N°1 : 6 points N°3 : 6 points J =3 11 67 x 21 2 J x J sous
Contrôle de mathématiques de 1ère S – Trinômes du second degré et polynômes – 55 min N°1 : 6 points 1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous 25x2 10x 2=0 9x2 4=12x 6x2 22x=8 2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous 25x 2 10x 2 0 9x 4 12x 6x2 22x 8
1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1
On donne le trinôme du second degré P défini sur par : P(x) = 4 x2 − ( 6 + 4 3 )x + 3 2 1 Montrer que P admet 6 4 pour racine 2 Trouver l'autre racine (en valeur exacte) Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur par P(x) = (x2 +1) 2 – (4x + 2) 2 1 Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le
°1 : Second degré 1ère S
D S de mathématiques n°1: Second degré 1ère S Vendredi 14 octobre 2011, 1h, Calculatrices autorisées Ce sujet est à rendre avec la copie Note Exercice 1 , / 8 Exercice 2 , / 6 Exercice 3 , / 6 Note , / 20 Exercice 1 Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes C1 et C2 qui représentent des fonctions de la forme f (x)=ax2+bx+c
Devoir de mathématiques
On considère l’équation du second degré suivante : mx2 − p = 0 Voici un algorithme permettant de résoudre cette équation en fonction des paramètre m et p
1ère S Équations et inéquations irrationnelles
Soit S 2 l’ensemble des solutions de (2) 2 5; 4 3 S II Inéquations du type A x B x Règle : a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 2 b 0 a b ou 0 0 b a Exercice d’application : Résoudre dans l’inéquation 2 4 x x (1)
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Contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes - 55 min
N°1 : 6 points
1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous.
2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous.
3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée.
N°2 : 3 points
Considérons le trinôme du second degré de la forme ax2bxc (a≠0).3) Rappeler la formule donnant sa forme canonique.
4) Indiquer les différentes étapes de calcul permettant de passer de la forme initiale (ax2bxc) à la forme
canonique.5) Écrire 3x25x-1 sous forme canonique.N°3 : 6 points
Soit le polynôme Jx=3x311x2-67x21.1) Démontrer que 3 est une racine de Jx.
2) En déduire une factorisation de
Jx sous la forme x-3Kx où Kx est à déterminer.
3) Factoriser
Kx puis en déduire que Jx=3x-1x-3x7.
4) Résoudre l'équation
Jx=0.
5) Faire le tableau de signes de
3x-1x-3x7 puis résoudre l'inéquation Jx0.
N°4 : 5 points
Pour cet exercice, il est possible de réutiliser les résultats trouvés à l'exercice 1.1) Résoudre l'équation 6x422x2=8.
2) Résoudre l'équation 9x4=12
x.3) Résoudre l'équation
4x3x22x5=7
3x1.
Contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes - 55 min
N°1 : 6 points
1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous.
2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous.
3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée.
N°2 : 3 points
Considérons le trinôme du second degré de la forme ax2bxc (a≠0).3) Rappeler la formule donnant sa forme canonique.
4) Indiquer les différentes étapes de calcul permettant de passer de la forme initiale (ax2bxc) à la forme
canonique.5) Écrire 3x25x-1 sous forme canonique.N°3 : 6 points
Soit le polynôme Jx=3x311x2-67x21.1) Démontrer que 3 est une racine de
Jx.
2) En déduire une factorisation de
Jx sous la forme x-3Kx où Kx est à déterminer.
3) Factoriser
Kx puis en déduire que Jx=3x-1x-3x7.
4) Résoudre l'équation
Jx=0.
5) Faire le tableau de signes de
3x-1x-3x7 puis résoudre l'inéquation Jx0.
N°4 : 5 points
Pour cet exercice, il est possible de réutiliser les résultats trouvés à l'exercice 1.1) Résoudre l'équation 6x422x2=8.
2) Résoudre l'équation 9x4=12
x.3) Résoudre l'équation
4x3x22x5=7
3x1.
Corrigé du contrôle de mathématiques de 1ère S - Trinômes du second degré et polynômes
N°1 :
1)25x210x2=0 : =102-4×25×2=-1000 donc l'équation n'a pas de solution. S=∅.
9x24=12x ⇔ 9x2-12x4=0 : =-122-4×9×4=0 donc l'équation a une seule solution.
x0=-b2a=--12
2×9=12
18=23. S={2
3}.6x222x=8 ⇔ 6x222x-8=0 : =222-4×6×-8=6760 donc l'équation a deux solutions.
x1=-22- 6762×6=-22-26
12=-48
12=-4 et x2=-b
2a=-22676
2×6=-2226
12=4 12=13. S={-4;1
3}.2) On réutilise les résultats de la question 1).
25x210x20 :
0 donc 25x210x2 est positif (du signe de a=25) pour tout x de ℝ.Comme de plus il n'y a pas de racine,
S=∅.
9x2412x ⇔ 9x2-12x40 : =0 donc
9x2-12x4 est positif (du signe de a=9) pour tout x
de ℝ. Comme de plus 23 est une racine, S=ℝ-{2
3}.6x222x8 ⇔ 6x222x-80 :
0 donc 6x222x-8 est négatif (du signe opposé de a=6) entre les racines :S=]-4;1
3[.3) On réutilise les résultats de la question 1).
25x210x2 : 0 donc 25x210x2 n'est pas factorisable.
9x24-12x=9x2-12x4=3x-22 (égalité remarquable).
Pour ceux qui ne reconnaissaient pas l'égalité remarquable, il fallait faire : =0 donc 9x2-12x4=9x-232
(notons que 9x-232
=32x-2/32=[3x-23]2
=3x-22.6x222x-8 : 0 donc
3 (=2×3x4x-1
N°2 :
1) et 2) voir l'exercice L fait en classe.
3) 3x25x-1 : =52-4×3×-1=37 donc 3
[x52×32
-374×32]=3[x5
62
-37 36].N°3 :
1)J3=3×3311×32-67×321=3×2711×9-20121=8199-20121=201-201=0 :
3 est donc une racine de
Jx. Jx peut donc s'écrire sous la forme x-3Kx. 2)Kx est un polynôme de degré 3-1=2. Kx peut donc s'écrire sous la forme ax2bxc où a, b et
c sont trois réels à déterminer. On a d'une part : Jx=3x311x2-67x21 .
Mais on a aussi Jx=x-3Kx=x-3ax2bxc=ax3b-3ax2c-3bx-3c.
En identifiant les coefficients des termes de même degré, on obtient : {a=3 b-3a=11 c-3b=-67 -3c=21. La première équation donne a=3 et la quatrième donne c=21-3=-7.En remplaçant a par 3 dans la deuxième équation, on obtient : b-3×3=11 ⇔ b-9=11 ⇔ b=20.
Ainsi, Kx=3x220x-7 et donc Px=x-33x220x-7.
3) Factorisons Kx=3x220x-7. =202-4×3×-7=40084=4840 donc
Kx a deux racines :
x1=-20- 4842×3=-20-22
6=-426=-7 et x2=-20484
2×3=-2022
6=2 6=1 3.La forme factorisée est donc
Ainsi, Jx=x-3Kx=x-3x73x-1=3x-1x-3x7.
4)Jx=0 ⇔ x-33x-1x7=0 : un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul,
l'ensemble des solutions de l'équation est donc : S= {-7;1 3;3}.5) Le tableau de signes est donné ci-dessous.
x-∞-7133+∞
x-3---0+3x-1--0++
x7-0+++Jx0 ⇔ x-33x-1x70 : d'après le tableau de signes ci-dessus, on a : S=]-7;1