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Développer et factoriser une expression - Mathovore

Développer et factoriser une expression Exercice : Développer l' expression suivante : 1) E= (3x+2)² - (5-2x)(3x+2) 2) Factoriser E 3)Calculer la valeur de E pour x= - 2



FACTORISER Définitions Développer - Le prof de math

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles Factoriser une somme (ou une différence) c’est l’écrire sous forme d’un produit Les règles de développement et de factorisation



DÉVELOPPER, FACTORISER - Free

DÉVELOPPER, FACTORISER On souhaite transformer des expressions algébriques pour les mettre sous diérentes formes : Définition 1 ‰ Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de facteurs ‰ Factoriser, c’est transformer une somme de facteurs en un produit de facteurs Exemple 1 Expressions sous forme



1 FACTORISATIONS - maths et tiques

Pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible : A = 3,5 x – 4,2 x + 2,1 x C = 4 x – 4 y + 8 E = 3 t + 9 u + 3



Développement et factorisation Coll Coll ge Abdellah - Math

Célia et Sarah ont inventé une mahine de musique magique : la Clip-Box Ils testent quatre prototypes, chacun contenant 3 DVD et 5 CD Exprime, de deux façons différentes, le nomre de disques ontenus dans l'ensemle de toutes les mahines Quelle égalité peux-tu en déduire ? On suppose maintenant que le nombre de Clip-Box est égal à k



TD d’exercices de développements, factorisations et de

On considère l'expression E = 4x2 - 9 + ( 2x + 3)( x - 2) 1 Développer et réduire l'expression E 2 Factoriser 4x2 - 9 En déduire la factorisation de l'expression E 3 a) Résoudre l'équation ( 2x + 3)( 3x - 5) = 0 b) Cette équation a-t-elle une solution entière ? c) Cette équation a-t-elle une solution décimale ?



3ème Factoriser une expression - Mathématiques

Recopier dans le cahier partie cours (nouvelle page, NC3 : Factoriser une expression) et apprendre la leçon suivante : Factoriser à l’aide d’un facteur commun: Pour factoriser, on cherche d’abord un facteur commun à chaque terme de la somme puis on utilise l’une des règles de distributivité :



3ème Révisions de 4ème Développements Factorisations

On considère l’expression I = 7x² – 4x + 8 Calculer I pour a) x = 3 b) x = -4 c) x = -3 Exercice 8 Factoriser : A = 6x + 6y B = 20 – 30a C = 15a – 25b D = 9a² + 12a E = 15x² + 5x F = 16x² + 24x Exercice 9 Factoriser les expressions suivantes :



4 CALCUL LITTERAL Exercices

Compléter : factoriser une expression, c'est 3× a +3× b = 7 x −7 y = 5 a −5 b +5 c = 6 x −6=

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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

FACTORISATIONS

I. La distributivité

Factorisation : Lecture " droite ➡ gauche » de la formule de distributivité !

Définition :

Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en produit. Dans la pratique, factoriser, c'est mettre en facteur en gagnant des parenthèses dans une expression. Méthode : Appliquer la distributivité pour le calcul mental

Vidéo https://youtu.be/sr_vOR2ALhw

Vidéo https://youtu.be/BaUpx07H0NM

Calculer astucieusement :

1) 131 x 13 + 131 x 87 2) 37 x 13 - 37 x 3 3) 4x + 4 x 5

1) Astuce :

On reconnaît le facteur commun 131 pour appliquer la formule de distributivité de la droite vers

la gauche.

131 x 13 + 131 x 87 = 131 x (13 + 87)

= 131 x 100 = 13100

2) 37 x 13 - 37 x 3 = 37 x (13 - 3)

= 37 x 10 = 370

3) 4x + 4 x 5 = 4(x + 5)

II. Factorisations avec facteur commun

Vient du latin " Factor » = " celui qui fait »

1) Introduction :

Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x - 2) + 1 K = (x - 4) - 3(5 + 2x) B = (x + 3) + (1 - 3x) G = 4x - 15 L = (6 + x) 2 - 4(2 + 3x) 2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr C = (x - 4) - 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 - 4x)

D = 2(1 + x) I = (x + 15)

2

N = x(x - 2)

E = 3(5 + x)(32 + 5x) J = 4 - (x - 5)(3x - 5) O = (2x + 1) 2 (1 + x)

Réponses : A, D, E, H, I, M, N et O.

Vidéo https://youtu.be/FTi9WOQsq3w

2) Le facteur commun est un nombre ou une inconnue isolée

Méthode : Factoriser un nombre ou une inconnue

Vidéo https://youtu.be/r3AzqvgLcI8

Pour factoriser, il faut trouver dans l'expression un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible : A = 3,5x - 4,2x + 2,1x C = 4x - 4y + 8 E = 3t + 9u + 3 B = 4t - 5tx + 3t D = x 2 + 3x - 5x 2

F = 3x - x

A = 3,5x - 4,2x + 2,1x C = 4x - 4y + 4x2 E = 3t + 3x3u + 3x1 = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = 4(x - y + 2) = 3(t + 3u + 1) = 1,4x B = 4t - 5tx + 3t D = x x x + 3x - 5x x x F = 3x - 1x = t(4 - 5x + 3) = x(x + 3 - 5x) = x( 3 - 1 ) = t(7 - 5x) = x(- 4x + 3) = 2x

3) Le facteur commun est une expression

Méthode : Factoriser une expression

Vidéo https://youtu.be/5dCsR85qd3k

Vidéo https://youtu.be/UGTFELhE9Dw

Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire le 2 e facteur si possible :

A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x)

B = (4x - 1)(x + 6) + (4x - 1)

C = (1 - 6x)

2 - (1 - 6x)(2 + 5x)

D = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1)

FACTORISER: C'est mettre en facteurs une expression qui ne l'est pas. Rien à voir avec moi J 3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Pour factoriser, il faut trouver dans chacun des termes de l'expression un facteur commun. Il s'agit ici de 2 + 3x.

A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x)

= (2 + 3x)(3 - (5 + 2x)) = (2 + 3x)(3 - 5 - 2x) = (2 + 3x)(- 2 - 2x)

B = (4x - 1)(x + 6) + (4x - 1)x1

= (4x - 1)(x + 6 + 1) = (4x - 1)(x + 7)

C = (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x)

= (1 - 6x)((1 - 6x) - (2 + 5x)) = (1 - 6x)(1 - 6x - 2 - 5x) = (1 - 6x)(- 11x - 1) Lorsque le facteur commun n'est pas immédiatement apparent, il est parfois possible de modifier l'écriture d'un des termes de l'expression pour faire apparaître un facteur commun :

D = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1)

= 5(1 - 2x) + (4 + 3x)(1 - 2x) = (1 - 2x)(5 + (4 + 3x)) = (1 - 2x)(9 + 3x) III. Factorisations en appliquant une identité remarquable

Propriété : Les identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b, on a :

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (1)

Vidéo https://youtu.be/5dCsR85qd3k

Vidéo https://youtu.be/VWKNW4aLeG8

Vidéo https://youtu.be/91ZSBiadxrA

Factoriser : A = x

2 - 2x + 1 B = 4x 2 + 12x + 9 C = 9x 2 - 4

D = 25 + 16x

2 - 40x E = 1 - 49x 2

F = 12t + 4 + 9t

2

DEVELOPPER

FACTORISER

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Retrouvons les termes : a

2 b 2

2ab dans les expressions

A = x 2 - 2x + 1 (2ème I.R. avec a = x et b = 1) = (x - 1) 2

B = 4x

2 + 12x + 9 (1ère I.R. avec a = 2x et b = 3) = (2x + 3) 2

C = 9x

2 - 4 (3ème I.R. avec a = 3x et b = 2) = (3x - 2)(3x + 2)

D = 25 + 16x

2 - 40x (2ème I.R. avec a = 5 et b = 4x) = (5 - 4x) 2

E = 1 - 49x

2 (3ème I.R. avec a = 1 et b = 7x) = (1 - 7x)(1 + 7x)

F = 12t + 4 + 9t

2 (1ère I.R. avec a = 2 et b = 3t) = (2 + 3t) 2 Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (2)

Vidéo https://youtu.be/nLRRUMRyfZg

Vidéo https://youtu.be/tO4p9TzMrls

Factoriser et réduire :

G = (2x + 3)

2 - 64 H = 1 - (2 - 5x) 2

G = (2x + 3)

2 - 64 (3ème I.R. avec a = 2x + 3 et b = 8) = ((2x + 3) - 8)((2x + 3) + 8) = (2x + 3 - 8)(2x + 3 + 8) = (2x - 5)(2x + 11)

H = 1 - (2 - 5x)

2 (3ème I.R. avec a = 1 et b = 2 - 5x) = (1 - (2 - 5x))(1 + (2 - 5x)) = (1 - 2 + 5x)(1 + 2 - 5x) = (-1 + 5x)(3 - 5x)

IV. Second degré

1) Prérequis : Les équations du second degré

Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où a, b et c sont des réels avec ≠0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Exemple :

L'équation 3

-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté D, égal à -4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et

2) Factorisation d'un polynôme du second degré

Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par - Si D = 0 : Pour tout réel x, on a : - Si D > 0 : Pour tout réel x, on a : Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de f.

Méthode : Factoriser un trinôme

Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

Factoriser les trinômes suivants : a) 4

+19-5 b) 9 -6+1 a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5:

Calcul du discriminant : D = 19

2 - 4 x 4 x (-5) = 441

Les racines sont :

= -5 et

On a donc :

4

+19-5=45- -5

67-

1 4 8= +5

4-1

b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :

Calcul du discriminant : D = (-6)

2 - 4 x 9 x 1 = 0

La racine (double) est :

On a donc :

9

-6+1=99-

3-1

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