AP 1eres ES L Loi binomiale 2

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli 2) On effectue 9 forages a

EXERCICES : LOI BINOMIALE & ECHANTILLONNAGE

1ère ES - Chapitre 8 : Loi Binomiale - Exercices 3 a)Quelle est la loi de X? b)Calculer P(X=2) c)A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer la valeur de X la plus probable d)A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer le plus petit entier mtel que P(X≤ m)>0 99 4 On revient à l’expérience initiale

Première ES - Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

Schéma de Bernoulli – Loi binomiale I) Epreuve et loi de Bernoulli 1) Définition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre , toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : • L’une appelée succès notée dont la probabilité de réalisation est • L’autre appelée échec notée q ou

AP 1eres ES L Loi binomiale 2 - ac-rouenfr

1 ES L AP Loi binomiale 2 : Exercice 1 : X suit une loi binomiale de paramètre n = 40 et p = 0,35 Calculer les probabilités suivantes :

350re ES - Bernouilli et binomiale - ChingAtome

6 Loi binomiale et représentation : Exercice 4930 1 On considère la variable aléatoire X suivant une loi bi-nomiale de paramètres n=5 et p=0,5 a A l’aide de la calculatrice et en arrondissant les valeurs à 10 4, dresser le tableau présentant la loi de proba-bilité de la variable aléatoire X b Tracer le diagramme en barre

LOI BINOMIALE - maths et tiques

1) Prouver que X suit une loi binomiale 2) Déterminer la loi de probabilité de X 3) Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules gagnantes 1) On répète 4 fois une expérience à deux issues : boules gagnantes (5 issues) ; boules perdantes (7 issues) Le succès est d’obtenir une boule gagnante

PROBABILITÉS Loi binomiale - Échantillonnage I Épreuve de

appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X Exemples Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale correspondant à un schéma de Bernoulli, avec 3 répétitions et 4 répétitions Définition

DS nº8, suite et fin : Loi binomiale 1ère S

4) X suit une loi binomiale, son espérance est donc E(X)=n p=1000× 5 1000 =5 On peut donc estimer à 5 en moyenne le nombre de résistances défectueuses dans un lot de 1000 résistances 1 Et voilà pourquoi on a décidé que le choix d'une résistance défectueuse était un succès Si X avait compté le

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES Exercice 11 On a remarqué de 1 des pièces sortant d’une machines sont défectueuses On fait des lots de 10 pièces et on suppose que les défectuosités sont indépendantes 1) Montrer que la situation peut être modélisée en utilisant une loi binomiale On introduira une variable

Variables aléatoires discrètes - Cours et exercices de

3 La loi de probabilité de X est une loi binomiale, n=10, p=0:3, espérance 3 4 P[X =5]= 10 5 (0:3) 5(0:7) =0:10292 Correction del’exercice9 N Le nombre X de personnes mesurant plus de 1 90m parmi 100 obéit à une loi de Poisson de paramètre 100 80 La probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 1 90m est donc 1 P[X

1 ES L AP Loi binomiale 2 : Exercice 1

X suit une loi binomiale de paramètre n = 40 et p = 0,35. Calculer les probabilités suivantes :

3) P(X < 17) 4) P(X > 15)

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante. On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis de réduire à 0,06 la probabilité d"avoir un pot de crème non conforme en fin de fabrication. Une boutique commande 50 pots de cette nouvelle crème à cette entreprise. est la variable aléatoire qui donne le nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.

1. Montrer que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que la boutique ne reçoive aucun pot non conforme.

3. Calculer la probabilité que la boutique reçoive exactement deux pots non

conformes. Exercice 3 Dans un cabinet d"assurances, on estime à 0,22 la probabilité qu"un client ait un sinistre dans l"année. On choisit au hasard et de manière indépendante 18 clients de cet assureur. est la variable aléatoire qui donne le nombre de clients sinistrés dans l"année.

1. Préciser la loi de probabilité suivie par .

2. Calculer = 3 et ≥ 1. Interpréter.

3. Calculer ≥ 3

Calculer E(X), interpréter

Exercice 4

Une entreprise fabrique des téléphones portables. Un test de performance est appliqué à ces téléphones, il est positif dans 96 % des cas.

Un téléphone dont le test est positif est vendu 500 €. Mais si le test est négatif, il est

soldé au prix de 300 €. On prélève au hasard 400 téléphones dans la production. Le volume de la

production permet d"assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. est la variable aléatoire qui donne le nombre de téléphones conformes parmi les 400.

1. Préciser la loi de probabilité suivie par .

2. Calculer l"espérance de . Interpréter.

3. En déduire la recette moyenne réalisée sur la vente des 400 téléphones.

Exercice 5

Une compagnie aérienne assure une ligne régulière avec un avion d"une capacité de

70 passagers. Les clients réservent gratuitement par Internet, sans obligation

d"achat et sans pénalité en cas de non présentation. La compagnie propose places à la réservation ≥ 70 et on suppose que les places sont réservées mais seuls 95% des voyageurs se présentent à l"embarquement et achètent effectivement leur billet.

Le prix du billet s"élève à 90 €.

Du point de vue de la compagnie, la présence ou non d"un client à l"embarquement est une épreuve de Bernoulli et les clients représentent répétitions identiques et indépendantes de cette épreuve. est la variable aléatoire qui donne le nombre de passagers achetant effectivement leur billet parmi les ayant réservé.

A. Sans surbooking

On suppose dans cette partie que = 70.

1. Quelle es la loi suivie par ?

2. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins une place libre dans l"avion.

Arrondir au millième.

3. Déterminer l"espérance et en déduire la recette moyenne du vol.

B. Avec surbooking

On suppose dans cette partie que = 80. (la capacité restant de 70 passagers) Si un voyageur ayant réservé arrive pour embarquer alors que l"avion est déjà complet, la compagnie lui verse un dédommagement de 45 €.

1. Quelle est la loi suivie par ?

2. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins une place libre dans l"avion.

Arrondir au millième.

3. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins un voyageur ayant réservé et ne

pouvant pas embarquer. Arrondir au millième.

4. Calculer la recette moyenne du vol.

1 ES L Correction AP Loi binomiale 2 : Exercice 1

1) P(X = 3)

» 0,9827

3) P(X < 17) = P(X

£16)

» 0,7978

4) P(X > 15) = 1 - P(X

£15)

» 0,3054

£ 35) - P(X

£9)

» 0,9356

6) P(6 < X < 24) = P(X

£ 23) - P(X

£6)

» 0,9946

Exercice 2

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un pot de crème. S : " Il est conforme »

p = 0,06. On répète cette expérience 50 fois de façons identiques et indépendantes. suit une loi binomiale de paramètre n = 50 et p = 0,06.

2. P(X = 0)

» 0,0453.

3. P(X = 2) » 0,2262.

Exercice 3

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un client. S : " Le client a eu un

sinistre » p = 0,22. On répète cette expérience 18 fois de façons identiques et indépendantes. suit une loi binomiale de paramètre n = 18 et p = 0,22.

2. = 3

» 0,2091. La probabilité d"obtenir 3 clients ayant un sinistre est de 0,2091. ≥ 1 = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)

» 0,9886. La probabilité

d"obtenir au moins un client ayant un sinistre est de 0,9886.

3. ≥ 3 = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X

£ 2)

»0,7916

E(X) = 18

´0,22

» 4. En moyenne sur 18 clients interrogés, 4 ont eu un sinistre.

Exercice 4

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un téléphone. S " il est conforme ».

p = 0,96. On répète cette expérience 400 fois de façons identiques et indépendantes. suit une loi binomiale de paramètre n = 400 et p = 0,96.

2. E(X) = 400

´0,96 = 384. En moyenne sur 400 téléphones, 384 sont conformes.

3. La recette moyenne réalisée sur la vente des 400 téléphones est de :

R = 384

´500 + (400 - 384) 300 = 196800 €.

Exercice 5

A. Sans surbooking

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un passager. S : " Il se présente »

p = 0,95. On répète cette expérience 70 fois de façons identiques et indépendantes. suit une loi binomiale de paramètre n = 70 et p = 0,95.

2. Au moins une place libre dans l"avion donc au plus 69 places

occupées (c"est-à-dire au plus 69 personnes qui se sont présentées) : P(X

£69)

»0,102

3. E(X) = 70´0,95 = 66,5. En moyenne 66,5 personnes se sont présentées

ainsi la recette moyenne est de : 66,5

´90 = 5985 €

C. Avec surbooking

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un passager. S : " Il se présente »

p = 0,95. On répète cette expérience 80 fois de façons identiques et indépendantes. suit une loi binomiale de paramètre n = 80 et p = 0,95.

2. P(X

£69)

»0,002

3. Il y a au moins un voyageur ayant réservé et ne pouvant pas embarquer,

c"est-à-dire qu"il y a plus de 71 personnes à s"être présentées : P(X

³71) = 1 - P(X

£70)

»0,993

4. E(X) = 80

´0,95 = 76. En moyenne 76 personnes se sont présentées donc 6 seront indemnisés.

La recette moyenne est de : 70

´90 - 6

´45 = 6030 €

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1 ES L AP Loi binomiale 2 : Exercice 1

3) P(X < 17) 4) P(X > 15)

1. Montrer que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que la boutique ne reçoive aucun pot non conforme.

3. Calculer la probabilité que la boutique reçoive exactement deux pots non

1. Préciser la loi de probabilité suivie par .

2. Calculer = 3 et ≥ 1. Interpréter.

3. Calculer ≥ 3

Calculer E(X), interpréter

Exercice 4

1. Préciser la loi de probabilité suivie par .

2. Calculer l"espérance de . Interpréter.

3. En déduire la recette moyenne réalisée sur la vente des 400 téléphones.

Exercice 5

70 passagers. Les clients réservent gratuitement par Internet, sans obligation

Le prix du billet s"élève à 90 €.

A. Sans surbooking

On suppose dans cette partie que = 70.

1. Quelle es la loi suivie par ?

2. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins une place libre dans l"avion.

Arrondir au millième.

3. Déterminer l"espérance et en déduire la recette moyenne du vol.

B. Avec surbooking

1. Quelle est la loi suivie par ?

2. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins une place libre dans l"avion.

Arrondir au millième.

3. Calculer la probabilité qu"il y ait au moins un voyageur ayant réservé et ne

4. Calculer la recette moyenne du vol.

1 ES L Correction AP Loi binomiale 2 : Exercice 1

1) P(X = 3)

» 0,9827

3) P(X < 17) = P(X

£16)

» 0,7978

4) P(X > 15) = 1 - P(X

£15)

» 0,3054

£ 35) - P(X

£9)

» 0,9356

6) P(6 < X < 24) = P(X

£ 23) - P(X

£6)

» 0,9946

Exercice 2

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un pot de crème. S : " Il est conforme »

2. P(X = 0)

» 0,0453.

3. P(X = 2) » 0,2262.

Exercice 3

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un client. S : " Le client a eu un

2. = 3

» 0,9886. La probabilité

3. ≥ 3 = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X

£ 2)

»0,7916

E(X) = 18

´0,22

Exercice 4

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un téléphone. S " il est conforme ».

2. E(X) = 400

3. La recette moyenne réalisée sur la vente des 400 téléphones est de :

R = 384

´500 + (400 - 384) 300 = 196800 €.

Exercice 5

A. Sans surbooking

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un passager. S : " Il se présente »

2. Au moins une place libre dans l"avion donc au plus 69 places

£69)

»0,102

3. E(X) = 70´0,95 = 66,5. En moyenne 66,5 personnes se sont présentées

´90 = 5985 €

C. Avec surbooking

1. Epreuve de Bernoulli : On choisit un passager. S : " Il se présente »

2. P(X

£69)

»0,002

3. Il y a au moins un voyageur ayant réservé et ne pouvant pas embarquer,

³71) = 1 - P(X