Chapitre 2 : Fonction et équation du deuxième degré
Chapitre 2 : Fonction et équation du deuxième degré A Résolution d’équation du second degré Une équation du second degré en x est de type : ² ++=0 Avec a, b et c étant des réels et a étant non nul Jusqu’à présent, vous n’avez pas appris à résoudre ce type d’équation
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
• Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré • Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical • Résoudre une équation du deuxième degré • Établir le tableau de signe d’une fonction du second degré 4TQ 1/7
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré ETUDE DE LA
• Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré • Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical • Résoudre une équation du deuxième degré • Établir le tableau de signe d’une fonction du second degré 4TQ 1/13
fonctions du 1er et du 2e degre - LMRL
3) Fonctions du deuxième degré • Une fonction du deuxième degré est une fonction qu’on peut écrire sous la forme : f(x) ax bx c avec a,b,c et a 0= + + ∈ ≠2 ℝ • Exemples : f(x) x 5x 1= − +2 f(x) x 7,4x 13 2 2 =− + + f(x) x 3 2x 7 2x 7x 6x 21 2x x 21= + − = − + − = − −( )( ) 2 2
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second
Le second degré - exercices
profondeur h de l'empreinte en fonction du rayon R de la bille (les points I et J sont situés respectivement au centre et bord de la calotte ) 1 Montrer que R et h sont liés par la relation : h Rh2 − + =2 100 0 2 Soit l'équation ( )E h Rh: 2− + =2 100 0 , où h est l'inconnue et R un réel strictement positif
ESD2018 03 Optimisation - pagesperso-orangefr
affine de x) et AM x2 (fonction du deuxième degré en x) C’est pourquoi la fonction « aire du rectangle » est dans ces circonstances une fonction du troisième degré : A x c x x cx2 x3 L’outil de la dérivation permet d’étudier les variations de cette fonction sur l’intervalle 0 ; c et
MATHEMATIQUES - Equation de la parabole - —————————————
La parabole la plus simple est définie par la fonction y = x2 C'est une fonction quadratique car la variable [ x ] est au carré On dit aussi que c'est une fonction du deuxième degré car l'exposant de [ x ] est 2 Pour tracer son graphe, on procède exactement comme dans le cas de la droite : on
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
ETUDE DE LA FONCTION DU SECOND DEGRE
NIVEAU
2ème degré TQ math 4h, 4ème année
UNITE D'ACQUIS D'APPRENTISSAGE
Deuxième degré
RESSOURCES
Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : zéro ; signe ; croissance/décroissance ; extrémum. Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical : sommet ; axe de symétrie ; concavité.PROCESSUS
APPLIQUER
• Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d'une formule. • Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré. • Rechercher des caractéristiques d'une parabole d'axe vertical. • Résoudre une équation du deuxième degré. • Établir le tableau de signe d'une fonction du second degré.4TQ1/13
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degréLa fonction carré
Définition : la fonction carré est la fonction qui à nombre réel tout x associe son carré : x --> f (x) = x2.
La fonction carré est définie pour tout x de IR.Les fonctions du second degré
Définition : a, b et c sont trois réels quelconques, a est non nul. On appelle fonction du second degré toute
fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c.La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole que l'on peut déduire de la courbe
de la fonction carré.Si f est une fonction du second degré dont la courbe représentative a pour sommet S ( ; ), alors on a f(x) = a(x - )² + . L'expression a(x - )² + est appelé forme canonique de la fonction f.
Concavité de la parabole
•Une parabole est tournée vers le haut si le coefficient de x2 est positif. •Une parabole est tournée vers le bas si le coefficient de x2 est négatif.Racines (ou zéros) de la parabole
Une parabole possède 0, 1 ou 2 racines (ou zéros).Racine(s) d'une fonction
•Graphiquement : point(s) d'intersection entre la courbe et l'axe des x. •Algébriquement : valeur(s) qui annule(nt) la fonction (y = 0). Il faut résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0, càd trouver les valeurs de x tel que y = 0 (par factorisation (mise en évidence ; produits remarquables) ou delta).Axe de symétrie et sommet
yÉquation de l'axe de symétrie : droite parallèle à y, d'équation x = -b 2.a yCoordonnées sommet : point d'intersection de la parabole avec l'axe de symétrie S ( -b2.a ; f (
-b2.a) )
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré Croissance ou décroissance de la fonction du second degré (variations de la fonction)Croissance : Une fonction est croissante sur un
intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I,Si a < b alors f(a) < f(b).
Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I,Si a < b alors f(a) > f(b).
Extremums
Définition : m est le minimum d'une fonction f si et seulement si pour tout x, f(x) ≥ m. Minimums et maximums d'une fonction sont ses extremums. Les variations d'une fonction et ses extremums sont résumés dans le tableau de variations.4TQ3/13
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degréTableau de variation
H2 racines
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)4TQ4/13
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degréH1 racine
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)Hpas de racines
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)4TQ5/13
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degréÉtude du graphe d'une fonction
Pour chaque fonction :recherche les racines, l'axe de symétrie, les coordonnées du sommet, représente la
fonction et dessine son tableau de variations.