Couples de variables aléatoires discrètes
1 Loi d'un couple de variables aléatoires Dé nition 1 Un couple de ariablesv aléatoires (X,Y) est la donnée de deux ariablesv aléatoires dé nies sur le même espace probabilisé Ω Une façon plus technique de voir les choses est de dire qu'un couple est une application (X,Y) : Ω → R2
I Loi d’un couple de variables al eatoires
D e nition : Les variables X et Y sont appel ees variables marginales du couple (X;Y) et leur loi, loi marginale de X (resp de Y) M ethode pour trouver les lois marginales a partir de la loi du couple Supposons connue la loi du couple (X;Y), i e l’ensemble fp ij j(i;j) 2I Jg
Couple de variables al´eatoires - Notion d’ind´ependance
valeurs dans DY La loi du couple (X,Y) est d´efinie par l’ensemble des probabilit´es : P(X = x,Y = y) avec x ∈ DX et y ∈ DY Dans le cas ou` les variables sont discr`etes et prennent un petit nombre de valeurs, on ´ecrit en g´en´eral la loi du couple sous la forme d’un tableau : Y\X Somme des colonnes P(X = x,Y = y) P(Y = y)
Couples et vecteurs de variables al eatoires Pr eparation a l
1 3 Loi de f(X;Y) Probl eme : On dispose d’un couple de variables al eatoires discr etes (X;Y) dont on conna^ t la loi conjointe et on voudrait conna^ tre la loi de la variable al eatoire Z = f(X;Y), ou f : X() Y() R est une fonction donn ee Par exemple, on a souvent besoin de conna^ tre la loi de X+ Y, ou celle de X Y, ou de XY
Couples de variables al eatoires discr etes - Covariance et
* Lorsque les variables X et Y sont nies et que la loi du couple est donn ee sous forme d’un tableau a double entr ee, les lois marginales de X et Y s’obtiennent en faisant la sommes des el ements sur chaque ligne ou sur chaque
ECT 2ème année Chapitre 2 Famille de variables aléatoires finies
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires On appelle loi conjointe du couple (X,Y) la donnée desprobabilités P([X=x]∩[Y=y])pourtout(x,y Méthode1: Donnerla loi conjointe d’un couple de variablesaléatoires • Ondonne lesensembles X(Ω) et Y(Ω)des valeursprisesparX etY • Oncalcule toutesles probabilités P([X =x]∩[Y=y])pourtout(x,y
Résumé de sup : probabilités
est un couple de variables aléatoires sur Ω Si E =E′ =R, (X,Y) est une couple de variables aléatoires réelles sur Ω c d loi de X a 1
Exercices sur les Variables aléatoires Exo1
si le joueur obtient un 4, il ne perd ni ne gagne rien si le joueur obtient un 5 ou un 6, il gagne 30 € Soit X la variable aléatoire indiquant le gain (positif ou négatif) du joueur : donner la loi de probabilité de X Calculer l’espérance (la variance et l’écart-type de cette loi ne sont plus au programme)
R Ω X ,,X Ω V X V ,,X X Y X x Y Ω
de v a r d ) Définition 7 0 1 On app elle c ouple alé atoir e sur l'espace probabilise (Ω,T ,P), une application V : Ω → R2, donc qui à toute épreuv e ω de Ω asso cie un v ecteur V (ω) R2 et telle que c haque co ordonnée dé nit une v ariable aléatoire réelle Ainsi, on p eut écrire V = X Y, où X et Y son t deux v ariables
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ece?Lycee Ozenne
Annee????-????ToulouseChapitre n
o21 :Couples de variables al
eatoires discretesI Loi d'un couple de variables aleatoires SoientXetYdeux variables aleatoires discretes denies sur le m^eme espace probabilise ( ;A;P).On noteraX(
) =fxi;i2IgetY( ) =fyj;j2Jg, l'ensemble des valeurs prises respectivement parXet Y(ouIetJsont des ensembles d'entiers).Denition :On appelle couple (X;Y) l'application (X;Y) : !R2 !7!X(!);Y(!).L'ensemble (X;Y)(
) des valeurs prises par le couple (X;Y) est alors inclus dans l'ensemble des couples de reels suivantsf(xi;yj)j(i;j)2IJg: (X;Y)( )X( )Y( ):Denition : On appelle loi conjointe, ou loi du couple (X;Y), la donnee de toutes les probabilites p i;j= P(X=xi;Y=yj) = P(X=xi)\(Y=yj)pour tout (i;j)2IJ: On pourra representer cette loi par un tableau a double entree (ni ou inni selon les cas).Exemple :On lance (de maniere independantes) deux des equilibres a 4 faces distinctes et on noteX1(resp.X2) le
resultat. SoitY= max(X1;X2).Loi du couple (X1;Y) : soit (i;j)2 f1;:::;4g2.
1. si i > j, alors commeYX, (X1=i)\(Y=j) =?etpi;j= P(X1=i)\(Y=j)= 0. 2. si i < j, alors (X1=i)\(Y=j) = (X1=i)\(X2=j) et par independance des deux lancers, p i;j= P(X1=i)P(X2=j) = (1À4)2=1À
16. 3. si i=j; on a (X1=i)\(Y=i) = (X1=i)\(X2i) (car sinon le maximum devientX2). D'ou par independance, P(X1=i)\(Y=i)= P(X1=i)P(X2i).Puis P(X2i) =iX
k=1P(X2=k) =i14 . On en deduit quepi;j= P(X1=i)\(Y=i)=i16 X1nY1 2 3 4
11/16 1/16 1/16 1/16
20 2/16 1/16 1/16
30 0 3/16 1/16
40 0 0 4/16
Remarque :: Si on somme tous les coecients de ce tableau, on obtient 1. En fait, on a m^eme l'equivalence suivante :Theoreme : fpijj(i;j)2IJgest la loi d'un couple de var discretesssi8 :p ij0 pour tout (i;j)2IJX (i;j)2IJp ij= 1:Remarque ::Dans ce contexte,
X (i;j)2IJp ij=X i2I" X j2Jp ij X j2J X i2Ip ij! On peut commencer par sommer sur les indicesjpuis les indicesiou inversement.Ce resultat, deja vu pour les sommes nies, est a admettre pour les sommes doubles innies a termes positifs.
II Lois marginalesDenition :Les variablesXetYsont appelees variables marginales du couple (X;Y) et leur loi, loi
marginale deX(resp. deY). Methode pour trouver les lois marginales a partir de la loi du couple. Supposons connue la loi du couple (X;Y),i.e.l'ensemblefpijj(i;j)2IJg. On cherche maintenant a conna^tre la loi deXi.e.l'ensemblef(P(X=xi)ji2Ig. Or la famille des evenementsf(Y=yj); j2Jgforme un systeme complet d'evenements, donc d'apres la formule des probabilites totales appliquee a ce systeme complet d'evenements, on obtient : p i;:= P(X=xi) =X j2JP(X=xi)\(Y=yj)=X j2Jp ij:De m^eme, la loi deYs'obtient a l'aide de la formule des probabilites totales appliquee au systeme complet
d'evenementsf(X=xi); i2Ig: p ;j:= P(Y=yj) =X i2IP(X=xi)\(Y=yj)=X i2Ip ij:Exemple :Cherchons la loi marginale deX1:X
1nY1 2 3 4p
i;11/16 1/16 1/16 1/164/1620 2/16 1/16 1/164/16
30 0 3/16 1/164/16
40 0 0 4/164/16
En eet, par exemple :
P(X1= 2) =4X
j=1P(X1= 2)\(Y=j)=4X j=1p2;j= 0 + 2=16 + 1=16 + 1=16 = 4=16 = 1=4:
On a en fait calcule la somme des coecients sur la 2 iemeligne. De m^eme pour les autres valeurs prises parX.On retrouve la loi uniforme surf1;2;3;4g.Evidemment, pour conna^tre la loi deX1, il etait inutile de calculer
la loi du couple (X1;Y)!Cherchons maintenant la loi marginale deY:X
1nY1 2 3 4p
i;11/16 1/16 1/16 1/164/1620 2/16 1/16 1/164/16
30 0 3/16 1/164/16
40 0 0 4/164/16
p ;j1/16 3/16 5/16 7/161On verie, avant toute chose, que la somme des coecients de la derniere ligne (resp. colonne) fait bien 1!
Par exemple, P(Y= 4) =4X
i=1P(X1=i)\(Y= 4)=4X i=1p i;4= 7=16.On a eectue la somme des coecients de la 4
iemecolonne. De m^eme pour les autres valeurs prises parY.ece?|????-????| Lycee Ozenne 1Couples de V.A. discretes
III Operations sur les variables aleatoires
A SommeExemple :On reprend l'exemple precedent.
On a determine la loi conjointe de (X1;Y). On cherche maintenant a conna^tre la loi deX1+Y.Methode : on note, dans chaque case du tableau a double entree de la loi du couple, la valeur de la somme
puis pour chaque valeur on somme les probabilites des cases concernees. X1nY1 2 3 4
12 1/16 31/1641/16
51/16
23
0 42/16
51/16
61/16
34
0 50
63/16
71/16
45
0 60
70
84/16
On a alors (X1+Y)(
) =f2;3;4;5;6;7;8g, et, par exemple, P(X1+Y= 5) =116 +116+ 0 + 0 = 2=16.
En eet,
(X1+Y= 5) =(X1= 1)\(Y= 4)[(X1= 2)\(Y= 3)[(X1= 3)\(Y= 2)[(X1= 4)\(Y= 1):
Les evenements de la reunion sont deux a deux incompatibles d'ou le calcul de P(X1+Y= 5).Tableau de la loi deX1+Y:k2 3 4 5 6 7 8
P(X1+Y=k)1/16 1/16 3/16 2/16 4/16 1/16 4/16
Formule generale :
SoientXetYdeux variables aleatoires. AlorsX+Yest une variable aleatoire dont la loi s'obtient a l'aide de
la formule suivante :8z2(X+Y)(
);P(X+Y=z) =X x2X( ); y2Y( x+y=zP(X=x)\(Y=y):
Calcul de l'esperance de la sommeX+Y, sous reserve d'existence : 1. S io ncon na^tl al oid eXet deY, on utilise la linearite de l'esperance : E(X+Y) = E(X) + E(Y). 2. S io ncon na^tl al oid eX+Y, on peut calculer l'esperance en utilisant la denition.Dans l'exemple precedent, E(X1+Y) = 2116
+ 3116 +::::+ 8416 =9016 = 5.B ProduitExemple :On reprend l'exemple precedent.
La demarche est analogue a la precedente : on repart du tableau de la loi conjointe deX1etY.X1nY1 2 3 4
11 1/16 21/1631/16
41/16
22
0 42/16
61/16
81/16
33
0 60
93/16
121/16
440 80
120
164/16
On a alors (X1Y)(
) =f1;2;3;4;6;8;9;12;16g: Par lecture du tableau, on obtient par exemple P(X1Y= 4) = 1=16 + 2=16 + 0 = 3=16.Tableau de la loi deX1Y:
k1 2 3 4 6 8 9 12 16 P(X1Y=k)1/16 1/16 1/16 3/16 1/16 1/16 3/16 1/16 4/16Formule generale:
SoientXetYdeux variables aleatoires. AlorsXYest une variable aleatoire dont la loi s'obtient a l'aide de
la formule suivante :8z2(XY)(
);P(XY=z) =X x2X( ); y2Y( xy=zP(X=x)\(Y=y)
Calcul de l'esperance du produitXY, sous reserve d'existence : Si on conna^t la loi deXY, on calcule E(XY) a l'aide de la denition.LAttention!En general, E(XY)6= E(X)E(Y)
Ce resultat n'est vrai que siXetYsont independantes (programme de 2iemeannee). Pour rappel :Denition :Deux variables aleatoires discretesXetYsont dites independantes si :
8x2X( );8y2Y( );P(X=x)\(Y=y)= P(X=x)P(Y=y): C Minimum / maximumExemple :Reprenons l'exemple precedent.Pour obtenir la loi deY= max(X1;X2), on pourrait proceder de maniere analogue aux parties precedentes.
Donnons une autre methode, basee sur les fonctions de repartition.On aY(
) =J1;4K. Puis pour toutj2Y( ), on a : P(Yj) = P(X1j)\(X2j)= P(X1j)P(X2j) (lancers independants) j4 j4 =j216 On obtient que8j2[[1;4]], P(Y=j) = P(Yj)P(Yj1) =j2(j1)216 =2j116:Exercice :Determiner, par une methode analogue, la loi deZ= min(X1;X2).ece?|????-????| Lycee Ozenne 2Couples de V.A. discretes
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47