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Intégration François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France «Je propose, sans être ému, de déclamer à grande voix la strophe sérieuse et froide

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Intégration

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

"Je propose, sans être ému, de déclamer à grande voix la strophe sérieuse et froide que vous allez entendre.» IsidoreDUCASSE, Comte de

LAUTRÉAMONT.

La science en formation présente un caractère changeant et humain, qu"elle perd avec le recul de l"époque, en se décharnant du superflu, en se rétractant à l"essentiel, pour devenir impersonnelle et squelettique. Arnaud

DENJOY.

2 3

Table des matières

I. Intégrale de Riemann............................................ 7

1. Concept de fonction............................................. 7

2. Définition de l"intégrale de Riemann............................. 11

3. Continuité uniforme des fonctions continues sur un compact...... 18

4. Classes élémentaires de fonctions Riemann-intégrables ........... 22

5. Propriétés élémentaires de l"intégrale de Riemann................ 30

6. Intégrale de Riemann et primitives .............................. 41

7. Changement de variable dans les intégrales ...................... 44

8. Approximation des fonctions Riemann-intégrables ............... 47

9. Sommes de Riemann............................................ 53

10. Première formule et deuxième formule de la moyenne ............ 59

11. Interversion entre limite et intégrale ............................. 63

12. Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables ............... 68

13. Intégrales généralisées de Riemann : bref aperçu................. 78

14. Fonctions non Riemann-intégrables.............................. 81

15. Exercices ....................................................... 82

II. Théorème de Borel-Lebesgue.................................... 92

1. Ensembles compacts et ensembles précompacts .................. 92

2. Paradoxes historico-épistémologiques............................ 96

3. Exercices ....................................................... 96

III. Intégrale de Kurzweil-Henstock : rudiments .................... 97

1. Problème fondamental de l"intégration........................... 97

2. Partitions finies pointées, et jauges............................... 100

3. Intégrale de Kurzweil-Henstock des fonctions dérivées............ 101

4. Exercices ....................................................... 104

IV. Mesure de Jordan dansRd...................................... 107

1. Prologue Physique ironique ..................................... 107

2. Redressement des Mathématiques ............................... 108

3. Préliminaires ................................................... 109

4. Sous-ensembles deRd: topologie ................................ 109

5. Rectangles et cubes dansRd..................................... 112

6. Mesurabilité des ensembles élémentaires......................... 116

7. Propriétés élémentaires de la mesure de Jordan .................. 119

8. Vers la mesure de Borel et de Lebesgue .......................... 122

9. Exercices ....................................................... 123

V. Insuffisances de l"intégrale de Riemann .......................... 126

1. Changement conceptuel révolutionnaire dans l"Analyse........... 126

2. Séries de Fourier : complétion................................... 127

4

3. Limites de fonctions continues................................... 128

4. Trancher selon l"axe des ordonnées .............................. 129

5. Le problème de la mesure ....................................... 131

6. Une chronologie succincte....................................... 132

7. Exercices ....................................................... 133

VI. Ensemble de Cantor ........................................... 134

1. Construction triadique.......................................... 134

2. Insuffisance de la théorie de l"intégrale de Riemann : un exemple . 142

3. Exercices ....................................................... 146

VII. Théorie de la mesure de Borel et Lebesgue ..................... 148

1. Mesure des grandeurs : Paradoxes de l"atomisme ensembliste..... 148

2. Brève description du contenu de ce chapitre...................... 154

3. Exhaustion des ouverts deRd.................................... 154

4. Concept de mesure extérieure ................................... 157

5. Propriétés de la mesure extérieure............................... 162

6. Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue.................... 167

7. Propriétés d"invariance de la mesure de Lebesgue ................ 181

8.-algèbres et ensembles boréliens................................ 182

9. Construction d"un ensemblenonmesurable...................... 184

10. Fonctions étagées et fonctions mesurables ........................ 186

11. Approximation des fonctions mesurables par des fonctions étagées 193

12. Trois principes de Littlewood.................................... 201

13. Exercices ....................................................... 205

VIII. Théorie de l"intégration de Lebesgue.......................... 212

1. Intégrale de Lebesgue : propriétés et théorèmes de convergence... 212

2. Étape 1 : Fonctions étagées...................................... 213

3. Étape 2 : Fonctions mesurables bornées à support fini ............ 219

4. Retour aux fonctions Riemann-intégrables ....................... 224

5. Étape 3 : Fonctions mesurables positives quelconques ............ 226

6. Étape 4 : Fonctions Lebesgue-intégrables générales............... 237

7. Fonctions à valeurs complexes................................... 244

8. Intégrale de Riemann généralisée versus intégrale de Lebesgue ... 245

9. EspaceL1des fonctions intégrables : complétude; séparabilité.... 246

10. Propriétés d"invariance ......................................... 255

11. Exercices ....................................................... 257

IX. Théorème de Fubini-Tonelli .................................... 263

1. Théorème de Fubini ............................................ 263

2. Théorème de Tonelli ............................................ 270

3. Mesurabilité des ensembles-produits............................. 273

4. Exercices ....................................................... 278

X. Changement de variables dans les intégrales ..................... 281

1. Motivation et énoncé du théorème ............................... 281

2. Transferts de mesurabilité....................................... 283

5

3. Démonstration du théorème..................................... 291

4. Appendice : accroissements locaux finis .......................... 304

5. Coordonnées polaires, sphériques, hypersphériques .............. 301

6. Exercices ....................................................... 305

XI. Intégrales dépendant de paramètres ............................ 308

1. Continuité d"intégrales dépendant de paramètres ................ 309

2. Dérivabilité d"intégrales dépendant de paramètres ............... 310

3. Exercices ....................................................... 314

1. EspacesLppour06p61..................................... 316

3. Complétude deLp(Rd).......................................... 322

4. EspacesLp(E).................................................. 322

5. Séparabilité deLp(E)........................................... 325

6. Exercices ....................................................... 327

XIII. Mesures abstraites ........................................... 329

1. Algèbres et-algèbres........................................... 329

2. Mesures abstraites et leurs propriétés élémentaires ............... 332

3. Théorème des classes monotone et théorème de Dynkin........... 337

4. Complétions de-algèbres ...................................... 341

5. Mesures extérieures et mesurabilité au sens de Carathéodory ..... 344

6. Exercices ....................................................... 359

XIV. Théorie abstraite de l"intégration.............................. 361

1. Fonctions mesurables ........................................... 361

2. Intégration abstraite des fonctions positives ...................... 362

3. Théorèmes de convergence ...................................... 364

4. Mesure produit ................................................. 367

5. Décompositions de Hahn et de Jordan des mesures signées........ 373

6. Intégrale par rapport à une mesure signée ....................... 379

7. Continuité absolue et singularités mutuelles des mesures.......... 380

8. Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym......................... 382

9. Exercices ....................................................... 385

XV. Examens corrigés.............................................. 389

1. Examen 1....................................................... 389

2. Corrigé de l"examen 1........................................... 392

3. Examen 2....................................................... 404

4. Corrigé de l"examen 2........................................... 407

5. Examen 3....................................................... 419

6. Corrigé de l"examen 3........................................... 421

7. Examen 4....................................................... 430

8. Corrigé de l"examen 4........................................... 433

9. Examen 5....................................................... 438

10. Corrigé de l"examen 5........................................... 441

11. Examen 6....................................................... 457

6

12. Corrigé de l"examen 6........................................... 460

13. Examen 7....................................................... 468

14. Corrigé de l"examen 7........................................... 472

15. Examen 8....................................................... 483

16. Corrigé de l"examen 8........................................... 486

1.Concept de fonction 7Intégrale de Riemann

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Concept de fonction

Toute la Science mathématique repose sur l"idée defonction, c"est-à- dire de dépendance entre deux ou plusieurs grandeurs, dont l"étude consti- tue le principal objet de l"Analyse. Il a fallu longtemps avant qu"on se rendît compte de l"étendue extraordinaire de cette notion; c"est là, d"ailleurs, une circonstance qui a été très heureuse pour les progrès de la Science. [...] Dans les époques vraiment créatrices, une vérité incomplète ou approchée peut être plus féconde que la même vérité accompagnée des restrictions nécessaires. ÉmilePICARD Dans les mathématiques contemporaines, unefonctionréelle : f:R!R; est uneapplication, c"est-à-dire qu"à tout nombre réelx2Rest associé un unique nombre réelf(x)2R, ce qui paraît très simple. Mais contrairement à notre intuition habituelle, il se pourrait qu"un tel concept n"ait en fait rien d"évident, puisqu"a priori, aucune règle, aucune formule, aucune expression ne donne concrètementx7!f(x).' E e e 0

éléments

e00applicationF '(e) '(e0) '(e00)ensemble

.....ensembleEn tout cas, depuis l"avènement de la théorie des ensembles dans les années 1890-1930,

on admet le concept d"application : ':E!F e7!'(e); dans une abstraction absolue, pure, non mystérieuse, aussi transparente et limpide que sur une figure 'simplette".

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceMais nous insisterons ici sur le fait que l"intuition minimale qui accompagne notre sen-

timent d"évidence lorsque nous écrivons : x7!f(x) cache de nombreuses questions mathématiques profondes qui sont encore loin d"être ré- solues à notre époque. Même la plus classique et la plus connue des intégrales, celle de

Riemann à laquelle est consacrée ce chapitre, répond intelligemment à la question mathé-

matique :

Comment définir l"intégrale

Rf(x)dxd"une fonction?

C"est le mathématicien allemand Bernhard Riemann qui, vers 1854 et dans la lignée de Peter Lejeune-Dirichlet son maître, fut l"un des premiers à avoir conceptualisé la notion de fonction dans la généralité maximalex7!f(x), bien avant la théorie des ensembles, et Riemann voyait surtout qu"un tel concept très général de fonction ouvrait des questions mathématiques nouvelles et très difficiles.

En fait, quelques décennies après Cauchy qui avait élaboré sa théorie des fonctions au

début des années 1800, l"histoire de la théorie de l"intégration est essentiellement deve-

nue une histoire destentativesde donner à la notion d"intégralel"extension la plus grande possible, afin d"embrasser le plus de fonctionsdiscontinuespossible, et ce, jusque dans les années 1950. En effet, au bout d"un certain temps, les mathématiciens ont considéré qu"intégrer des fonctions continues, c"était 'trop facile", et donc, qu"il fallait passer à des fonctions plus compliquées, qu"il fallait être plus ambitieux, ne serait-ce que pour des applications à la physique. Mais tout d"abord, qu"est-ce qu"une fonctioncontinue?

Encore d"un point de vue moderne et très élaboré, la définition classique due à Weiers-

trass stipule quefest continue en un pointx02Rlorsque :

8" >09=(")>0

8xjxx0j6=)f(x)f(x0)6"

:y x x

00f(x0)y

x x

00f(x0)y

x x

00f(x0)2"2"2Géométriquement, quelle que soit la finesse2" >0d"une bande horizontale centrée

autour de la droite horizontalefy=f(x0)g, il existe une bande verticale de largeur2 assez petite centrée autour de la droite verticalefx=x0gtelle que toute la partie du graphe correspondantereste entièrement enfermée dans la bande horizontale choisie à l"avance. Mais historiquement, ce n"est pas du tout ainsi que les notions de fonction et de conti- nuité sont apparues. Fonctions définies par des expressions explicites arbitrairement complexesEn 1718, Bernouilli écrit dans lesMémoires de l"Académie des Sciences:

1.Concept de fonction 9Définition :On appelle icifonctiond"une grandeur variable, une quantité

composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes. Euler prend la suite en 1734, et dans une note de l"Académie de Saint Pétersbourg, il introduit la notation : fxa +c; pour désigner une fonction arbitraire de xa +c. En 1748, dans sonIntroduction in analysis infinitorum, Euler reprend la définition de

Bernoulli en ajoutant le motanalytique, à savoirdéveloppable en série entière convergente:

En conséquence, toute expression analytique dans laquelle, à côté de la variablez, toutes les quantités qui composent cette expression sont des constantes, est une fonction de cette mêmez; ainsia+ 3z,a4zz,etc.

Qui plus est, Euler a essayé d"éclaircir l"idée de quantité constante et de quantité va-

riable.

1.Une quantité constante est une quantité déterminée, qui conserve tou-

jours la même valeur.

2.Une quantité variable est une quantité indéterminée, ou, si l"on veut, une

quantité universelle, qui comprend toutes les valeurs déterminées.

3.Une quantité variable devient déterminée, lorsqu"on lui attribue une valeur

déterminée quelconque.

4.Une fonction de quantité variable est une expression analytique compo-

sée, de quelque manière que ce soit, de cette même quantité et de nombres, ou de quantités constantes.

5.Une fonction d"une variable est donc aussi une quantité variable.

Voici quelques exemples plus élaborés de fonctions au sens d"Euler - inutile de cher- cher à comprendre lorsqu"on ne connaît pas, il s"agit juste d"une visite sans guide d"un jardin zoologique mystérieux - : e az+eaze azeaz; (z) :=e zz +1Y n=1 1 +zn 1 e zn sin(z); X

16n61(1)nq3n2n2

z z12 ezp2

1 +112z+1288z213951840z3

Z =2 0 sinkxdx; t1 +t21 X k=02(2k)3(2k+ 1) t21 +t2 k En résumé, nous pouvons dire qu"une fonction au sens d"Euler est une fonction de la

variable réelle, non constante, définie par une expression analytique, avec une totale liberté

10 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Francedans la complexité formelle, une fonction, donc, qui est donnée par des formules essentiel-

lement explicites, en utilisant l"addition, la multiplication, la composition d"une manière arbitrairement complexe, et en incorporant aussi diverses constantes sympathiques. Fonctions discontinues.En réponse à d"Alembert qui voulait maintenir que les fonctions

devaient être données par une unique expression algébrique ou développables en série en-

tière convergente, Euler a été conduit à admettre que les courbes puissent être 'irrégulières",

ou 'discontinues", au sens où elles soient formées d"un nombre fini de courbes différentes, mais toujours données par des formules.0

1 + 2(x2)2

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