Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle
Loi uniforme Loi exponentielle I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b] La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction ???? constante égale à ???? ????−???? sur [????; ????], est appelée loi uniforme sur [????; ????] Soit [????; ????] un intervalle inclus dans [????; ????] et ???? une variable aléatoire suivant la loi
LOI UNIFORME - EXERCICES CORRIGES
Loi uniforme - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ FR Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider tous ceux qui désirent travailler sur les lois uniformes
I LOI UNIFORME
LOI UNIFORME La loi uniforme nous permet d’étudier les situations dans lesquelles on tire au hasard un nombre dans un intervalle Loi uniforme sur Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à un tirer un nombre décimal au hasard entre 0 et 1 On considère que la probabilité d’obtenir un nombre
1 Loi uniforme sur a, b - Free
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a,b], alors P(c ≤ X ≤ d) = d −c b −a Propriété 2 Cas d’utilisations de la loi uniforme : cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalle donné On l’utilise généralement lorsque la situation se ramène à choisir au hasard un réel dans un intervalle [a,b
Loi continue : Partie II Loi uniforme sur [a b
Aucune formule à apprendre par cœur, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0;20] donc la fonction de densité f est définie par f(x)= 1 20 1
TS Loi uniforme sur [a b a et b
On a déjà vu la loi uniforme sur [0 Ce sont les mêmes propriétés que pour n’importe quelle loi de probabilité continue; 1] qui correspond au cas où a 0 et b 1 borné La loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [0 ; 1] admet pour densité de probabilité la fonction
Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Approximation en loi Clément Rau Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
M´ethodes de Monte Carlo - ressources-actuariellesnet
N sont iid de loi uniforme sur [0,1] On peut pour cela consid´erer des tests classiques d’ad´equation a une loi donn´ee (test du Khi-deux, test de Kolmogorov-Smirnov, test de Cramer-von Mises) ou tout autre type de tests re-posant sur H 0 On peut par exemple utiliser les tests de la batterie Diehard (disponible sur http ://stat fsu edu
Théorie des Probabilités - Stanford AI Lab
4 Convergences p s et en probabilité, loi des grands nombres 8 5 Fonctions caractéristiques, Transformées de Laplace 11 6 Convergence en loi, T C L 16 7 Conditionnement, espérance conditionnelle, lois de probabilité condition-nelles 21 8 Vecteurs gaussiens 31 9 Problèmes de synthèse 32 2
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CPES 2 - Probabilités approfondies 2015-2016
TP de Python
Igor Kortchemski -igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr1 Simulation de lois
1.1 Loi uniforme
Comment Python simule-t-il une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur[0;1]?En quelques mots, cela revient à générer des entiers aléatoires indépendants uniformes dans
E=f1;2;:::;Mg, puis à les diviser parM. Pour cela, Python génère une suite de nombres pseudo-aléatoires en partant d"un étatx02E(la graine, ou seed en anglais) et en appliquant successivement une même fonctionf:E!E(par exemplef(x) =ax+cmoduloMavecaetcbien choisis). Cette transformation doit bien sûr vérifier plusieurs propriétés : on veut que
la suite générée " ressemble » à une suite de variables aléatoires uniformes et indépendantes
surE. Que veut dire " ressemble »? La suite doit réussir à passer toute une batterie de tests
statistiques d"indépendances et d"adéquation de loi. En particulier, la période, c"est-à-dire le
plus petit entierktel quef(k)(x) =x(avecf(k)l"itéréek-ième), doit être (très (très)) grande.
Python utilise l"algorithme appelé " Mersenne Twister » (développé par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura en 1997) possédant une période de2199371(qui est un nombre premier de Mersenne). Ainsi : existe-t-il des vrais générateurs de nombre aléatoire? NON : P asvraimen t,t ousles générateurs son tdéterministes !!MAIS :
ils son tc onstruitsde telle sorte à passer les tests statistiques. Question 0.Exécuter plusieurs fois le Code0 .Code 0 - Question0.py1importnumpy.rando mas npr
23printnpr.rand()
4npr.seed(seed=1)
5printnpr.rand()
6printnpr.rand()
7npr.seed(seed=1)
8printnpr.rand()
9printnpr.rand() On suppose ainsi qu"on a à notre disposition une " boîte noire » qui permet de simuler une
suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur[0;1]. Pour générer d"autres aléas que ceux de loi uniforme, on fait subir des transformations astucieuses (algorithme de simulation). Exemple (simulation d"une variable uniforme sur un segment quelconque).Si a < betUest une variable aléatoire uniforme sur[0;1], on peut démontrer quea+ (ba)U suit une loi uniforme sur[a;b]. Ainsi, pour simpuler une variable aléatoire uniforme sur[a;b], on simule une variable aléatoireUuniforme sur[0;1]et on renvoiea+ (ba)U. 11.2 Simulation par inversion de la fonction de répartition
On a vu en cours que siUest uniforme sur[0;1]et >0, alorsV=1 ln(U)est une loi exponentielle de paramètre. Plus généralement, on a le résultat suivant.Théorème 1.SoitXune variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction de répartition
Fest strictement croissante (Fest donc bijective deRsur]0;1[et on peut noterF1son inverse). SoitUune variable aléatoire uniforme sur[0;1]. AlorsF1(U)a la même loi queX. Démonstration.Soitx2R. On calculeP(F1(U)x) =P(UF(x)) =F(x)(carUestuniforme sur[0;1]et0F(x)1). DoncF1(U)a la même fonction de répartition queX.Remarque 2.SiFn"est pas strictement croissante (et donc pas injective), le théorème précé-
dent reste vrai à condition dedéfinirF1(u)commeF1(u) = inffx2R:F(x)ug(F1est appelé l"inverse continu à droite deF). Question 1.Simuler une variable aléatoire de Cauchy de paramètre1dont une densité est 211+x2en complétant le Code1 .Code 1 - Question1.py
1frommath import *
2importnumpy.rando mas npr
34defCauchy():
5U=BLA# tireun reel uniforme sur [0,1]
6returntan( BLA)# Onevalue l "inversede la fonction de repartition en U
78printCauchy() 1.3 Loi géométrique
On va comparer plusieurs manières de simuler une variable géométrique de paramètrep2(0;1)à partir d"une variable aléatoire uniforme sur[0;1]en se fondant sur les résultats théoriques
suivants : (1)De manière générale, p oursim ulerune v ariablealéatoire Xà valeurs entières telle que
P(X=i) =pipour touti0, on tire une variable uniformeUsur[0;1]et on renvoie l"entierktel quep0++pk1< U < p0++pk. (2) On tire des v ariablesaléatoires de Bernoulli de paramètre p(on renvoie1si une variable aléatoire uniformeUsur[0;1]est plus petite quep,0sinon) et on s"arrête à la première fois qu"on tombe sur1. (3) On p ose=1ln(1p)et on renvoiedXe(dxeest le plus petit entierktel quekx, ceilenPython) oùXest une variable aléatoire exponentielle de paramètre1. (4) F aireapp elà une fon ctionin tégréede Python. Question 2.Comparer l"efficacité de ces trois méthodes pour simulerNvariables géomé- trique de paramètrepen complétant le Code2 . Commenter l"influence des paramètres.2Code 2 - Question2.py
1from__future__ import division
2frommath import *
3importnumpy as np
4importnumpy.rando mas npr
5fromtime import time
67p=0.1# parametrede la geometrique
89N=10000# nombrede fois qu "onsimule la geometrique
1011defmethode1():
12k=113tmp=p
14U=npr.rand()
15whileU>tmp:
16tmp=tmp+BLA
17k=k+1
18returnBLA
1920defmethode2():
21tmp=0
22k=023whiletmp==0:
24k=k+1
25ifBLA :
26tmp=1
27returnk
2829defmethode3():
30X=-log(npr.rand())
31returnint (ceil(BLA))
3233defmethode4():
34returnnpr. BLA(p)
3536t1 = time()
37[methode1()for i in range (N)]
38t2 = time()
39temps1 = t2 - t1
40print" Lamethode 1 a pris " , temps1," secondes "
4142t1 = time()
43[methode2()for i in range (N)]
44t2 = time()
45temps1 = t2 - t1
46print" Lamethode 2 a pris " , temps1," secondes "
4748t1 = time()
49[methode3()for i in range (N)]
50t2 = time()
51temps1 = t2 - t1
52print" Lamethode 3 a pris " , temps1," secondes "
3 5354
55t1 = time()
56[methode4()for i in range (N)]
57t2 = time()
58temps1 = t2 - t1
59print" Lamethode 4 a pris " , temps1," secondes "2 Convergence de variables aléatoires
2.1 Approximation d"une loi de Poisson par une loi binomiale
Nous avons démontré le résultat suivant en cours. Théorème 3.Soit >0. SoitXnune variable aléatoire binomiale de paramètre(n;=n). AlorsXnconverge en loi vers une loi de Poisson de paramètrelorsquen! 1(c"est-à-dire que pour toutk0,P(Xn=k)!ek=k!lorsquen! 1). Question 3.Illustrer ce théorème en complétant le Code3 .Code 3 - Question3.py1from__future__ import division
2importnumpy as np
3importnumpy.rando mas npr
4importscipy.stats as sps
5importmatplotlib. pyplotas plt
67param=3# parametre
8n=100
9N=5000# nombrede tirages effectue pour tracer l "histogrammeen batons de la loi de
X_n 1011X=npr.binomial(BLA)
12 13BLA 14BLA 15BLA 16BLA 17BLA18BLA2.2 Approximation d"une loi exponentielle par une loi géométrique
Nous avons démontré le résultat suivant en cours. Théorème 4.Soit >0. SiXnest une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre =n, alorsXnconverge en loi vers une variable exponentielle de paramètrelorsquen! 1 (c"est-à-dire que pour toutx0on aP(Xnx)!P(Zx)oùZest une variable aléatoire exponentielle de paramètre). 4 Question 4.Illustrer ce théorème en complétant le Code4 .Code 4 - Question4.py1from__future__ import division
2importnumpy as np
3importnumpy.rando mas npr
4importscipy.stats as sps
5importmatplotlib. pyplotas plt
67param=2# parametre
8n=1000
9N=5000# nombrede tirages effectue pour tracer une densite de X_n
1011X=npr.geometric(BLA)
1213plt.hist(BLA,norm ed=True,label= "Densiteempirique ", bins=int(sqrt(N)))
14x = np.linspace(BLA,BLA , 100)
15f_x = param*np.exp(-BLA)
16plt.plot(x, f_x," r", label="Densitet heorique")
17plt.legend()2.3 Illustration d"un exercice de DM
Dans le DM facultatif, on démontrait que si(Xn;n2)est une suite de variables aléa-toires exponentielles de paramètre1, définies sur le même espace de probabilité, alors presque
sûrement la plus grande valeur d"adhérence de la suite(Xn=ln(n);n2)vaut1. Question 5.Illustrer ce théorème en complétant le Code5 .Code 5 - Question5.py