Exercices ccp (probabilités)

Exercices intéressants :96, 97, 98, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109,

111.EXERCICE 96

Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.

1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.

Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points. On noteXla variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées. On noteYle nombre de points obtenus par le joueur sur une partie. (a) Déterminer la loi deX, son espérance et sa variance. (b) Déterminer la loi deY, son espérance et sa variance.

2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans

remise. (a) Déterminer la loi deX.

(b) Déterminer la loi deY.Que des probas finies. Intéressant, pas si facile. Le début (tirage sans remise,

loi binomiale est simple. La suite (tirage sans remise, loi hypergéométrique) est moins évident. Le corrigé " officiel » prend pour acquis le fait que le tirage sans remise équivaut au tirage simultané. Dans certains livres (S. Méléard par exemple) on pense qu"il faut le démontrer. Méfiance, donc!. Très bon exercice

sur les modéles d"urnes, donc.1.a.Les tirages sont implicitement supposés indépendants. DéfinissonsZi= 1

si le joueur tire une boule blanche aui-ème tirage,Zi= 0sinon. ChaqueZisuit une loi de BernoulliB(1=5); commeX=Z1+Z2+:::+Z5,Xsuit une loi binomialeB(5;1=5). Son espérance est égale à1, sa variance à4=5.

1.b.On a

Y= 2X3(5X) = 5(X3)

L"ensemble des valeurs prises parYestf15;10;5;0;5;10get la loi deX sur cet ensemble est définie par les probabilités élémentaires

P(Y= 5(k3)) =5

k 45
5k15 k (0k5) 1 formules bien sûr inutiles pour calculer l"espérance deY(10) et sa variance (20).

2.a.Xpeut prendre les valeurs0,1,2. On a

P(X= 0) =810

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(formule des probabilités composées)

P(X= 1) = 5210

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(même formule, on remarque facilement que la probabilité de tirer une boule blanche une fois seulement, aui-ème tirage, ne dépend pas dei). Et donc, de même,

P(X= 2) =5

2 210
19 88
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ce qui donne les trois probabilités respectives 29
;59 ;29 . On peut aussi remarquer que

P(X=k) =5

2!(2k)!8!(8(5k))!10!

(105)! Quant au corrigé officiel, il semble indiquer que l"on peut tenir pour évident le fait que le tirage sans remise équivaut au tirage simultané. Ce qui est discutable, mais serait sans doute accepté par l"examinateur, et donnerait

P(X=k) =

2 k 8 5k 10 5

2.b.Avec les probabilités respectives29

;59 ;29 ,Yprend les valeurs15;10;5.EXERCICE 97

On admet, dans cet exercice, que :8q2N,X

k>q k q x kqconverge et

8x2]1;1[,+1X

k=q k q x kq=1(1x)q+1:

Soitp2]0;1[etr2N.

On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l"instantt= 0(le temps est exprimé en secondes). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte. Le premier rayon laser est envoyé à l"instantt= 1. La bactérie a la probabilitépd"être touchée par le rayon laser.

Les tirs de laser sont indépendants.

La bactérie ne meurt que lorsqu"elle a été touchéerfois par le rayon laser. SoitXla variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.

1. Déterminer la loi deX.

2. Prouver queXadmet une espérance et la calculer.Exercice intéressant sur la loi géométrique. Demandera une bonne pédagogie

pour expliquer à l"examinateur que la technique suggérée par l"énoncé pour le

calcul de l"espérance est un peu compliquée.1.Lorsquer= 1, on reconnaît une loi géométrique, il est donc bien de com-

mencer l"oral en rappelant cette loi, son espérance. Première solution :Les hypothèses de l"énoncé font que, pour toutn1, la variable aléatoire égale au nombre de tirs " réussis » entre l"instantt= 1et l"instantt=nsuit une loi binomialeB(n;p). Or on aX=nsi et seulement si la bactérie a été touchéer1fois entre l"instantt= 1et l"instantt=n1et touchée à l"instantt=n. Par indépendance, on a donc :

P(X=n) =n1

r1 p r1(1p)nrp Deuxième solution :La loi du temps du premier tir réussi est une loiG(p). Par indépendance, on a doncX=Z1+:::+Zroù lesZisont indépendantes de même loiG(p)(Ziest le temps entre lesi1ème etième tirs réussis). La fonction génératrice d"une loi géométrique est s7!ps1(1p)s (définie sur]11p;11p[). Donc la fonction génératrice deXest, sur le même intervalle, s7!ps1(1p)s r On peut alors faire un produit de Cauchy, ou mieux une dérivation pour obtenir le développement en série entière de s7!11(1p)s r puis mulitplier parprsrmais c"est plus long que la première méthode.

2.Là, c"est la deuxième méthode qui l"emporte de loin pour la simplicité des

calculs. En effet, somme dervariables aléatoires qui ont une espérance,Xen a une, et

E(X) =rp

L"énoncé suggère une autre méthode (celle que les examinateurs connaîtront, or 3 certains n"auront jamais fait de probabilités...)

E(X) =+1X

n=rnn1 r1 p r(1p)nr =rpr+1X n=r n r (1p)nr =rpr1(1(1p))r+1 rp

EXERCICE 98

Soita2]0;+1[.

Soit(X;Y)un couple de variables aléatoires à valeurs dansN2dont la loi est donnée par :

8(j;k)2N2,P(X=j;Y=k) =(j+k)12

j+kej!k!.

1. Déterminer les lois marginales deXet deY.

Les variablesXetYsont-elles indépendantes?

2. Prouver queE2X+Yexiste et la calculer.Définition de l"espérance, des lois marginales, de l"indépendance, formule de

transfert, bon exercice sur la sommabilité, bon exercice ccp à 8 pts! Calculs pas

trop redoutables si on s"y prend correctement.On pourrait commencer par montrer que la famille proposée est sommable de

somme 1. On va faire confiance à l"énoncé, et calculer, sij2N:

P(X=j) =12

j1e j!+1X k=0j+kk! 12 k 12 j1e j! jpe+pe 2 1pe 12 jj+12 j!

On vérifie bien que

+1X j=0P(X=j) = 1, d"où la sommabilité et la " bonne somme » de la famille. Par symétrie,P(Y=j) =P(X=j). Comme(j+12 )(k+12 )6=j+ken général, il n"y a pas indépendance. 4

2.On calcule donc à l"aide du théorème de transfert :

2X+Y=1e

X (j;k)2N2j+kj!k! 2e X (j;k)2N2jj!k! = 2e <+1EXERCICE 99 Une secrétaire effectuenappels téléphoniques versncorrespondants distincts. On admet que lesnappels constituentnexpériences indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité d"obtenir le correspondant demandé estp(p2]0;1[). SoitXla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.

1. Donner la loi deX. Justifier.

2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun

desnXcorrespondants qu"elle n"a pas pu joindre au cours de la première série d"appels. On noteYla variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d"appels. (a) Soiti2J0;nK. Déterminer, pourk2N; P(Y=kjX=i). (b) Prouver queZ=X+Ysuit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.

(c) Déterminer l"espérance et la variance de Z.Bon exercice sur Bernoulli, avec un calcul de somme pas complètement évident.

Que des probas finies.1.SoitXila variable aléatoire qui vaut 1 si leième appel aboutit,nisinon.

Les hypothèses du modèle font desXi(1in) des variables de Bernoulli de paramètrep, dontXest la somme, ce qui fait queXsuit une loiB(n;p).

2. (a)La loi deYsachant(X=i)est, pour la même raison, une loiB(ni;p).

Donc

P(Y=kjX=i) =ni

k p k(1p)nik 5 (b)On a

P(Z=k) =kX

i=0P(X=i;Y=ki) kX i=0P(X=i)P(Y=kijX=i) kX i=0 n i p i(1p)nini ki p ki(1p)nk =pk(1p)2nkkX i=0n!i! (ki)! (nk)!(1p)i n k p k(1p)2nkkX i=0 k i (1p)i n k p k(1p)2nk

1 +11p

k n k (p(2p))k(1p)2nk Mais1p(2p) = (1p)2, doncZ B(n;p(2p))(on peut se rassurer en vérifiant quep(2p)2[0;1]). (c) E(Z) =np(2p),V(Z) =np(2p)(1p)2 Une vérification :On peut vérifier l"espérance deZen utilisant l"espérance d"une loi conditionnelle. Ce n"est pas très difficile, mais intéressant. Remarquons que la loi deYsachant(X=k)est une loiB(nk;p), d"espérance (nk)p. Autrement dit, n X i=0iP(Y=ijX=k) = (nk)p

Mais on peut écrire :

E(Y) =nX

i=1iP(Y=i) nX i=1 i nX k=0P(X=k)P(Y=ijX=k)!! nX k=0

P(X=k)

nX i=0iP(Y=ijX=k)!! nX k=0 n k p k(1p)nk(nk)p =npp(np) 6 D"pù l"on tireE(Z) =E(X) +E(Y) =np+npnp2=np(2p)7

EXERCICE 100

1. Rappeler l"inégalité de Bienaymé Tchebychev.

2. Soit(Yn)une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes,

de même loi et admettant un moment d"ordre 2. On poseSn=nX k=1Y k.

Prouver que :8a2]0;+1[,P

S nn

E(Y1)>a

6V(Y1)na

3.Application:

On effectue des tirages successifs, avec remise, d"une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires. Á partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre0;35et0;45? Indication: Considérer la suite(Yi)de variables aléatoires de Bernoulli

oùYimesure l"issue duiièmetirage.Bon exercice " de cours » sur la loi faible des grands nombres.

1.QC2.QC

3.On poseYi= 1si une boule rouge est sortie auième tirage,Yi= 0sinon.

Il n"y a plus qu"à appliquer l"inégalité précédente, aveca= 0;05etV(Y1) =

0;4(10;4) = 0;24. Il s"agit donc de déterminerntel que

0;24(0;05)2n0;05

(calcul à faire). Remarque : la majoration est grossière en général.EXERCICE 101

Soit2]0;+1[.

SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansN.

On suppose que8k2N,P(X=n) =n(n+ 1)(n+ 2).

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelleRdéfinie par

R(x) =1x(x+1)(x+2).

2. Calculer.

3. Prouver queXadmet une espérance, puis la calculer.

4.Xadmet-elle une variance? Justifier.Un petit peu de calcul. Décomposition en éléments simples, séries télescopiques.

1x(x+ 1)(x+ 2)=12x1x+ 1+12(x+ 2)

2.Et donc

nX k=11n(n+ 1)(n+ 2)=12 n X k=11k n+1X k=21k +12 n+2X k=31k 14

12(n+ 1)+12(n+ 2)

8 Donc +1X n=11n(n+ 1)(n+ 2)=14

Et, finalement,= 4.

3.On aX

n2NnP(X=n)<+1. Ce qui montre queXadmet une espérance, et

E(X) =+1X

n=14(n+ 1)(n+ 2)= 4+1X n=1

1n+ 11n+ 2

= 2 3.EtX n2Nn

2P(X=n) = +1, donc pas de moment d"ordre 2, donc pas de

variance.EXERCICE 102 Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d"eauA,BetC.

A l"instant t=0, il se trouve au point A.

Quand il a épuisé l"eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l"un des deux autres points d"eau. L"eau du point qu"il vient de quitter se régénère alors.

Soitn2N.

On noteAnl"événement " l"animal est enAaprès sonnièmetrajet". On noteBnl"événement " l"animal est enBaprès sonnièmetrajet". On noteCnl"événement " l"animal est enCaprès sonnièmetrajet".

On poseP(An) =an,P(Bn) =bnetP(Cn) =cn.

1. (a) Exprimer, en le justifiant,an+1en fonction dean,bnetcn.

(b) Exprimer, de même,bn+1etcn+1en fonction dean,bnetcn.

2. On considère la matriceA=0

B B@0 12 12 12 012 12 12 01 C CA. (a) Justifier, sans calculs, que la matriceAest diagonalisable. (b) Prouver que12 est valeur propre deAet déterminer le sous-espace propre associé. (c) Déterminer une matricePinversible et une matriceDdiagonale de M

3(R)telles queD=P1AP.

Remarque: Le calcul deP1n"est pas demandé.

3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour

calculeran,bnetcnen fonction den. Remarque: Aucune expression finalisée dean,bnetcnn"est demandée. 9 Pas intéressant du point de vue probabiliste, sauf si on n"a jamais vu une matrice de transition dans une chaîne de Markov. Intéressante diagonalisation d"une

matrice symétrique réelle standard1.a.Les évènementsAn,Bn,Cnforment un système complet. Donc

P(An+1) =P(An)PAn(An+1) +P(Bn)PBn(An+1) +P(Cn)PCn(An+1) Remarque : au cas improbable où l"examinateur demanderait un univers, on peut prendre =fA;B;CgN. On a donc, par hypothèse, a n+1=an0 +bn12 +cn12

1.b.On a de même

b n+1=an12 +cn12 c n+1=an12 +bn12

2.a.Aest symétrique réelle.

2.b.(1;1;1)est vecteur propre associé à la valeur propre 1. On cherche donc

les autres vecteurs propres dans Vect((1;1;1))?, qui est un plan d"équation x+y+z= 0; on constate alors que tous les éléments de ce plan sont dans le sous-espace propre associé à la valeur propre1=2.

2.c.Il est naturel de prendre (la troisième colonne étant obtenue par produit

vectoriel des deux premières) : P=0 B

BBBB@1p3

1p2 1p6 1p3 1p2 1p6 1p3 02p6 1 C CCCCA Ce n"est pas la matricePla plus simple, mais l"avantage est que le calcul de P

1est immédiat :P1=tP.

On a alors

D=0 B

B@1 0 0

012 0 0 012 1 Cquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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