[PDF] Chapitre 9 : Fonctions dérivées



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Etude de fonctions - Moutamadrisma

- Toute fonction rationnelle est continue sur les intervalles où elle est définie - La fonction xx est continue sur >0, f - Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur IR - La fonction tangente est continue sur ses intervalles de définition - Toutes les fonctions construites par somme, produit quotient ou par composition des fonctions



Chapitre 5 : Fonctions de référence

Fonctions de référence-cours Seconde 3 Image et antécédent Pour calculer l’image d’un nombre x0 par une fonction f, il suffit de remplacer xpar x0 dans l’expression de f(x) et d’effectuer le calcul



FONCTIONS d’une variable réelle à valeurs réelles

appelée translation de vecteur u ai La fonction x, où a est un réel non nul, est définie sur Df Sa courbe représentative se déduit de la courbe représentative de par la transformation : 22 x,y x,ay appelée affinité orthogonale d’axe l’axe des abscisses et de rapport a Remarque : dans le cas particulier où a 1, la courbe



DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS CORRECTION DES EXERCICES

Déterminons dans chacun des cas, l’ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée 1 f :x → x4+2 La fonction f est une fonction polynôme alors elle est continue et dériv-able sur R Ainsi, pour tout x ∈ R, f′(x)=4x3 2 g :x → −3x+ √ 7 La fonction g est une fonction polynôme alors elle est continue et dériv-



1 Fonctions polynôme de degré 2

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0 Cette écriture est la forme développée de f Remarque 1 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou plus simplement fonction trinôme 1 2



1#Lafonctionde#consommation#keynésienne#

2 Exercice 1 Soit la fonction de consommation suivante, C = 0 7Y + 3 où C est le montant de la consommation finale des ménages et Y, le revenu national



AIII Fonctions de transfert et schéma blocs

A III 1 Fonction de transfert d’un système dans le domaine de Laplace A III 1 a Détermination de la fonction de transfert A III 1 a i Principe Le système représenté par le modèle introduit précédemment : +⋯+ 1 + 0 = +⋯+ 1 + 0 Se représente ainsi :



Chapitre 9 : Fonctions dérivées

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices – p 2/12 Exercice 2 Considérons la fonction f définie par : f(x)=x3–x2−x+8 On admet qu’après calculs, on a obtenu sa dérivée f', définie pour tout réel x par : f'(x)=3x2−2x−1

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1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 1 / 12

Chapitre 9 : Fonctions dérivées

Les différentes compétences visées dans ce chapitre sont : Connaître les dérivées des fonctions usuelles Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, k un réel non nul. Connaissant la dérivée de u, déterminer celle de k×u ou de u k Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u+v et de u-v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u×v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, v ne s'annulant pas sur I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u v

Soit f une fonction et a et b deux réels.

Connaissant la dérivée de f, déterminer celle de f(ax+b).

Exercice 1 : encore le feu d'artifice

La hauteur dans le ciel, en mètre (m), d'une fusée de feu d'artifice depuis son lancement est donnée par : f(t)=-0,6t2+21t ; où t représente le temps écoulé, en seconde (s).

1) On rappelle que la vitesse (en m/s) de la fusée à un instant t est donnée par le

nombre dérivé f'(t). a) On s'intéresse au taux de variation de la fonction f entre t et t+h (h étant un réel différent de 0) c'est-à-dire à f(t+h)-f(t) h.

Démontrer l'égalité : f(t+h)-f(t)

h=-1,2t-0,6h+21. b) En déduire l'égalité : f'(t)=-1,2t+21. 2)

a) Déterminer à quel moment l'explosion doit se produire pour que la fusée soit à sa hauteur maximale dans le ciel ?

b) Quelle est alors la vitesse de la fusée ?

3) On effectue un réglage pour que la fusée explose 6 secondes après son lancement.

a) A quelle hauteur se trouvera alors la fusée ? b) Quelle sera la vitesse de la fusée au moment de son explosion ?

4) Supposons que la fusée n'explose pas. Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?

Définition : soit f une fonction. Si, pour tout réel x d'un intervalle I, f' x existe, alors on dit que f est dérivable sur I. On peut ainsi définir une nouvelle fonction nommée f' qui à tout réel x de I associe son nombre dérivé f'x.

La fonction

f' s'appelle la fonction dérivée de f, ou par abus de langage, la dérivée de f.Objectif n°1 : fonction dérivée

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 2 / 12

Exercice 2

Considérons la fonction f définie par : f(x)=x3-x2-x+8. On admet qu'après calculs, on a obtenu sa dérivée f', définie pour tout réel x par : f'(x)=3x2-2x-1.

1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x0-12 f (x)f'(x)

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse

-1. E xercice 3 : dérivées des fonctions usuelles Le but de cet exercice n'est pas de traiter toutes les questions mais d'en traiter le maximum

1) Soit f la fonction affine définie sur par

ℝ : f(x)=5x-3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : f(x+h)-f(x) h=5.

b) En déduire que pour tout réel x, on a : f'(x)=5 (cela signifie que la dérivée de f est constante).

2) Soit g la fonction définie sur par

ℝ : g(x)=x2. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : g(x+h)-g(x) h=2x+h. b) En déduire que pour tout réel x, on a : g'(x)=2x.

3) Soit k la fonction définie sur par

ℝ : k(x)=x3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3.

En déduire l'égalité : k(x+h)-k(x)

h=3x2+3xh+h2. b) En déduire l'expression de k'(x) pour tout réel x.

4) Soit p la fonction définie sur

ℝ* par : p(x)=1 x.

a) Soit x un réel non nul quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : p(x+h)-p(x)

h=-1 x(x+h). b) En déduire l'expression de p'(x) pour tout réel non nul x.

5) Soit q la fonction définie sur

a) Soit x un réel positif quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : q(x+h)-q(x)

h=1 b) En déduire l'expression de q'(x) pour tout réel strictement positif x.

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 3 / 12

L'exercice précédent démontre en partie la propriété ci-dessous. Propriété : le tableau ci-dessous donne la dérivée des fonctions usuelles. FonctionDéfinie surDérivable surFonction dérivée Fonction constante : x k (k ∈ ℝ)ℝℝx 0

Fonction affine : x axbℝℝx a

Fonction carré : x

x2ℝℝx 2xFonction cube : x x3ℝℝx 3x2

Fonction puissance : x

xn (n ∈ ℕ*)ℝℝx nxn-1

Fonction racine carrée : x

xℝ+ℝ+∗x 1

2x

Fonction inverse : x 1

xℝ*ℝ*x -1 x2 Remarque : la fonction racine carrée est définie sur ℝ+ mais dérivable sur ℝ+ ∗. Cela signifie que la fonction racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0.

Graphiquement, cela se confirme par le fait que

la tangente au point d'abscisse 0 est verticale et que son coefficient directeur est donc infini.

Exercice 4

Dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=x2 ; ainsi que la droite (d) d'équation y=6x. Le but de cet exercice est de déterminer en quel point de la courbe Cf la tangente est parallèle à la droite (d).

1) Compléter : pour tout point M d'abscisse x situé sur Cf , le

coefficient directeur de la tangente est égal à ...... Pour que la tangente soit parallèle à la droite (d), il faut que son coefficient directeur soit égal à .... On cherche donc pour quelle valeur de x on a : ......x

Résoudre l'équation et conclure.

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf parallèle à

la droite (d). Nous la nommerons T dans la suite.

3) Tracer la tangente T dans le repère ci-contre pour

vérification.

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 4 / 12

Exercice 5 (uniquement pour les plus rapides

et ambitieux, sur autorisation du professeur) Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)= Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d'abscisse a.

1) Déterminer l'équation réduite de Ta.

2) Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point de

coordonnées (-a;0).

3) En déduire ci-contre la construction de la tangente à Cf au

point d'abscisse 5. Exercice 6 : du langage courant à une expression algébrique Considérons les trois fonctions définies ci-dessous. Compléter le tableau ci-dessous en prenant exemple sur la première ligne. f est le produit de u par wf=u×wf(x)=(3x-2) f est le produit de u par 7 f est l'inverse de v f est la somme de u et w f est le quotient de u par v f est la différence de v et w f est le carré de la somme de u et v f est la somme des carrés de u et w

Exercice 7

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On rappelle que pour tout réel x de I, on a par définition : u'(x)=limh→0u(x+h)-u(x) h ; et : v'(x)=limh→0v(x+h)-v(x) h.

1) Soit f la fonction définie par : f=u+v.

Soit x un réel quelconque de I : déterminons f' x en fonction de u'x et v'x. Pour cela, compléter :

Pour tout réel h non nul, on a :

f(x+h)-f(x) h=(u(x+h)+v(x+......))-(u(x)+v(......)) h =u(x+h)+v(x+......)-u(x)-v(......) h =u(x+h)-u(......)+v(x+......)-v(......) =u(x+h)-u(......) h+v(x+......)-v(......)

Ainsi :

f'(x)=limh→0f(x+h)-f(x) h=limh→0 (u(x+h)-u(x) h+v(x+h)-v(x) h)=...'(x)+...'(x).Objectif n°2 : opérations sur les dérivées

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 5 / 12

Propriété : soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si : f=u+v ; alors f est dérivable sur I et : f'=u'+v'. On dit que " la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées ».

2) Considérons la fonction f définie sur ℝ+ par : fx=x3

x. f est la somme des deux fonctions u et v définies par : u

La fonction u est dérivable sur ...... et :

u'(x)=...... ; la fonction v est dérivable sur ...... et : v'(x)=...... ; donc la fonction f est dérivable sur ce qui est commun aux deux, c'est à dire ℝ+ ∗ et :f'(x)=u'(x)+v'(x)=............................

De la même façon, décomposer dans chacun des cas ci-dessous la fonction f en somme de deux fonctions u et v puis

déterminer l'expression de f'. f (x)=1 x+x2 f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f(x)=x2+5-3x f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : x f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=....... En procédant comme dans l'exercice 7, on démontre la propriété suivante. Propriété : soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Si : f

=u-v ; alors f est dérivable sur I et : f'=u'-v'.

On dit que " la dérivée d'une différence est égale à la différence des dérivées ».

Exemple : considérons la fonction f définie sur ℝ* par : f(x)=1 x-x5. f est la différence des deux fonctions u et v définies par : u (x)=1 x ; et : v(x)=x5.

La fonction u est dérivable sur

ℝ* et : u'(x)=........

La fonction v est dérivable sur et

ℝ : u'(x)=.......

La fonction f est donc dérivable sur

ℝ* et : f'(x)=u'(x)-v'(x)=.......... En procédant comme dans l'exercice 7, on démontre la propriété suivante.

Propriété : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel non nul quelconque.

Si : f=k×u ; alors f est dérivable sur I et : f' =k×u'.Si : f=u k ; alors f est dérivable sur I et : f'=u' k . Exemple : considérons la fonction f définie sur par ℝ : f(x)=3x2. f peut s'écrire sous la forme f=3×u où u est la fonction définie par : u (x)=x2.

La fonction u est dérivable sur et

ℝ : u'(x)=....... La fonction f est donc aussi dérivable sur et ℝ : f'(x)=3×u'(x)=............=..........

1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 6 / 12

Exercice 8

Dans chacun des cas ci-dessous, décomposer la fonction f sous la forme k×u ou u k où k est un réel constant puis déterminer l'expression de f'. f (x)=7x3 f =k×u avec : k =...... et u(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f f=............ avec : k=...... et u(x)=............u est dérivable sur ... et : u'(x)=.......f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f(x)=x6 3 f =........... avec : k =...... et u(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......

Exercice 9

Soit f la fonction définie sur par

ℝ : f(x)=2x3+3x2-12x-2. On nomme Cf sa courbe représentative.

1) Déterminer l'expression de f'.

2) Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels Cf admet une tangente horizontale.

3) Déterminer l'équation réduite de la tangente T2 à Cf au point d'abscisse 2.

4) Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels Cf admet une tangente parallèle à T2.

Exercice 10

Soit f la fonction définie sur par

ℝ : f(x)=x3-2x. On nomme Cf sa courbe représentative.

1) On nomme T1 la tangente à Cf au point d'abscisse 1. Démontrer que l'équation réduite de T1 est : y=x-2.

2) Démontrer que pour tout réel x, on a : f(x)-(x-2)=(x-1)(x2+x-2).

3) Dresser le tableau de signes de f(x)-(x-2) et en déduire les positions relatives de Cf par rapport à T1.

Exercice 11 : évolution d'une épidémie

On a modélisé l'évolution d'une épidémie de grippe de la façon suivante : si t est le temps (en jours) écoulé depuis le début de

l'épidémie, le nombre de cas, en milliers, est donné par : f(t)=-1 6t3+5

2t2+28t.

La vitesse d'évolution instantanée au temps t est donnée par f'(t).

1) Combien de malades compte-t-on au bout de 5 jours ?

2) Calculer la vitesse d'évolution au début de l'épidémie.

3) On admet que le pic de l'épidémie est atteint lorsque la vitesse d'évolution instantanée s'annule.

a) Déterminer quel jour est atteint le pic de l'épidémie. b) Combien de malades compte-t-on alors au moment du pic ? Exercice 12 (uniquement pour les plus rapides et ambitieux, sur autorisation du professeur) Considérons les deux fonctions f et g définies sur par ℝ : f(x)=-2x2+7x-1 ; et : g(x)=4x2-5x+5. On nomme Cf et Cg leurs paraboles représentatives respectives.

1) Démontrer que Cf et Cg n'ont qu'un seul point commun. Nous nommerons I ce point dans la suite de l'exercice.

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente TI commune à Cf et Cg au point I.

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Exercice 13 (uniquement pour les plus

rapides et ambitieux, sur autorisation du professeur) Soit f la fonction définie sur parℝ : f(x)=-x4+2x2+x+2.

On nomme Cf sa courbe représentative.

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