Y=7 ? {X=1+Y 3 +3Y?2Y=7 (S1) ? {X=1+Y Y =4 ? {X=5 Y =4.S={(5;4)}.

S'1) {

2ex?3ey=3

3e x?2ey=7 ? { ex=5 e y=4? {x=ln5 y =ln 4S={ln5;ln4}ou S={ln5;2ln2} (S2) {2X=Y+1 3X +3=2Y? {

2X?1=Y

3X +3=2(2X?1) ? {Y=2X?1 3X +3=4X?2 ? {Y=2X?1 5 =X ? {Y=9 X =5

S={(5;9)}

(S'2) {

2e?x=ey+1

3e ?x+3=2ey ? { e?x=5 e y=9 ? {?x=ln5 y =ln9 ? {x=?ln5 y =2ln3S={(?ln5;2ln3)} (S3) { lnx+ln4=ln3?lny e x=e2?y ? { ln(4x)=ln( 3 y) x=2?y

4(2?y)=3

y x =2?y

4y(2?y)=3

x =2?y ? {8y?4y2=3 x =2?y (on résout pour x>0 et y>0) 8y?4y2=3 ? 0=4y2?8y+3 ? y=3

2ou y=1

2. Si y=3

2, x=1

2 et si x =1

2, y=3

2. Dans les deux cas, on a bien x>0 et y>2. Donc S={(

2;32);(

2;12)}.

Terminale ES - Équations avec des logarithmes et des exponentielles - 6/6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Terminale ES – Exercices de résolutions déquations avec le

Corrigés.

3. S={ln3+1

S={ln2+1}

2 ? ln(ex)=ln(

2) (Même remarque que ci-dessus) ? x=ln1?ln2 ? x=0?ln2

2? ln(e3x)=ln(

2) (Même remarque que ci-dessus) ? 3x=?ln2 ? x=?ln2

S={?ln2

Remarque : l'équation

Or, pour tout

2)=0 ? e?x?2=0 ou e?x?1

2=0 ? e?x=2 ou e?x=1

2) ? ?x=ln2 ou ?x=?ln2 ? x=?ln2 ou x=ln2.

S={?ln2;ln2}

Or pour tout réel

Autre résolution possible pour (E10):

Pour tout x

X=1 (E'13).

X=0 ? X2?X?2

Donc ce trinôme a deux racines :

1=?(?1)?3

2=?1 et X2=?(?1)+3

X2 est strictement positive.

10=?0,4 et x2=13+17

10=3. S={?0,4;3}.

Or il ne s'agit pas de la résoudre dans

On ne garde donc que la solution

On résout donc

Exercice 3 : (E1) ln(1+3x)=ln(x+1)

3 et x>?1 ? x>?1

3>?1. On résout donc (E1) dans ]?1

3;+∞[.

3;+∞[, S={0}.

2x+1>0 ? 2x>?1 ? x>?1

2 ? x ? ]?1

2;+∞[.

2;+∞[=]1;+∞[

2)2?4×1×(?2)=4+8=12=(2⎷3)2

3=1?⎷3 et x2=2+2⎷3

2=1+⎷3.

1?⎷3?]1;+∞[, donc S={1+⎷3}.

On résout donc (E3) dans ]3;+∞[.

On résout donc

E4) ? x2?x?1=0.∆=(?1)2?4×1×(?1)=5.

2 et x2=1+⎷5

1+⎷5

On résout (E6) dans ]0;1[.

2(1?x)=0 ? lnx

2(1?x)=ln1 ? x

2(1?x)=1

3. Comme 2

3 ? ]0;1[, S={

Soit pour 2x>?1 et x>3 et x>?5, soit pour x>?1

2 et x>3 et x>?5, donc pour x ? ]3;+∞[.

On résout (E7) dans ]3;+∞[.

2=?1 et x2=3+5

Soit pour x>1 et 2>x et x>0, soit pour x ? ]1;2[.

On résout (E8) dans ]1;2[.

Le trinôme

2=?2 et x2=?3+1

Mais ni

L'équation

2=?1 et x2=2+4

2=3.S={?1;3}.

2) a) L'équation ln(x?2)+lnx=ln3 n'est définie que pour x?2>0 et x>0, soit x>2 et x>1, soit

3 l'est-elle ? Calculons

3 est solution de l'équation

L'équation

1 et 3 appartiennent à cet ensemble.

Exercice 5 : (E1) ln(x+3)+ln(x+2)=ln(x+11)

2=?5 et x2=?4+6

Seule 1 appartient à l'intervalle

Résolvons l'inéquation

2=?3 et x4=?5+1

Le coefficient de

L'ensemble de définition de l'équation

On résout

Ici, on peut garder les deux racines,

L'équation