DM de mathématiques n° 2 : les lunules dHippocrate
NOM : Prénom : Classe : 4ème DM de mathématiques n° 2 : les lunules d'Hippocrate Important : ce DM mobilise des connaissances des chapitres 1 à 4 On accordera un soin particulier à la rédaction et on citera les propriétés et théorèmes utilisés Dans les calculs,
Cours Euler: S erie 36
Exercice 4 Th eor eme des lunules d’Hippocrate On consid ere un triangle ABCrectangle et on trace les cercles de Thal es de chacun des trois c^ot es B A C Montre que la somme des aires des deux \lunules" (les r egions des disques dont les diam etres sont
Quatrième E2 Devoir n°4 : Théorème de Pythagore et sa 15/02
DEFI : Les lunules d'Hippocrate RST est un triangle rectangle en R On a tracé des demi-cercles de diamètres respectifs [RS], [RT] et [ST] On note a = RS ,b = RT et C = ST Démontrer que l'aire des parties hachurées est égale à l'aire du triangle RST
ATTENTION
des lunules d'Hippocrate tracées ci-dessus 8 Colorie les 4 parties comprises entre le cercle et les 4 demi-cercles Ce sont les lunules d'Hippocrate
CHAPITRE 7 CALCUL ALGEBRIQUE - Free
Lunules d'Hippocrate 131 Résolutions d'équations 132 4 b 5 c d a b ac bc ad bd Cours de mathématiques Classe de Quatrième Fiche d'activité
Université dAngers : Licence pluridisciplinaire géométrie
Université d'Angers : Licence pluridisciplinaire géométrie plane p 2 Activité 3 Lunules d'Hippocrate Au Ve siècle avant J -C Hippocrate de Chios est le premier à s'être intéressé aux quadratures Il n'a pas réussi pour le cercle mais il prouva la « quadrature » des lunules
Tome 5 : La secte des nombres , par Claudi Alsina
Chapitre 5 { De surprenantes applications du th eor eme de Pythagore Les quadratures de gures Somme de gures semblables Les lunules d’Hippocrate L eonard de Vinci et les lunules In egalit es avec Pythagore In egalit es entre p (a+ b) et p a+ p b In egalit es entre mesures arithm etiques et mesures g eom etriques In egalit es entre hypot enuse
Expose 37 : Relations m´ etriques dans un triangle rectangle
4 1 Theor´ eme de Pythagore : autres preuves` 4 1 1 Bhaskara Bhaskara, mathe´maticien Indien, XIIe aire du carre´=aire des quatres triangles+aire du petit carre´ a2 = 4(1 2 bc) +(b −c)2 d’ou` a2 = 2bc +b2 −2bc +c2 d’ou` a2 = b2 +c2 4 1 2 Decoupage´ On part de deux carre´s d’aires e´gales, et a` gauche on a enleve´ quatre fois
A propos des angles Différentes figures, Ville les
Ville vue d’en haut L’art des jardins ; labyrinthe Avec la symétrie axiale L’art des jardins ; Les solides : pavé droit et cube utilisation en architecture (observation du milieu local) z Réalisation de solides simples décorés par exemple à la manière d’Escher (premier motif simple)
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Expos´e 37 : Relations m´etriques dans un triangle rectangle.
Trigonom
´etrie. Applications.
Pr´erequis1:
-Produit scalaire -Th´eor`eme de la m´ediane -Th´eor`eme de Thal`es Cadre : on se place dans un plan affine euclidien orient´eP On consid`erera des triangles nons applatis suivant :R??????: SoientA,B,C? P.--→AB.--→AC=0?(AB) et (AC) perpendiculaire?--→ABet--→ACorthogonaux.
D Un triangleABCest dit rectangle enAsi(si) l'angleˆA est droit. Les deux autres angles sont alors compl´ementaires (leurs somme=π2); le cˆot´e oppos´e `a l'angle droit est
appel´e hypoth´enuse.1 Relations m
´etriques dans un triangle rectangle
1.1 Th
´eor`eme de Pythagore
Th SoitABCun triangle.ABCest un triangle rectangle sisia2=b2+c2D'apr`es le th´eor`eme de Chasles, on a--→BA+--→AC=--→BCdonca2=--→BC2=(--→BA+--→AC)2=b2+c2+2--→AC.--→BA
Or (AC) et (AB) perpendiculaires?--→ACet--→ABorthogonaux?(--→AC).(--→BA)=0 d'o`u l'´equivalence
cherch´ee.Beaucoup d'autres preuves existent : Bhaskara, math´ematicien Indien,XIIesi`ecle, puzzle chinois, Abra-
ham Garfield (trap`eze), etc (voir annexes)1L'expos´e a ´et´e pr´esent´e `a Bordeaux(1) en 2004, tap´e par Gwendal Haudebourg. Mis `a jour le 31/07/2007.
11.2 M´ediane issue du sommet de l'angle droit
Proposition: soitIle milieu de [BC].ABCest un triangle rectangle?AI=BC 2 preuve : soitIle milieu de [BC]. Le th´eor`eme de la m´ediane donneb2+c2=a22+2AI2. Par suite (avec
le th´eor`eme de Pythagore), siABCest rectangle enA, alorsAI=a2; siAI=a2, alorsa2=b2+c2et le
triangle est rectangle enA.Corollaire: un triangle est rectangle sisi la longueur d'une m´ediane est ´egale `a la moiti´e de la longueur
du cˆot´e oppos´e (ie si ce triangle est inscrit dans un demi-cercle).Exercice 1: Lunules d'Hippocrate : l'aire de la surface gris´ee est ´egale `a celle du rectangle.
aire du rectangle=L.l, diam`etre du grand cercleC1:c=⎷L2+l2(Pythagore); diam`etre deC2:L;
diam`etre deC3:l. Donc aire gris´ee=π.L2+π.l2-π.c2+L.l=...=L.lExercice 2
: L'aire d'une couronne circulaire est ´egale `a celle d'un disque de diam`etre une corde du cercle
ext´erieur, tangente au cercle int´erieur. Exercice 3: PourMint´erieur au rectangleABCD, on aa2+b2=c2+d2. aExercice 4: Calculer la hauteur d'un triangle ´equilat´eral et la diagonale d'un carr´e de cˆot´es donn´es.
d2=2c2doncd=⎷
2cpour construire⎷2;h2+(c2)2=c2d'o`uh=⎷
32.cpour construire⎷3,h=⎷2
et construction d'un triangle ´equilat´eral. Th´eor`eme: si le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal, la distance entre les deux pointsM(x,y) et
M ?(x?,y?) estd(M,M?)=? (x-x?)2-(y-y?)2. 2preuve : pythagoreProposition: soitHle pied de la hauteur issue deA. AlorsABCest un triangle rectangle enA?
AB.AC=BC.AH
preuve : deux fac¸ons diff´erentes de calculer l'aire du triangleABC. Proposition: soitHle pied de la hauteur issue deA. AlorsABCest un triangle rectangle enA? AH 2=BH.HC=-HB.HC
preuve : dansABCquelconque, on a--→AB.--→AC=(--→AH+--→HB).(--→AH+--→HC)=AH2+
=AH2+BH.HC.
Proposition :
SoitHla hauteur deABCissue deA. Alors on a l'´equivalence :ABCrectangle enA?(H?[BC] et1AH2=1AB2+1AC2)
preuve :(?)Si le triangleABCest rectangle enA, alorsHest entreBetC, et en ´elevant au carr´e la relation
AB.AC=BC.AH, il vientAB2.AC2=BC2.AH2, puis par le th´eor`eme de Pythagore, AB2.AC2=(AB2+AC2).AH2d'o`u la relation voulue.
(?) Comme cette relation d´etermine la longueurA, si l'on se donne les longueursAHetAB, pourA,HetBfix´es avec (AH) perp. `a (HB), il existe un seul pointCsitu´e sur (HB), avecHentreBetCv´erifiant
cette relation, et comme celui tq.ABCsoit rectangle enAconvient, c'est celui dont il s'agit. Construction : trouver un carr´e ´equivalent (en aire) `a unrectangle donn´e. AH 2= BH.HCExercice 5: Montrer que la partie gris´ee (orbelon d'Archim`ede) ci-dessous a mˆeme aire que le disque.
ABCrectangle enA.AH2=
BH.BC=BH2+AB2=AC2+HC2
Exercice 6
: Un segment de longueurl´etant donn´e, construire un segment de longueur⎷l.2 Trigonom
´etrie
On se place dans un rep`ere orthonormal (O,-→i,-→j) direct. 32.1 Rapports trigonom´etriques
Proposition :
Soient deux vecteurs-→u,-→vnon nuls. Il existe un unique vecteur unitaire-→wtel que : D´efinition :
Les composantes de-→wsont appell´ees respectivementcosinusetsinusde l'angle (-→u,-→v), et not´es :
cos(-→u,-→v) etsin(-→u,-→v).-→w=cos(-→u,-→v).-→i+sin(-→u,-→v).-→j
Proposition :
Soient deux vecteurs
-→u,-→vnon nuls. Alorscos(-→v,-→u)=cos(-→u,-→v) etsin(-→v,-→u)=-sin(-→u,-→v)
D´efinition :
Soit un triangleABCrectangle enB. On appellecosinusdeˆA etsinusdeˆA, not´es resp.cos(ˆA) et
sin(ˆA), les composantes de celui des angles (--→AB,--→AC) et (--→AC,--→AB) qui a unsinuspositif.
Proposition :
Dans un triangleABCrectangle enB, on a :cos(ˆA)=ABACetsin(ˆA)=BCAC
preuve : soitCle cercle trigonom´etrique centr´e au sommetAdu triangle rectangleABC,Mson inter-
section avec [AC],Nla projection deMsur (AB). Le th´eor`eme de Thal`es donne cosˆA=ANAM=ABACet
sinˆA=MN
AM=BCAC
D´efinition :
Dans un triangleABCrectangle enB, le rapportBC
ABest appel´e tangente deˆA, et not´e tanˆA. 4Proposition :(i)sin(ˆA)=cos(ˆC)=BC
ACetcos(ˆA)=sin(ˆC)=ABAC
(ii) (sin(ˆA))2+(cos(ˆA))2=1 ettan(ˆA)=sin(A) cos(A) preuve : cercle trigo. ouBC2+AB2
AC2=AC2AC2=1
Proposition : soit ABC un triangle rectangle quelconque,Hle pied de la hauteur issue deA. On aAH=AB.sin(ˆB)=AC.sin(ˆC)
Proposition : l'aire d'un triangle rectangle quelconque ABC est12BC.BA.sin(ˆB)=12CA.CB.sin(ˆC)
2.2 Angles remarquables et rapports trigonom
´etriques
Proposition : sin(
3)=⎷
32, sin(π4)=⎷
22, cos(π3)=12, cos(π4)=⎷
2 2preuve : dans un triangle ´equilat´eral, les trois angles sont ´egaux `aπ3. cos(π3)=CHCA=CA2CA=12,
sin(3)=AHAC=⎷
3AC2AC=⎷
3 2Dans un carr´e : diagonale (angle=pi
4) d'o`u cos(π4)=BCAC=BC⎷2BC=⎷
22, sin(π4)=ABAC=AB⎷2AB=
2 23 Applications
3.1 Triplets pythagoriciens
Ce sont les triplets (x,y,z)?Z3v´erifiant la relation :x2+y2=z2. ex : (3,4,5) et (12,5,13)Exercice
: sin2=2p+1, montrez que (p,n,p+1) est un triplet pythagoricien preuve :n2+p2=p2+2p+1=(p+1)2(Pythagore) 54 Annexes4.1 Th´eor`eme de Pythagore : autres preuves
4.1.1 Bhaskara
Bhaskara, math´ematicien Indien,XIIe
aire du carr´e=aire des quatres triangles+aire du petit carr´e a 2=4(14.1.2 D
´ecoupage
On part de deux carr´es d'aires ´egales, et `a gauche on a enlev´e quatre fois le triangle (ABC), et `a droite
´egalement. Les aires sont donc ´egales :a2=b2+c24.1.3 Trap
`ezeJames Abraham Garfield (1832-1881) : pr´esident des Etats-Unis en 1881, assasin´e au bout de trois mois
de pr´esidence... aire trap`eze=12(b+c)(b+c)=2.12bc+12a2d'o`ua2=b2+c2
4.1.4 Triangles semblables
ABC (et AHC)et AHB sont deux triangles semblables, car leurstrois angles sont ´egaux, doncABAC=BHABd'o`uAB2=BH.BC. De mˆemeAB2+AC2=(BH+HC).BC=BC.BC=BC2
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