[PDF] Continuité et dérivabilité d’une fonction

Chapitre 7 Fonctions dérivables

d’abord continue ou discontinue en apuis, si elle est continue en a, elle peut encore être dérivable en aou ne pas être dérivable en a 4) Exemples de fonctions non dérivables en un point Exemple 1 Une fonction discontinue en un point constitue un premier exemple de fonction non dérivable en un point

Continuité et dérivabilité d’une fonction

Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x→a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction

Etude de fonctions - Dyrassa

La fonction f est discontinue en 2 car 2 lim ( ) 3 (2) x f x f o z La fonction f est continue en 2 car 2 lim ( ) 2 (2) x f x f o Propriétés : L’image d’un intervalle Ipar une fonction continue fest un intervalle ( ) L’image d’un segment par une fonction continue est un segment

CONTINUITE - DERIVATION

La fonction « partie entière » qui a tout entier relatif associe lui-même et à tout réel non entier associe l’entier qui le précède est continue en tout point de \ , mais elle n’est continue en aucun des entiers ; on dit qu’elle est discontinue en chacun des entiers 2- Propriétés

Chapitre 9 : Convexité

Chapitre 3 :Dérivation et continuité

1 DÉRIVATIOND’UNEFONCTION Chapitre 3 :Dérivation et continuité 1 Dérivationd’unefonction 1 1 Nombredérivéde f en a etfonctiondérivée Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R, a et x des réels appartenant à I et h un réel différent de 0 tel que

wwwalloschoolcom

Q13 Toute fonction discontinue est : l)kck 2016 c) 13000 C) dérivable D) 13750 D) périodique D) f' a pour limite +00 en 0 A) constante Q14 A) f'n'est pas continue en 0 Q15 Q16 A + 00 B) non dérivable sin — six #0 sinon x B) f 'est continue en lim X —++ 00 2cos2 lim C) f' admet une limite finie en 0 x+2 — sin

1 Rappels - arthur-leroynetlifyapp

Remarque 1 2 La fonction peut présenter un minimum en x 0 et pourtant ne pas être dérivable en ce point Exemple 1 2 La fonction x7jxja un minimum en x 0 = 0 mais n'est pas dérivable en 0 Remarque 1 3 La condition Iintervalle ouvert est indispensable Exemple 1 3 La fonction x7xa un maximum en 1 sur I= [0;1] intervalle fermé, mais sa

Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13

Montrer que f est totalement discontinue Exercice 6 Soit f: R+⋆→ R une fonction telle que x → f(x) est croissante et x → f(x) x est décroissante Montrer que f est continue Exercice 7 Soient f: I → R et g: I → R deux fonctions continues Montrer que sup(f,g) est une fonction continue sur I Exercice 8

57 Problèmes conduisant à létude de fonctions

Prérequis Notions de fonctions, dérivées, limites, continuité, étude du signe d'une fonction Références [158], [159], [160] 57 1Plan d'étude d'une fonction 57 1 1Domaine de dénition, domaine d'étude S'il n'est pas donné dans l'énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de dénition de la fonction à étudier

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DERNIÈRE IMPRESSION LE7 novembre 2014 à 10:23

Continuité et dérivabilité d"unefonction

Table des matières

1 Continuité d"une fonction2

1.1 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Dérivabilité6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Interprétations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Interprétation numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Interprétation cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Signe de la dérivée, sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Dérivée et extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2 Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Continuité d"une fonction

1.1 Limite finie en un point

Définition 1 :Dire qu"une fonction

fa pour limite?ena, signifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle]a-η;a+η[. On note alors : lim x→af(x) =? a a+ηa-ηC f O?? Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une limite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE (voir plus loin). On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =2

1.2 Continuité en un point

Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvert I. Soitaun élément de I. On dit que la fonctionfestcontinueenasi et seulement si : lim x→af(x) =f(a) La fonctionfestcontinue sur un intervalle Isi, et seulement si,fest continue en tout point de I. Remarque :Graphiquement, la continuité d"une fonctionfsur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. 123

1 2 3 4 5-1

]Cf O

Fonctionfdiscontinue en 2

limx→2+f(x) =3?=f(2) 123

1 2 3 4 5-1

Cf O

Fonctionfcontinue sur[-1,5; 5,5]

La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut". C"est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et 50 g).

PAULMILAN2 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

D"autres discontinuités existent. C"est par exemple le cas en 0 de lafonctionf définie parf(x) =sin1 xpourx?=0 etf(0) =0. ?x?R,?n?Z,n?xLafonction partie entièreEest alors définie par :E(x) =n

E(2,4) =2 ;E(5) =5 ;E(-1,3) =-2

On observe alors un "saut" de la fonction pour

chaque entier. La fonction partie entière n"est donc pas continue pourxentier. 123
-1 -21 2 3 4-1-2 O

Soit la fonctionfdéfinie par :???f(x) =sin1

xpourx?=0 f(0) =0

La fonctionfn"est pas continue en 0 bien qu"on

n"observe ici aucun "saut". La fonction oscille de plus en plus autour de 0 si bien qu"au voisi- nage de 0, la fonction tend vers une oscillation infinie qui explique la non continuité. 1 -11-1O

1.3 Continuité des fonctions usuelles

Propriété 1 :Admis

•Les fonctions polynômes sont continues surR. •La fonction inversex?→1xest continue sur]-∞;0[et sur]0;+∞[ •La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue surR. •La fonction racine carréex?→⎷xest continue sur[0;+∞[ •Les fonctionsx?→sinxetx?→cosxsont continues surR •D"une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.

1.4 Théorème du point fixe

Théorème 1 :Théorème du point fixe

Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite?est solution de l"équationf(x) =x.

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Démonstration :

On sait que la suite(un)est convergente vers?donc : limn→+∞un=? De plus, la fonctionfest continue en?donc : limx→?f(x) =f(?)

Par composition, on en déduit que : lim

n→+∞f(un) =f(?)?limn→+∞un+1=f(?) or lim Exemple :Reprénons l"exemple du chapitre 2, soit la suite(un) ?u0=0 u n+1=? 3un+4 On a montré que la suite(un)était positive, croissante et majorée par 4, elle est donc convergente vers?. La fonctionx?→⎷

3x+4 est continue sur[0;4], donc?

est solution de l"équationf(x) =x.

3x+4=xon élève au carré

3x+4=x2

x

2-3x-4=0

Cette équation a-1 et 4 comme solution. Or on sait queun?0. On en déduit que la seule solution acceptable est 4. La suite(un)converge vers 4.

1.5 Continuité et dérivabilité

Théorème 2 :Admis

•Sifest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena. •Sifest dérivable sur un intervalle I alors la fonctionfest continue sur I. ?La réciproque de ce théorème est fausse Remarque :Laréciproquedecethéorèmeestfausse.Pours"enrendrecompte,on peut s"appuyer surunereprésentation graphique.Siunefonction est continuesur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Sila fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :

La fonction dont la représentation est

ci-contre, est bien continue ena, car la courbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n"est pas déri-

vable ena, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.

Onditquelacourbeadmetunpointan-

guleux A O a?

PAULMILAN4 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue mais pas dérivable en 0.

1.6 Continuité et équation

Théorème 3 :Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonctioncontinuesur un intervalle I= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe un réelc?I tel quef(c) =k.

Remarque :Ce théorème est admis.

Ce théorème résulte du fait que l"image

d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deR

Voici une illustration graphique. Icik

est bien compris entref(a)etf(b).

L"équationf(x) =kadmet donc des so-

lutions.

Le fait quecexiste ne veut pas dire

qu"il soit unique. Dans notre exemple, il existe ainsi trois valeurs pourc. abf(a) f(b)k c

1c2c3O

Théorème 4 :Théorème des valeurs intermédiaires bis Soit une fonctionfcontinue et strictement monotonesurI= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =ka une unique solution dans I= [a,b] Démonstration :L"existence découle du théorème précédent, et l"unicité de la monotonie de la fonction.

Remarque :

•On généralise ce théorème à l"intervalle ouvertI=]a,b[.kdoit alors être com- pris entre limx→af(x)et limx→bf(x) •Lorsquek=0, on pourra montrer quef(a)×f(b)<0.

•Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car lafonction réalise

une bijection de I surf(I). •Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuitéet la monotonie de la fonction. Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3+x-1. Montrer que l"équationf(x) =0 n"admet qu"une solution surR. On donnera un enca- drement à l"unité de cette solution. Trouver ensuite, à l"aide d"un algorithme un encadrement à 10 -6de cette solution.

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

123
-1 -20.5 1.0 1.5 Oα

La fonctionfest une fonctioncontinuesurRcarf

est un polynôme.

La fonctionfest la somme de deux fonctions crois-

quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41