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Soit ???? est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre = 40 et ????= 6,2 D’après le cours on a =???? 1 ????2???? − 1 2 ????− ???? 2 soit =???? 2 1 6,2 2???? − 1 ????−40 6,2 2 2°) Calculer ???? , ???? et ???? La TI-nspire permet de calculer les valeurs de la fonction de densité de ????
Etude d’une loi binomiale avec le TInspire
0 ≤ ≤ pour visualiser graphiquement la convergence de la loi binomiale vers la loi normale En reprenant la loi de obtenue dans la feuille de calcul précédente, on nomme et respectivement les colonnes et , puis dans une nouvelle feuille Graphique & Géométrie on affiche le nuage de points ( , )
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LOI NORMALE - maths et tiques
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IV) Le cas général : La loi normale 2 2( ) Définition : Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle On dit que suit la loi normale de param ètres et notée , si la variable aléatoire associée suit la lo X X N Z Z µ σ µ σ µ σ − = ( ) ( ) i 0,1 N a b P a X b P Z µ µ σ σ − −
Découverte Flash TI-Nspire - Univers TI-Nspire
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Probabilités| Loi binomiale
1 Soit ܺ une variable aléatoire. On suppose que ܺ1°) Déterminer la loi de probabilité de ܺ
1°) Déterminer la loi de probabilité de ࢄ.
: est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre ݊=10 et =0,4. La TInspire permet de calculer directement les valeurs de ::=݇;=ቀJ0GQJ) et de dresser la loi de probabilité de ܺ
- Soit en tapant directement la commande binomPdf(10,0.4,݇).Probabilités| Loi binomiale
2 Si on tape seulement ܌۾ܕܗܖܑ܊ pour 0݇݊ :On peut aussi afficher toutes ces valeurs
directement dans le tableur, ce qui nous donnera la loi de probabilité de ܺDans la colonne A on entre =ܙ܍ܛ
avoir toutes les valeurs de 0 à 10.Dans la colonne B on entre
Probabilités| Loi binomiale
3On va calculer (ܺ
Pour calculer une valeur de la fonction de
- Soit taper directement la commande binomCdf(10,0.4,݇). Si on tape seulement ܌۱ܕܗܖܑ܊ pour 0݇݊ (ici ݊=10) :On peut compléter note feuille de calcul en
entrant dans la colonne C : entre ܌۱ܕܗܖܑ܊Probabilités| Loi binomiale
4 Représentation graphique de la fonction de répartition ࡲ.Cependant, on peut aussi la calculer en utilisant
la définition de ܧ݇=0
Dans les deux cas on trouve 4.
Probabilités| Loi binomiale
5Cependant, on peut aussi la calculer en utilisant
la définition de ܸ݇=0
Dans les deux cas on trouve le même résultat..Probabilités| Loi binomiale
6COMPLEMENT
Représentation graphique
Il peut être intéressant de représenter graphiquement le nuage de points ൫G,::=݇;o pour
0GQJ pour visualiser graphiquement la convergence de la loi binomiale vers la loi normale.
En reprenant la loi de ܺ
obtenir un graphique satisfaisant :Probabilités| Loi binomiale
7Convergence vers la loi normale
Afin de visualiser la convergence de la loi binomiale vers la loi normale il faut modifier un peu la feuille
de calculs précédente : Pour modifier les valeurs de ݊ sur le graphique, il faut : valeur maximale de )- Afficher les valeurs extrêmes des axes (b | Affichage | Afficher les valeurs extrêmes des axes)
- Lier la valeur maximale de ݔ à la variable - Entrer െ1 pour valeur minimale de ݔ. - Entrer 0 pour valeur minimale de ݕ. Pour incrémenter les valeurs de ݊ de 20 en 20, il faut utiliser la flèche de direction ÎCellule liée à
=max(binompdf(n,0.4)) =binompdf('n,0.4) =seq(i,i,0,'n)Probabilités| Loi binomiale
8 On remarque que la loi binomiale ressemble à une loi normale. On va représenter graphiquement les 2 nuages de points suivants : Nuage n°1 : ൫G,::=݇;o,0GQJ (comme précédemment)Nuage n°2 : ൬G,@GF1
2;QG+1
2ቁp 0GQJ
On doit créer une fonction afin de calculer les valeurs de @GF12;QG+1
2ቁ dans une colonne (car
la taille de la colonne doit varier en fonction de ݊).Probabilités| Loi binomiale
9On entre le programme suivant :
Et dans le tableur, on a choisit la colonne ܧ
entrer les résultats de notre fonction ݈݅݊ݎ݉ܽOn a nommé cette colonne normale.
On représente graphiquement le nuage de points (ݔ,݊ݎ݉ܽ ൬G,@GF12;QG+1
2ቁp. On a choisit de relier ce nuage de points pour le distinguer du précédent.
Probabilités| Loi binomiale
10On peut donc mieux visualiser le phénomène de convergence de la loi binomiale vers la loi normale.
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