Outils Mathématiques pour l’Ingénieur

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Mathématiques pour lingénieur

Maths pour l’ing enieur : organisation et evaluation Organisation 7 s eances d’1h30 de cours 8 s eances d’1h30 de TD Evaluation : 1 examen interm ediaire de 30 min sans documents en S9 1/4 note nale Tutorat en S13 1 examen nal de 1h30 avec documents en S15 3/4 note nale Thomas Cluzeau Math ematiques pour l’ing enieur

Mathématiques pour l’ingénieur

Mathématiques pour l’ingénieur Avertissement Ce document est inspiré de divers cours enseignés par l’auteur àl’Uni-versité de Caenet de divers manuels classiques de Mathématiques tels que [Rud95], [Car85], [Sch67], [Que64], [Dix76] Il était anciennement intitulé Mathématiques pour la Licence de Mécanique

MT12 Mathématiques pour lingénieur

mathématiques utiles à l'ingénieur par la mise en oeuvre de certaines techniques mais aussi par la tenue de raisonnements quelquefois di ciles Les mathématiques pour l'ingénieur présentées dans ce cours s'appuient sur l' intégrale , ou plutôt les intégrales, comme on le verra au chapitre 1

Mathématiques pour l’Ingénieur

Mathématiques pour l’Ingénieur Thomas Cluzeau École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Limoges 16 rue d’atlantis, Parc ester technopole

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à l’École Normale Supérieure, et a pour professeur Lagrange, Laplace et Monge En 1797, il remplace Lagrangeàlachaired’analyseetdemécaniquedel’EcolePolytechnique En1798,ilrejointlesexpéditions napoléoniennes en Égypte En 1801, il revient en France et est nommé préfet de l’Isère Il étudie le

Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur

Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur Suite de la boite à outils en 5 séances de cours + 5 séances de TD 1

AIDE-MÉMOIRE Mathématiques de l’ingénieur

ide-mémoire de Mathématiques de l’ingénieur 3 4 Propriétés métriques des courbes planes 117 3 5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ)119 3 6 Problèmes relatifs au cercle 121 3 7 Coniques 124 3 8 Géométrie dans l’espace 138 Partie B : Analyse et probabilités 163 4 Éléments d’analyse 165 4 1 Dérivées et différentielles 165

Outils Mathématiques pour l’Ingénieur Equations

Outils Mathématiques pour l’Ingénieur Equations Différentielles Ordinaires Linéaires Informations pratiques 2 Enseignant Denis Arzelier : directeur de

Outils Mathématiques pour l’Ingénieur Séries numériques et

Outils Mathématiques pour l’Ingénieur Séries numériques et séries de fonctions Prérequis 2 1- S’il existe un réell ≥ 0 tel que lim

École Nationale Supérieure de Géologie

- Cours de première année -

Outils Mathématiques pour

l"Ingénieur - Séries et transformées deFourier et deLaplace - BenoîtMarx, Maître de Conférences HDR à l'Université de Lorraine 2

Table des matières

1Analyse de Fourier1

1.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Préliminaires au développement en séries de Fourier . . . . . . . . . 1

1.1.2 Développement en série d"exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Conditions de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Développement en série de cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Développements pour une fonction de période quelconque . . . . . . 11

1.2 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Transformée de Fourier d"une fonction périodique . . . . . . . . . . 18

1.2.4 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5 Transformée de Fourier d"un signal discret . . . . . . . . . . . . . . 20

2Transformée de Laplace23

2.1 Définition de la transformée et de la et transformée inverse . . . . . . . . . 23

2.2 Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 Translation dans l"espace de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3 Dilatation ou contraction dans l"espace de départ . . . . . . . . . . 25

2.2.4 Transformée de Laplace d"une fonction modulée . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 Transformée de Laplace de la dérivée d"une fonction . . . . . . . . . 25

2.2.6 Transformée de Laplace de la primitive d"une fonction . . . . . . . . 25

2.2.7 Dérivation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.8 Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.9 Théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.10 Transformée de Laplace d"un produit de convolution . . . . . . . . . 27

2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Transformée de Laplace de l"impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Transformée de Laplace de l"échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Transformée de Laplace de la fonctionsinus. . . . . . . . . . . . . 28

2.3.4 Transformée de Laplace de la fonctioncosinus. . . . . . . . . . . . 29

2.3.5 Transformée de Laplace de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.6 Résolution d"une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . 29

3Sujets de travaux dirigés31

TD1. Séries et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TD2. Transformée de Laplace et résolution d"équations différentielles . . . . . . 37 3

Annexes 41

ATransformée de Fourier rapide41

BDécomposition en éléments simples43

CTable de transformées de Laplace44

Chapitre 1

Analyse de Fourier

Les séries de Fourier

1et la transformée de Fourier sont très utilisées en physique

dans différents buts. La transformée de Fourier permet de résoudre certaines équations différentielles dont la résolution serait notablement plus lourde sans l"utilisation de cet outil. La transformée de Fourier d"une fonction, ou dans un contexte plus concret : d"un signal mesuré permet de mettre en évidence un spectre, c"est à dire de caractériser le contenu fréquentiel du signal. Autrement dit on cherche à mettre en évidence un ou plusieurs comportements périodiques (qui se reproduit à l"identique au cours du temps) et à donner la ou les périodes caractéristiques du signal. Dans une première partie de ce chapitre on verra que toute fonction périodique (sous

certaines conditions qui seront précisées) peut s"écrire sous la forme d"une somme pondérée

de fonctions exponentielles complexes, ou sous la forme d"une somme pondérée desinus et decosinus. Dans une seconde partie, on définira la transformée de Fourier, on étudiera ses pro- priétés et quelques applications.

1.1 Séries de Fourier

1.1.1 Préliminaires au développement en séries de Fourier

Le développement en série de Fourier est utilisé pour représenter une certaine classe de fonctions : les fonctions périodiques. Dans un premier temps il est donc utile de définir

cette classe.1. Jean-Baptiste (ou Joseph) Fourier (1768-1830) participe à la révolution en tant qu"animateur du

comité local révolutionnaire d"Auxerre. La chute de Robespierre en 1793 lui évite la guillotine. Il étudie

à l"École Normale Supérieure, et a pour professeur Lagrange, Laplace et Monge. En 1797, il remplace

Lagrange à la chaire d"analyse et de mécanique de l"Ecole Polytechnique. En 1798, il rejoint les expéditions

napoléoniennes en Égypte. En 1801, il revient en France et est nommé préfet de l"Isère. Il étudie le

problème de la chaleur, c"est-à-dire l"évolution de la température d"un corps au cours du temps. De

1802 à 1807, il étudie l"équation de la propagation de la chaleur dans les corps solides, et trouve une

méthode pour la résoudre : l"analyse de Fourier. Fourier décompose une fonction mathématique unique,

mais difficile à décrire mathématiquement, en une somme infinie de fonctions en sinus et en cosinus. Il

est alors plus facile de décrire au cours du temps l"évolution de chacune de ces fonctions, et de retrouver

la température au tempsten refaisant la somme. Cette hypothèse audacieuse est contestée par ses

contemporains (Laplace, Poisson et Lagrange). Malgré ces réserves, Fourier est primé par l"Institut pour

son mémoire en 1812. 1

2CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIER

Définition 1.1.Une fonctionf(t), oùt2R, est dite périodique, si elle vérifie :

8t; f(t+T) =f(t)(1.1)

La périodeTdef(t)est le plus petit réel non nul vérifiant (1.1). À l"évidence, tout multiple deTsatisfait également cette propriété :f(t+nT) =f(t), pourn2Z. Une fonction périodique de périodeTest diteT-périodique. Les fonctions périodiques les plus utilisées sont les fonctions trigonométriquescosinus,sinus, ettangentequi sont toutes trois2-périodiques : cos(t+ 4) = cos(t+ 2) = cos(t)(1.2) sin(t+ 4) = sin(t+ 2) = sin(t)(1.3) Dans un premier temps, on étudiera le développement en série de Fourier des fonctions

2-périodiques. Les résultats qui seront établis se généraliseront facilement aux fonctions

T-périodiques car, par un changement de variable, l"étude d"une fonctionT-périodique se ramène à l"étude d"une fonction2-périodique. En effet soitf(t)une fonctionT- périodique. Si on pose le changement de variable : u=2T t(1.4) et si on définit la fonction ~f(u)par : f(u) =fT2u =f(t)(1.5)

Alors la fonction

~f(u)est2-périodique, en effet on a : f(u+ 2) =fT2(u+ 2) =fTu2+T =f(t+T) =f(t) =~f(u)(1.6)

1.1.1.1 Produit hermitique et norme

La décomposition en série de Fourier d"une fonction peut être vue comme l"expression de la fonction dans une base particulière. On peut songer à l"analogie avec un point

de l"espace courant (à trois dimensions) repéré par ses trois coordonnées. Ce repérage est

possible de manière unique si on se donne une base ayant la propriété d"être orthonormale,

c"est à dire une base dont chaque vecteur est de norme unitaire et orthogonal à tous les autres. Dans le cas courant des vecteurs de l"espace à trois dimensions, on peut choisir la norme euclidienne, et l"orthogonalité est caractérisée par un produit scalaire nul. Dans un espace fonctionnel, on a besoin de se donner une norme. Cette norme sera définie par un produit hermitique, qui est l"extension au cas complexe du produit scalaire. Définition 1.2(forme hermitique).Soient deux fonctionsfetgà valeurs dansC, l"opé- rateur noté< f;g >2Cest une forme hermitique à droite si elle vérifie les propriétés suivantes : < f

1+f2;g >=< f1;g >+< f2;g >(1.7)

< f;g >= < f;g >(1.8) < f;g

1+g2>=< f;g1>+< f;g2>(1.9)

< f;g >= < f;g >(1.10)

1.1. SÉRIES DE FOURIER3

Définition 1.3(forme hermitique symétrique).Une forme hermitique est symétrique si elle vérifie la propriété suivante :< f;g >=< g;f >(1.11) Si<;>est une forme hermitique symétrique, alors< f;f >est réel (car il est égal

à son conjugué).

Définition 1.4(forme hermitique symétrique définie positive).Une forme hermitique

symétrique est définie positive si elle vérifie (en plus de (1.11)) la propriété suivante :

< f;f > >0;8f6= 02C(1.12) Une forme hermitique définie positive permet de construire une norme à partir du produit hermitique. Cette norme, notéejjfjj, est définie par : jjfjj=p< f;f >(1.13) Cette norme vérifie les propriétés essentielles d"une norme à savoir : jjfjj>0;8f6= 0(1.14) jjfjj=jjjjfjj;82C(1.15) jjf+gjj jjfjj+jjgjj(1.16)

Les deux premières propriétés sont évidentes à démontrer de par la définition d"une

forme définie positive, et par la linéarité d"une forme hermitique. Pour démontrer la troi-

sième il est commode de commencer par établir la propriété connue sous le nom d"inégalité

de Schwarz. Proposition 1.1(inégalité de Schwarz).Pourfetgdeux fonctions à valeurs dansC, et une normejj jjdéfinie par un produit hermitique<;>, on a : j< f;g >j jjfjj jjgjj(1.17) Démonstration.Il suffit de développer le produit< f+g;f+g >, où2C. Le produit hermitique étant défini positif, cette quantité est positive ou nulle. < f+g;f+g >=< f;f >+ < g;f >+ < f;g >+jj2< g;g >(1.18) Or le complexe< g;f >peut s"écrire :< g;f >=j< g;f >jei. Dans ce cas il vient < f;g >=j< g;f >jei. En posant :=pei. On a alors : < f+g;f+g >=< f;f >+2pj< g;f >j+p2< g;g >0(1.19) Il s"agit d"un polynôme du second degré enp. On sait que la quantité est positive, donc le polynôme admet au plus une racine. Autrement dit, le discriminant est négatif ou nul : (2j< g;f >j)24jjfjj2jjgjj20(1.20) L"inégalité de Schwarz est donc démontrée.

4CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIER

Une fois ce résultat établi, on montre les équivalences : (1:16),< f+g;f+g >< f;f >+< g;g >+2jjfjjjjgjj(1.21) , << f;g > jjfjjjjgjj(1.22)

D"une part, le fait que pour tout complexe la partie réelle est inférieure ou égale au module,

et d"autre part l"inégalité de Schwarz permettent d"écrire : << f;g > j< f;g >j jjfjjjjgjj(1.23)

La dernière inégalité implique que (1.22) est vérifiée. Par équivalence, l"inégalité triangu-

laire est donc prouvée. On peut vérifier que, pouraetbréels, (1.24) définit bien un produit hermitique, et que (1.25) définit une norme : < f;g >=Z b a f(t)g(t)dt(1.24) < f;f >=jjfjj2=Z b a f(t)f(t)dt(1.25) Les inégalités triangulaire et de Schwarz s"écrivent alors respectivement : sZ b a jf(t) +g(t)j2dtsZ b a jf(t)j2dt+sZ b a jg(t)j2dt(1.26) Z b a f(t)g(t)dtsZ b a jf(t)j2dtsZ b a jg(t)j2dt(1.27)

1.1.1.2 Base fonctionnelle

Dans ce paragraphe, on montre qu"une famille de fonctions est orthonormée et peut donc servir à construire une base dans laquelle il sera possible de représenter d"autres fonctions. Définissons la famille de fonctions2-périodiques,un(t), avect2Retn2Zpar : u n(t) =eintp2(1.28) Montrons que cette famille est orthonormée pour la norme définie par : < f(t);g(t)>=Z 2 0 f(t)g(t)dt(1.29) jjf(t)jj=sZ 2 0 f(t)f(t)dt(1.30) Pour cela il convient de distinguer deux cas, suivant quemetnsont égaux ou distincts.

1.1. SÉRIES DE FOURIER5

Sim=n, alors on a :

< u n;un>=Z 2 0 u n(t)u n(t)dt(1.31) 12Z 2 0 ei(nn)tdt(1.32) = 1(1.33) On a montré que chaque fonctionunest normée.

Pourm6=n, on a :

< u n;um>=Z 2 0 u n(t)u m(t)dt(1.34) 12Z 2 0 ei(nm)tdt(1.35) 12 ei(nm)ti(nm) 2 0 (1.36) = 0(1.37) On a montré que les fonctionsunsont orthogonales deux à deux. On a donc bien établi que les fonctionsun(t) =eintp2forment une base orthonormée pour le produit (1.29) et la norme (1.30). Par la suite on utilisera cette base pour exhiber un développement particulier des fonctions périodiques.

1.1.2 Développement en série d"exponentielles

La famille de fonctionsun(t)étant orthonormée, on peut écrire une fonction2- périodiquef(t)sous la forme d"une combinaison linéaire des différentes fonctions de baseun(t). Autrement dit, le développement en série d"exponentielles d"une fonction2- périodiquef(t)peut s"écrire sous la forme : f(t) =+1X n=1c nun(t)(1.38) où les coefficientscndonnent la projection def(t)sur lanemecomposante de la base. Donc, pour calculer les coefficientscn, appeléscoefficients de Fourier généralisésde f(t), on étudie< f(t);un(t)>: < f(t);un(t)>=<+1X k=1c kuk(t);un(t)>(1.39) +1X k=1c k< uk(t);un(t)>(1.40) =cn(1.41) On a donc le développement de Fourier généralisé def(t)défini par :~ f(t) =+1X n=1c neintp2;aveccn=1p2Z 2 0 f(t)eintdt(1.42)

6CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIER

Remarque1.1.Le coefficient de Fourier généraliséc0donne la moyenne de la fonctionf(t) sur l"intervalle[0 2]à une constante multiplicative près, en effet on a :

Moy(f) =12Z

2 0 f(t)dt=1p2 1p2Z 2 0 f(t)ei0tdt =1p2c0(1.43) Exemple1.1.Montrer que la fonction2-périodiquef(t)définie par : f(t) =(

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