Mathématiques pour lingénieur
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Mathématiques pour lingénieur
Maths pour l’ing enieur : organisation et evaluation Organisation 7 s eances d’1h30 de cours 8 s eances d’1h30 de TD Evaluation : 1 examen interm ediaire de 30 min sans documents en S9 1/4 note nale Tutorat en S13 1 examen nal de 1h30 avec documents en S15 3/4 note nale Thomas Cluzeau Math ematiques pour l’ing enieur
Mathématiques pour l’ingénieur
Mathématiques pour l’ingénieur Avertissement Ce document est inspiré de divers cours enseignés par l’auteur àl’Uni-versité de Caenet de divers manuels classiques de Mathématiques tels que [Rud95], [Car85], [Sch67], [Que64], [Dix76] Il était anciennement intitulé Mathématiques pour la Licence de Mécanique
MT12 Mathématiques pour lingénieur
mathématiques utiles à l'ingénieur par la mise en oeuvre de certaines techniques mais aussi par la tenue de raisonnements quelquefois di ciles Les mathématiques pour l'ingénieur présentées dans ce cours s'appuient sur l' intégrale , ou plutôt les intégrales, comme on le verra au chapitre 1
Mathématiques pour l’Ingénieur
Mathématiques pour l’Ingénieur Thomas Cluzeau École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Limoges 16 rue d’atlantis, Parc ester technopole
Outils Mathématiques pour l’Ingénieur
à l’École Normale Supérieure, et a pour professeur Lagrange, Laplace et Monge En 1797, il remplace Lagrangeàlachaired’analyseetdemécaniquedel’EcolePolytechnique En1798,ilrejointlesexpéditions napoléoniennes en Égypte En 1801, il revient en France et est nommé préfet de l’Isère Il étudie le
Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur
Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur Suite de la boite à outils en 5 séances de cours + 5 séances de TD 1
AIDE-MÉMOIRE Mathématiques de l’ingénieur
ide-mémoire de Mathématiques de l’ingénieur 3 4 Propriétés métriques des courbes planes 117 3 5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ)119 3 6 Problèmes relatifs au cercle 121 3 7 Coniques 124 3 8 Géométrie dans l’espace 138 Partie B : Analyse et probabilités 163 4 Éléments d’analyse 165 4 1 Dérivées et différentielles 165
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Maurice Chossat
Yannick Privat
Mathématiques
de l"ingénieurAIDEMÉMOIRE
4 eédition
chossat_prelim.indd 308/03/2017 21:56:14© Dunod, 2001, 2010, 2012, 2017
11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.com978-2-10-076223-1
Illustration de couverture :
© belchonoksun - 123rf.com
chossat_prelim.indd 408/03/2017 21:56:15 III © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délitTable des matières
Partie A : Algèbre et géométrie1
1. Arithmétique, algèbre et trigonométrie3
1.1 Symboles usuels de lalgèbre3
1.2 Structures algébriques4
1.3 Calculs dans lensemble des nombres réels6
1.4 Numération binaire10
1.5 Algèbre de la logique ou algèbre de Boole13
1.6 Analyse combinatoire15
1.7 Équations algébriques18
1.8 Déterminants, systèmes linéaires et matrices24
1.9 Fonctions usuelles simples40
1.10 Croissance et limites46
1.11 Nombres complexes ou imaginaires49
1.12 Trigonométrie50
1.13 Séries61
2. Calcul vectoriel et calcul tensoriel77
2.1 Calcul vectoriel77
2.2 Vecteurs glissants. Moments81
2.3 Analyse vectorielle84
2.4 Calcul tensoriel90
3. Géométrie97
3.1 Birapport, critère de cocyclicité97
3.2 Géométrie et formules du triangle98
3.3 Géométrie analytique106
ChossatTDM.fm Page III Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 IV ide-mémoire de Mathématiques de lingénieur3.4 Propriétés métriques des courbes planes117
3.5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ)119
3.6 Problèmes relatifs au cercle121
3.7 Coniques124
3.8 Géométrie dans lespace138
Partie B : Analyse et probabilités163
4. Éléments danalyse165
4.1 Dérivées et différentielles165
4.2 Intégrales174
4.3 Équations différentielles213
4.4 Équations intégrales 225
4.5 Calcul des variations228
5. Analyse numérique231
5.1 Dérivation numérique, différences finies 231
5.2 Calcul approché des intégrales définies234
5.3 Polynômes dinterpolation de Lagrange238
5.4 Résolution numérique d'équations non linéaires 239
5.5 Méthodes numériques de résolution des équations
différentielles2465.6 Optimisation dans R
n 2495.7 Calcul numérique de valeurs propres et de vecteurs
propres 2626. Fonctions diverses267
6.1 Intégrales de Fresnel267
6.2 Sinus intégral et cosinus intégral268
6.3 Fonction Θ ou fonction derreur et fonction π269
ChossatTDM.fm Page IV Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 V © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délitTable des matières
6.4 Fonctions eulériennes 270
6.5 Fonction hypergéométrique 274
6.6 Fonctions de Bessel 275
6.7 Série et polynômes de Legendre 283
6.8 Fonction de Weber-Hermite 285
6.9 Polynômes de Tchebycheff 288
6.10 Polynômes de Laguerre 291
7. Algèbre des transformations293
7.1 Transformation de Laplace293
7.2 Transformation de Fourier313
7.3 Transformation de Mellin315
8. Probabilités et statistiques319
8.1 Probabilités319
8.2 Éléments de statistiques341
8.3 Simulation de variables
aléatoires réelles et méthode de Monte-Carlo 353Index356
ChossatTDM.fm Page V Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 99© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit A
AlgèbreAlgèbre
et géométrie 1 3 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit1.1Symboles usuels de l'algèbre
Symboles Symboles dits quantificateurs
?signifie " quel que soit » ; par exemple ?a ? E, quel que soit a appartenant à E. ?signifie " il existe » ; par exemple ?a ? E, il existe a appartenant à E, tel que ... . a ? Ea est un élément de l"ensemble E. a ? Ea n"appartient pas à E. Symbole de linclusion signifiant que F est un sous- ensemble de E, c"est-à-dire contenu dans E et pouvantêtre E lui-même.
∅Ensemble vide. E ∩ FIntersection de E et de F; ensemble des éléments communs à E et à F. E ? FRéunion de E de F; ensemble des éléments apparte- nant soit à E, soit à F, soit à leur intersection. C AComplémentaire de A sous-ensemble de E; on a
A ∩ C
A a b = cRelation exprimant que c est le résultat de l"opération interne effectuée sur a et b éléments de E. On trouve aussi : a ? b ;a b;a + b;a . b. a e = e a = a e est l"élément neutre de l"opération . a a′ = e a et a′ sont des éléments symétriques dans l"opération EF? FE?Arithmétique,
algèbre et trigonométrie LivreSansTitre1.book Page 3 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 4Algèbre et géométrie
aRb a et b satisfont à une relation binaire désignée par R. f (x)x élément de E s"applique sur y, élément de F. y ? f (x)L"application est bijective. f o gapplication composée signifiant y f [g(x)] ; ne pas confondre avec g o f signifiant y g[f (x)]. a modulo nsignifie a + Kn, quel que soit K entier relatif. |a| valeur absolue ou module de a.1.2Structures algébriques
A) Groupe
Groupe abélien : ?a, b ? G : a b = b a (commutativité). y→Groupe
Ensemble G non vide possédant une loi de composition interne satis- faisant aux axiomes suivants :1°?a, b, c ? G : (a b) c = a (b c) (associativité),
2°?e ? G, ?a : a e = e a = a(e, élément neutre),
3°?a ? G, ?a′ : a′ a = a a′ = e(a′ , symétrique).
Propriétés
?a, b, c ? G, a c = b c a = b, c a = c b a = b (toutélément est régulier) ;
?a, b ? G, ?x ? G tel que a x = b : x = a′ b etx a =b : x = b a′. Sous-groupe : G′ G est un sous-groupe de G si ?a, b ? G′ : a b′ ? G′ (b′ symétrique de b dans G). LivreSansTitre1.book Page 4 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 5 1Arithmétique, algèbre et trigonométrie
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délitB) Anneau
Anneau unitaire : ?e ? A, ?a : ea = ae = e
(e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau intègre : ?a ≠ 0, ?b ≠ 0 ab ≠ 0 (pas de diviseurs de zéro).C) Corps
Anneau
Ensemble A muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I.A est un groupe abélien pour la première loi (addition) :1° ?a, b, c ? A : (a + b) + c = a + (b + c);
2°?0 ? A, ?a : a + 0 = 0 + a = a;
3°?a ? A, ?(- a) : a + (- a) = (- a) + a = 0 ;
4° ?a, b ? A : a + b = b + a.
II.?a, b, c ? A : (ab) c = a(bc) (associativité de la multiplication). III.?a, b, c ? A : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc (distributivité).Propriétés
?a, b : (- a) b = a(- b) = (- ab), ?a : a.0 = 0.a = 0. Corps Ensemble K muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I. K est un groupe abélien pour la première loi (addition).1° ?a, b, c ? K: (a + b) + c = a +(b + c),
2° ?0 ? K, ?a : a + 0 = 0 + a = a,
3° ?a ? K, ?(- a) : a +(- a) = (-a) + a = 0,
4° ?a, b ? K : a + b = b + a.
II.K (privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication).1° ?a, b, c ? K : (ab) c = a(bc),
2° ?e ? K, ?a : ea = ae = a,
3° ?a ≠ 0, ?a
-1 : aa -1 = a -1 a = e, III. ?a, b, c ? K : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative. LivreSansTitre1.book Page 5 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 6Algèbre et géométrie
1.3Calculs dans l'ensemble
des nombres réels1.3.1Exposants et radicaux
Exposants : p, q entiers positifs, négatifs ou nuls, a et b réels différents de 0 a° = 1,a ...p = ,a p a q = a p + q (a p q = a pq ,(ab) p = a p b p Radicaux : n, q entier positifs, p entier relatif, a et b réels = b ? a = b q = = = a m m, m′ rationnels, a et b réels positifs a m a m′ = a m + m′ ,(a m m′ = a mm′ ,a ...m (ab) m = a m b m1.3.2Identités usuelles
X X X 1 a p a b p a p b p a q a nq a qn a npnq a pq a p q 1 a m a b m a m b m a b±() 2 a 22ab±b
2 a 2 b 2 -ab+()ab-()= ab ab + 2 2 ab - 2 2 a b±() 3 a 3 3a 2 b±3ab 2 b 3 LivreSansTitre1.book Page 6 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 7 1Arithmétique, algèbre et trigonométrie
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit où la sommation est étendue à tout ensemble d"entiers k 1 , ..., k n positifs ou nuls tels que k 1 + ... + k n = p.Formule des anneaux :
x n ... a n = (x - a) (x n - 1 + ax n - 2 + ··· + a p x n - p - 1 + ··· + a n - 1Identité de Lagrange :
(a 2 + b 2 + c 2 ) (a′ 2 + b′ 2 + c′ 2 ) - (aa′ + bb′ + cc′) 2 = (bc′ - cb′) 2 + (ca′ - ac′) 2 + (ab′ - ba′) 2 Théorème de Bezout. - Si 2 polynômes A et B sont premiers entre eux, ilexiste un polynôme u de degré < à celui de B et un polynôme v de degré 1.3.3Sommations usuelles Somme des premiers termes d"une suite arithmétique : a = premier terme, r = raison, n = nombre de termes. Somme des n premiers termes S = a + (a + r) +...+ (a + (n - 1)r) Somme des premiers termes d"une suite géométrique : q = raison, a = premier termeSomme des n premiers termes S = a + aq +...+ aq
n...1 1 12 2212 11 33 2
12 11 1 12 1 1 ()2 () 3 6 n n ni ij in ijn ni ij ijk in ijn ijkn kpk nn n p