[PDF] Première ES - Probabilités - Variable aléatoire

Première ES - Probabilités - Variable aléatoire

considérant que les probabilités sont les fréquences des valeurs • La variance et l’écart type d’une variable aléatoire ont les mêmes définitions que la variance et l’écart type d’une série statistique 3) Propriétés Compte tenu de la dernière remarque on a : Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité ( , )

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES Exercice 4 On a trois cartons : on écrit sur le premier «T», sur le second «A» et sur le troisième «S» On retourne les cartons sur une table 1) On choisit un carton, on note la lettre, on remet le carton sur la table, et on choisit de nouveau au hasard un deuxième carton, on note la lettre

351 - ChingAtome

1 Calculer les probabilités des évènements J et O 2 Calculer la probabilité de l’évènement J \O 3 Calculer la probabilité de l’évènement J [O Exercice 4809 Le comité d’entreprise d’une société parisienne souhaite or-ganiser un week-end en province Une enquête est faite auprès des 1200 employés de cette en-

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Partie A : Probabilités Exercice 1 Dans un univers Ω, on donne deux événements et incompatibles tels que =0,2 et =0,7 Calculer ∩ , ∪ , ̅ et Exercice 2 Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu'un numéro impair

Probabilité conditionnelle Variable aléatoire

1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré 2) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco-logiste 3) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo-giste

Exo7 - Exercices de mathématiques

Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on suppose que : —Si une partie est gagnée, la probabilité de gagner la suivante est 0:6 —Si une partie est perdue, la probabilité de perdre la suivante est 0:7 Soit G

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

des probabilités du chemin aboutissant à cette feuille Exemple : On considère la feuille 3∩4 On a : (3∩4)=(3)× 7(4)=0,4×0,75=0,3 Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs "feuilles" est égale à la somme des probabilités de chacune de ces "feuilles" Exemple :

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I Exemple d’introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d’une maladie Certains sont traités avec le médicament A, d’autres avec le médicament B Le tableau présente les résultats de l’étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674

Fiche 2 + Exercices sur les probabilités

Fiche 2 bis Probabilités conditionnelles Spé Maths Correction Fiche 2+ Exercice1: Un marathon est une épreuve sportive de course à pied Une étude portant sur le marathon de artonTville montre que : 34 des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes; parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 ont plus

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Probabilités-Variable aléatoire

I) Variable aléatoire discrète

1) Exemples

Exemple 1

Considérons un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On lance ce dé

L'ensemble des issues est = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

Chaque issue a pour probabilité

On convient que si la face 1 apparaît on gagne 5 € sinon on perd 2 €. On peut donc définir une fonction X qui a chaque issue de associe le " gain » obtenu, cette fonction prend donc les valeurs 5 et - 2 ( une perte étant un " gain » négatif )

La probabilité que X prenne la valeur 5 est

଺ et celle qu'elle prenne la valeur - 2 est ହ

On écrit p( X = 5) = p ({1}) =

et p( X = - 2 ) = p ( {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }) = ହ

Exemple 2

Considérons une pièce de monnaie bien équilibrée

On lance deux fois de suite cette pièce

En notant P " on a obtenu pile » et F " on a obtenu face », l'ensemble des issues est = { PP ; PF ; FP ; FF }

Chaque issue a pour probabilité

On convient que chaque fois que l'on obtient " pile » on gagne 3 € et que chaque fois que l'on obtient " face » on perd 1 €. On peut donc définir une fonction X qui a chaque issue de associe le " gain » obtenu, cette fonction prend donc les valeurs 6 ( pour PP ) , 2 pour PF ou FP et - 2 pour FF

La probabilité que X prenne la valeur 6 est

ସ on note p ( X = 6 ) = ଵ La probabilité que X prenne la valeur 2 est ଵ La probabilité que X prenne la valeur - 2 est ଵ ସ on note p ( X = - 2) = En général, on résume ces résultats dans un tableau : Gains

6 2 -2

Probabilités

= P ( X = ݔ

2) Définition

On considère un ensemble fini et une loi de probabilité p sur Une variable aléatoire X sur est une fonction définie sur à valeurs dans Si désignent les valeurs prises par X, on note " X = ࢞ l'événement " X prend la valeur ࢞ On définit une nouvelle loi de probabilité associée à X, par la donnée des réels ࢞ et des probabilités ࢖ = P (X = ࢞

Exemple 3:

Un sac contient 15 jetons bleus, 10 jetons rouges, 3 jetons verts et 2 jetons noirs, tous indiscernables au toucher. Un joueur extrait au hasard un jeton de ce sac et note sa couleur : B pour bleu, R pour rouge, V pour vert et N pour noir. Il marque 3 points si le jeton est rouge, 5 points si le jeton est vert, mais perd 1 point si le jeton est bleu et perd 3 points si le jeton est noir. Soit G la variable aléatoire qui donne le nombre de points ( positif ou négatif ) obtenu par le joueur. Déterminer la loi de probabilité de la variable G.

Solution :

Tous les jetons ayant la même chance d'être tirés, on a :

Le jeton tiré

est : Bleu Rouge Vert Noir

Probabilités : ଵହ

Nombre de

points marqués : െͳ 3 5 െ͵ On a donc la loi de probabilité de la variable aléatoire G, en notant ݊ les valeurs prises par G : - 3 - 1 3 5 = P( G = ݊

II) Espérance,variance,écart type

1) Définitions

Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité ( ࢞

On appelle :

• Espérance de X le nombre noté E(X) défini par

E(X) = ࢖

noté aussi E(X) = σ࢖ • Variance de X le nombre noté V(X) défini par

V(X) = ࢖

noté aussi

V(X) =

• Ecart type de X le nombre noté ı(X) défini par

ı(X) =

Exemples :

En reprenant les trois exemples vus plus haut

Exemple 1 :

E(X) = 5 x

+ (-2) x ହ

V(X) =

6 6 ଷ଺ ൎ 6,81

ı(X) =

Exemple 2 :

E(X) = 6 x

+ 2 x ଵ ସ = 2

V(X) =

( 6 െ 2)² + (2 - 2)² + (െ2 െ2)² = 4 + 4 = 8

ı(X) =

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