Suites de fonctions

1) Etudier la convergence simple et uniforme des suites fn(x) = f(nx ) et gn(x) = f(n x) 2) Domaines de convergence uniforme 3) Etudier la convergence des suites (n 1 f n), (n 1 g n) et ( fn gn) Exercice 6 : Étudier la suite de fonctions fn(x) = n x n sin( πx) sur [0, 1] Exercice 7 : Etudier la suite de fonctions fn(x) = n n x x x x 1

1 Convergence simple et convergence uniforme

est la limite simple (resp la limite uniforme) de la suite (f n) Remarque 1 1 La convergence uniforme de (f n) fers fentra^ ne la convergence simple de (f n) vers f La r eciproque n’est pas vraie Remarque 1 2 D esignons par le graphe de l’application f L’ensemble "des points (x;y) de E Fqui v eri ent

Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1

Exercice 2 Autre outil pour la convergence uniforme Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur ℝ+ par : ∀????≥0,∀????≥0, (????)=???????????? − ???? Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3 Convergence uniforme et dérivation 1 )Soit la suite de fonction (????= sin( ????) √ sur [0,???? 2

Convergences de suites de fonctions 1 Convergence simple

convergence est uniforme Exercice [Suite de fonctions convexes] Soit (fn)n∈N une suite de fonctions convexes sur le segment [a,b] qui converge simplement vers f Montrer que la convergence est uniforme sur tout compact de ]a,b[ Exercice [Th´eor`eme d’Ascoli] Soit (fn)n∈N une suite d’applications continues de R dans R et A une

Suites et séries de fonctions - AlloSchool

2) Convergence uniforme d’une suite de fonctions 2-a) La norme de la convergence uniforme : k k∞ Soit D une partie non vide de R On note B(D,K)l’ensemble des fonctions déﬁnies sur D, à valeurs dans K(K=Rou

Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203

Figure 1 2 { Construction de la courbe repr esentative de l’exponentielle 1 3 Convergence uniforme La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (f n) est celle que l’on a vue pour les courbes repr esentatives On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (f n) converge vers f lorsque la courbe repr esentative de la

SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

et il n'y a pas convergence uniforme 3– Continuité et convergence uniforme La notion de convergence uniforme résulte des tentatives de Cauchy au début du XIXème pour montrer que la limite d'une suite de fonctions continues est continue Nous avons vu que ce résultat

Suites et séries de fonctions

Montrer que h est limite uniforme sur [a,b] d’une suite de polynômes à coeﬃcients entiers Exercice 22 Théorèmes de Dini Soit (f n) une suite de fonctions numériques continues sur [a,b] convergeant simplement vers une fonction continue f 1) On suppose que chaque fonction f n est croissante Montrer qu’il y a convergence uniforme

Suites et séries de fonctions (corrigé niveau 3)

Convergence des suites de fonctions 39 Convergence simple : Soit x fixé dans [0,2] • si x vaut 0, 1 ou 2, la suite est constante égale à 0 • si x est distinct de ces valeurs, alors : 1−x

Suites et séries de fonctions - Institut de Mathématiques

la convergence de la série P n2N u n est équivalente à la convergence de la suite (S N) N2N Simplement, selon les cas, il est plus agréable de travailler soit avec le terme général d’une suite soit avec la diﬀérence entre deux termes consécutifs Ce sera la même chose pour les suitesetsériesdefonctions

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1

Exercice 1. Convergence uniforme

1. ׊

2. ׊

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2. Autre outil pour la convergence uniforme Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur Թା par :

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3. Convergence uniforme et dérivation

ξ௡ sur ቂ-ǡగ

fonction ݂ ࣝଵ.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4. Convergence uniforme sur un ouvert

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de fonctions définies par :

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6. Un cas pathologique

1. Faire une figure pour quelques valeurs de ݊.

3. Préciser si la convergence est uniforme dans les trois cas suivants :

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7. Convergence uniforme et intégration

2. Calculer :

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8. On considère la suite de fonctions réelle définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9. On considère la suite de fonctions réelles définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10. On considère, pour tout ݊א

déterminera. 3

Allez à : Correction exercice 10

2. Pour ݊אԳכ

Et la limite de ܫ

Allez à : Correction exercice 11

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Allez à : Correction exercice 14

Corrections

Correction exercice 1.

majorer la valeur absolue de cette différence par une expression ne faisant plus apparaître de " ݔ » en

sachant que ݔא

Car ݔא

Car ݁ି௫൑ͳ et ଵ

On en déduit que

Allez à : Exercice 1

2. Soit 5 Donc Comme

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

Si ݔ൐- alors

La dérivée est positive pour ݔא

௡ቂ, nulle en ଵ ௡ et négative pour ݔא Donc ݂௡ admet un maximum en ݔ௡ൌଵ

Si ߙ

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1. Pour tout ݔא

మቃ la fonction nulle sur ቂ-ǡగ

évidemment dérivable.

Allez à : Exercice 3

Par conséquent

Et enfin

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Si ݔ൐- alors

Etude de ݂௡ sur Թା

Comme sur Թା

conclure Donc

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

a) Si ݔא converge simplement vers la fonction ݂ définie par b) Si ݔא Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݃ définie par Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݄ définie par 8

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

1. Courbes pour ݊ൌͳǡ݊ൌ- et ݊ൌͳ- 2. Si ݔ൐-, il existe ݊଴ tel que ଵ Comme

La convergence est uniforme

ݔ൑- et qui vaut ͳ pour ݔ൐--à-dire une fonction discontinue or les fonctions ݂௡ sont continues,

en ݔൌ- les limites à gauche et à droite valent - et en ݔൌͳ les limites à gauche et à droite valent ͳ, il

Comme

Il y a convergence uniforme.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1,5-1-0,500,511,52 9

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

1. Pour ݔא

2. ௡ , et pour

Donc il y a convergence uniforme.

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. Pour tout ݔא

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ » Ainsi On peut faire les deux raisonnements de la question ci-dessus 10

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors

Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ », attention ici, il y a une petite nuance

Mais on aurait aussi pu majorer par ଵ

Ainsi

4. Pour tout ݔא

Là, on va avoir un problème pour majorer cette expression indépendamment de ݔ par une expression qui

tend vers -. gence uniforme, prenons ݔ௡ൌ݊

Ce " ne peut pas tendre vers -

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

1. Pour tout ݔא

Il faut bien distinguer le cas ݔ്- ݔൌ-, 2.

Etude de la fonction ݔ՜ଵ

Autre méthode

11 de la fonction Elle est décroissante donc elle atteint son " pour ݔൌܽ Elle est décroissante donc elle atteint son " pour ݔൌͳ

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

à priori, prenons la suite ݔ௡ൌଵ Donc

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

1. Pour tout ݔא

2. 12 Donc

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

indépendante de ݔ qui tendrait vers -, on va donc étudier la fonction 1

On en déduit que le " de

2. En réutilisant le calcul ci-dessus

Pour tout ݔ്-

13 par :

Ah bah çà alors quelle surprise !!!!

Allez à : Exercice 12

Correction exercice 13.

Si ଵ

Comme ͳ൅ݔ൐-

Si ݔൌ-

Les fonctions ݂௡ sont continues, si la convergence était uniforme la fonction ݂ serait continue or ݂

pas continue en ݔൌ-

Allez à : Exercice 13

Correction exercice 14.

Convergence simple

Pour tout ݔ il existe ݊଴אԳ tel que ݊଴൐ݔ donc pour tout ݊൐݊଴, ݔא

lorsque ݊ ቀͳെ௫

Convergence uniforme

On pose

Donc pour tout ݔא

nulle. supérieur à ݊, mais peu importe.

Deux cas se présentent

Soit

Dans ce cas

Soit

Dans ce cas

Dans tous les cas, que ݔ௡ existe ou pas le maximum éventuel tend vers -

Finalement

Allez à : Exercice 14

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