Loi normale - Exercices
Exercice 6 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,2 En utilisant une approximation de cette loi par une loi normale dont on précisera les paramètres, calculer une valeur approchéedeP(X= 20),P(X≤2),P(18 ≤X≤22) etdeP(X>18) Corrigé :
Exercices divers sur la loi normale - wifeocom
Exercices-loi-normale pdf page 2 Question 5 En 1955, Wechler (1896-1981) propose un test de mesure de QI (Quotient Intellectuel) des adultes auprès d’un échantillon représentatif de la population d’un âge donné Les performances suivent une loi normale de moyenne égale à 100 et d’écart-type égal à 15
Loi normale et approximations - Exo7
Loi normale et approximations Exercice 1 Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm Les erreurs d’usinage provoquent des variations de diamètre On estime, sur les données antérieures, que l’erreur est une variable aléatoire qui obeit à une loi normale les paramètres étant : moyenne : 0mm, écart-type : 0:02mm
Tendance de la loi binomiale vers la loi normale
Tendance de la loi binomiale vers la loi normale Exercice 1 On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion p=0:02 est défectueuse 1 On contrôle un lot de 1000 pièces : Soit X la variable aléatoire : «nombre de pièces défectueuses parmi 1000» Quelle est la vraie loi de X?
S´erie d’exercices n 6 Fonctions caract´eristiques
caract´eristique de la loi gaussienne N(0,σ2) Exercice 6 8 On dit qu’une v a X suit une loi stable si pour tout entier n ≥ 1ettoutesv a
Exercices corrigs de statistiques infrentielles
Exercice 1 Induction Une entreprise fabrique des sacs en plastique pour les enseignes de distribution Elle s'intéresse au poids maximal que ces sacs peuvent supporter sans se déchirer On suppose ici que le poids maximal que ces sacs peuvent supporter suit une loi normale d'espérance mathématique 58 Kg et d'écart-type 3 Kg 1
Sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire, Amérique
Cette variable T suit une loi normale d’espérance 40 minutes et d’écart type un réel positif noté ¾ Grâce à cette étude, on estime que P(T ˙10) ˘0,067 1 Déterminer une valeur arrondie du réel ¾à la seconde près 2 Dans cette question, on prend ¾ ˘ 20 minutes Quelle est alors la proportion de clients qui
PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens
Exercice 1 Soient X et Y deux variables al eatoires ind ependantes gaussiennes centr ees r eduites 1 D eterminer la loi de Xp+Y 2;Xp Y 2 2 D eterminer la loi de X=Y Solution Comme Xet Y sont ind ependantes, la loi de (X;Y) a une densit e 1 2ˇ e x 2+y2 2 sur R2 Soit g: R2R une fonction continue born ee On applique la m ethode de la
Probabilites·
Loi binomiale‹ (epr· euves independantes· rep· et· ees)· 9 2 Loi de Poisson 10 3 Loi normale (dite de Laplace›Gauss) 11 3 1 › Cas gen· ·eral 11 3 2 › Loi normale centree· reduite· 12 3 3 › Retour au cas g·en eral· 14 3 4 › Quelques aires remarquables 14 3 5 › Approximation d’un loi binomiale‹ par une loi normale
DCG11 - Exercices controle de gestion
Exercice 30 : Loi binomiale 97 Exercice 31 : Loi de Poisson 98 Exercice 32 : Loi normale 99 Exercice 33 : Loi normale 101 Exercice 34 : Loi exponentielle 102 Exercice 35 : Approximation de la loi binomiale 103 Exercice 36 : Approximation de la loi de Poisson 105 Exercice 37 : Seuil de rentabilité probabilisé 106
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Exercices : Martine Quinio
Exo7Loi normale et approximations
Exercice 1
Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm. Les erreurs d"usinage provoquent des variations de diamètre.
On estime, sur les données antérieures, que l"erreur est une variable aléatoire qui obeit à une loi normale les
paramètres étant : moyenne: 0mm, écart-type: 0:02mm. On rejette les pièces dont le diamètre n"est pas compris
entre 7:97mm et 8:03mm. Quelle est la proportion de billes rejetées? Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées. 1.Soit Xla variable aléatoire "épaisseur de la plaque en mm» ; on suppose queXsuit une loi normale
de paramètresm=0:3 ets=0:1. Calculez la probabilité pour queXsoit inférieur à 0.36mm et la
probabilité pour queXsoit compris entre 0.25 et 0.35mm. 2.L "utilisationde ces pl aquesconsiste à en empiler n, numérotées de 1 ànen les prenant au hasard : soit
Xila variable aléatoire "épaisseur de la plaque numéroien mm» etZla variable aléatoire "épaisseur des
nplaques en mm». Pourn=20, quelle est la loi deZ, son espérance et sa variance?Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1% la proportion de
plaques inutilisables. L"utilisation de ces plaques consiste à en empilern, numérotées de 1 ànen les prenant au
hasard. Pourn=2000, quelle est la loi suivie par la variable aléatoireN"nombre de plaques inutilisables parmi
les 2000» ? (on utilisera une loi de probabilité adaptée); quelle est la probabilité pour queNsoit inférieure ou
égal à 3 ? Quelle est la probabilité pour queNsoit strictement inférieure à 3?Des machines fabriquent des crêpes destinées à être empilées dans des paquets de 10. Chaque crêpe a une
épaisseur qui suit une loi normale de paramètresm=0:6mm ets=0:1. SoitXla variable aléatoire "épaisseur
du paquet en mm». Calculez la probabilité pour queXsoit compris entre 6.3mm et 6.6mm.Sur un grand nombre de personnes on a constaté que la répartition du taux de cholestérol suit une loi normale
avec les résultats suivants: - 56% ont un taux inférieur à 165 cg; - 34% ont un taux compris entre 165 cg et 180 cg; - 10% ont un taux supérieur à 180 cg.Quelle est le nombre de personnes qu"il faut prévoir de soigner dans une population de 10000 personnes, si le
taux maximum toléré sans traitement est de 182 cg? 1Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les
paramètres éventuels (espérance, variance) et indiquez éventuellement une loi approchée.
1.Nombre annuel d"accidents à un carrefour donné où la probabilité d"accident par jour est estimée à
43652. Nombre degarçonsdansunefamillede6enfants;nombre defillesparjourdansunematernitéoùnaissent en moyenne 30 enfants par jour. 3. Dans ungroupede21personnesdont7femmes,le nombredefemmesdansunedélégationde6personnes tirées au hasard.
Correction del"exer cice1 NLa probabilité qu"une bille soit rejetée est, en notantDla variable aléatoire "diamètre»,p=1P[7:976D6
8:03]. OrP[7:976D68:03] =P[0:030:026D80:0260:030:02] =F(1:5)F(1:5) =0:8664. La proportion de billes
rejetées est doncp=13:4%.Correction del"exer cice2 N1.La probabilité pour que Xsoit inférieur à 0.36mm est :P[X60:36] =P[X0:30:160:6] =0:726;soit
72:6%.
La probabilité pour queXsoit compris entre 0:25 et 0:35mm estP[0:256X60:35] =2F(0:5)1=0:383, soit 38:3%.
2. Pour n=20, la loi deZ=åXiest une loi normale de paramètres: d"espéranceE(Z) =20m=6 et devariance VarZ=20s2=0:2.Correction del"exer cice3 NPourn=2000, la loi suivie par la variable aléatoireN"nombre de plaques inutilisables parmi les 2000» est
une loi de Poisson de paramètre 2: alorsP[N63] =0:86.Remarquons qu"en faisant l"approximation par une loi normale et en employant le théorème central limite, on
obtient:P[N63]'0:76;et avec correction de continuité on obtientP[N63]'0:85:Correction del"exer cice4 NPar des méthodes analogues on trouve que la probabilité pour queXsoit compris entre 6.3mm et 6.6 mm est
14:3.Correction del"exer cice5 NSiXest de moyennemet d"écart-typesalorsY=Xms
suit une loi centrée réduite. Donc siP[X6165]alors P[Xms6165ms
] =0;56. Or on peut lire dans la table de GaussF(0:15) =0:5596.De même, siP[X>180]alorsP[Xms
>180ms ] =0:1. DoncP[Xms6180ms
] =0:9 et l"on peut lire de mêmeF(1:28) =0:8997:
Pour trouvermetsil suffit de résoudre le système d"équations:165ms =0:15 et180ms =1:28 d"oùs'13:27, m'163 cg. Alors,P[X>182] =P[Xms >182ms ] =1F(1:43) =0:0764.Sur 10000 personnes on estime le nombre de personnes à soigner de l"ordre de 764 personnes ; en fait la théorie
de l"estimation donnera une fourchette.Correction del"exer cice6 N1.Loi binomiale B(365;4365 );approchée par la loi de Poisson de paramètre 4, d"espérance et variance 4. 2.