Majorer, minorer, encadrer - Mathématiques et Interactions
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
Fiche Technique : Majorant - Minorant
Considèrons une fonction fdéfinie sur un intervalle I Comment peut-on trouver un majorant de cette fonction sur I Il n’existe pas de méthode générale qui permette de trouver ce majorant (ou minorant) Voici quelques pistes : - utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" - utiliser des propriétés
Majorer, minorer, encadrer - Mathématiques et Interactions
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et ´eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major´ee par 70 x −∞ −7 3 4 +∞ 4 66 f(x) & & 2 −7 1 Exo 4 Minorer la fonction pr´ec´edente au vu de son TV
Daniel ALIBERT Relations dordre Entiers Anneaux et corps
d'ordre On la note généralement ≤ , (ou ≥) Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit ordonné Soient x et y des éléments d'un ensemble ordonné, la relation : x ≤ y et x ≠ y, est notée : x < y Une relation d'ordre est dite totale si pour tout x et tout y on a x ≤ y ou y ≤ x L'ensemble est alors dit totalement ordonné
Chapitre 1 MAJORER, MINORER
Le produit d’un r´eel positif et d’un r´eel n´egatif est n´egatif En effet, soit a ≤ 0 et 0 ≤ b, alors 0 ≤ −a et, d’apr`es l’axiome (vi), on obtient 0 ≤ −ab D’ou` ab ≤ 0 On montre de mˆeme que le produit de deux r´eels n´egatifs est positif Exercice -Montrer que la fonction carr´ee est croissante sur R+
Institut Camille Jordan
De l’autre cot´e, on remarque d’abord que chaque ´el´ement de D est clairement strictement positif et afortiori positif Le r´eel 0 minore donc tous les ´el´ements de D CeciprouvequeD est minor´e et que 0 en est un minorant Minor´e et non vide, l’ensemble D admet une borne inf´erieure Montrons enfin que D n’a pas de
Propriétés de R - Cours et exercices de mathématiques
D’une part x2]r;r0[ (car 0 < p 2 0;q > 0 des entiers On obtient qln3 = pln2
Bornes dans R Correction des Exercices - Weebly
Remarque 1 Bien entendu une solution beaucoup plus élémentaire aurait consisté àdéterminer f(R)au moyen de l’étude des variations de f C’est une conséquence non triviale de la continuité : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle et cet intervalle se détermine
Bornes supérieures et inférieures
2 En déduire que admet une borne supérieure et une borne inférieure et les déterminer Allez à : Correction exercice 7 : Exercice 8 : On considère la partie ={(−1) +1 ; ∈ℕ∗} Démontrer que possède une borne inférieure et une borne supérieure, déterminer chacune d’entre elle Allez à : Correction exercice 8 :
UNIVERSITÉ DE PARIS 8 - Cayrel
n 6 M:Alors Mest un majorant et Mest un minorant de la suite (u n): Définition 1 7 (limite d’une suite) On dit qu’une suite (u n) admet le réel ‘pour limite ou que (u n) converge vers ‘si 8">09N2N tel que 8n> Non a ju n ‘j Non a u n> K: On dit qu’une suite (u
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Majorer, minorer, encadrer
DedouFevrier 2012
Encadrer un nombre par deux nombres
Face a un nombre qu'on ne conna^t pas super bien, comme, on l'encadre :3:143:15
Cet encadrement se decompose en
3:15 dont on dit que c'est une majoration (de) et 3:14 dont on dit que c'est une minoration (de).Le majorant et le majore
Dans l'inegalite3:153:15 est le majorant etest le majore. On dit aussi que 3:15 majore.Il y a aussi le point de vue symetrique3:15 est le minore etest le minorant. On dit alors queminore
3:15.Le majore ou le minore est le nombre auquel on s'interesse, selon le
point de vue.Encadrer une fonction par deux nombres
On encadre (majore, minore) un nombre qu'on ne conna^t pas super bien, commee. On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction. Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions.ExempleLa fonctionx7!1x
2+1est comprise entre 0 et 1.Exo corrige
Encadrer la fonction sinus (par deux nombres).
Encadrer une expression par deux nombres : exemple Parfois, on veut encadrer (majorer, minorer) une expression dependant d'une variable (par des nombres ne dependant pas de cette variable). Encadrer l'expressionf(x) pourx2I, c'est pareil qu'encadrer la fonctionf(restreinte aI).ExemplePourx2[1; ], sinxest compris entre 0 et 1.
Encadrer une expression par deux nombres : exo
Exo 1Encadrerx2+ 1 pourx2[2;3].
Encadrer une fonction par deux fonctions
Parfois, on veut encadrer une fonction par deux autres.Exemple
La fonctionx7!x3+ sinxest encadree par les deux fonctions croissantesx7!x31 etx7!x3+ 1.Exo corrigeEncadrerx7!exsinxpar deux fonctions monotones.
Encadrer= majorer + minorer
Majorer et minorer, c'est pareil, au sens des inegalites pres.Majorer et minorer, c'est pareil
y'a que le sens de l'inegalite qui change.Si on sait majorer, on sait minorer,
et comme "encadrer" c'est "majorer" plus "minorer", on sait aussi encadrer.On va donc surtout parler de "majorer", mais il faudra savoir adapter a "minorer".Majorer versus comparer
La dierence entre majorer et comparer, c'est qu'on a deux nombres (ou fonctions) dans le second cas, et un seul dans le premier.MajorerA, c'estd'abord trouver/choisirMpuis prouverAM.Majorer une fonction
Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure.Exemple Une fonctionfayant le TV suivant est majoree par 70.x1 7 3 4 +14 66 f(x)% & % &27 1Exo corrige
Minorer la fonction precedente au vu de son TV.
Plus petit majorant
x1 7 3 4 +14 66 f(x)% & % &27 1Au vu du TV ci-dessus
dire que la fonction est majoree par 70 c'est juste mais debile. La bonne info, c'est que son plus petit majorant est 66.Exo corrige
Quel est le plus grand minorant de cette fonction?Majorants et operations
Proposition
SiMest un majorant defetNun majorant deg, alors
M+Nest un majorant def+g.SiMest un majorant defetNun majorant deg,avecfet gpositives, alorsMNest un majorant defg.SiMest un majorant defetNunminorant strictement positifdeg,avecfetgstrictement positives, alorsMN est un majorant de fg .SiMest un majorant def, alorsMest un minorant def.Majorer une somme
Pour majorerf+g,on majorefetg, puis on ajoute les majorants.Exemple Pour majorerx2+ sinxavecx2[3;2], je majorex2par 9 et sinxpar 1, et je conclus que la somme est majoree par 10.Exo corrigeMajorerx2+x3avecx2[4;1].
Majorer un produit de positifs
Pour majorerfg,avecfetgpositives,on majorefetg, et on multiple les majorants.Exemple Pour majorerx2exavecx2[3;2], je majorex2par 9 etexpar 32= 9, et je conclus que le produit est majore par 81.Exo corrige
Majorer (x+ sinx)(7x) avecx2[2;4].
Majorer un produit quelconque
Pour majorerfg,avecfetgquelconques,on utilise quefgest majore par sa valeur absoluejfgjqui est aussi le produit de positifsjfj:jgj.Exemple Pour majorerx2sinxavecx2[3;2], je majorex2(qui est positif donc egal a sa valeur absolue) par 9 etjsinxjpar 1, et je conclus que le produitx2sinxest majore par 9.Exo corrigeMajorerexcosxavecx2[3;2].
Majorer une valeur absolue
Il faut donc savoir majorer une valeur absolue, et en particulier lavaleur absolue d'une somme ou d'une dierence.Pour majorerjf+gjoujfgj,on majorejfjetjgj, puis on ajoute les majorants (m^eme chose
pourjfgj).Exemple Pour majorerx2sinxavecx2[3;2], je majorex2(qui est positif donc egal a sa valeur absolue) par 9 etjsinxjpar 1, et je conclus que le produitx2sinxest majore par 9.Exo corrige