[PDF] 1ère S Équations et inéquations irrationnelles



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N°1 : 6 points N°3 : 6 points J =3 11 67 x 21 2 J x J sous

Contrôle de mathématiques de 1ère S – Trinômes du second degré et polynômes – 55 min N°1 : 6 points 1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous 25x2 10x 2=0 9x2 4=12x 6x2 22x=8 2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous 25x 2 10x 2 0 9x 4 12x 6x2 22x 8



1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1

On donne le trinôme du second degré P défini sur par : P(x) = 4 x2 − ( 6 + 4 3 )x + 3 2 1 Montrer que P admet 6 4 pour racine 2 Trouver l'autre racine (en valeur exacte) Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur par P(x) = (x2 +1) 2 – (4x + 2) 2 1 Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le



°1 : Second degré 1ère S

D S de mathématiques n°1: Second degré 1ère S Vendredi 14 octobre 2011, 1h, Calculatrices autorisées Ce sujet est à rendre avec la copie Note Exercice 1 , / 8 Exercice 2 , / 6 Exercice 3 , / 6 Note , / 20 Exercice 1 Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes C1 et C2 qui représentent des fonctions de la forme f (x)=ax2+bx+c



Devoir de mathématiques

On considère l’équation du second degré suivante : mx2 − p = 0 Voici un algorithme permettant de résoudre cette équation en fonction des paramètre m et p



1ère S Équations et inéquations irrationnelles

Soit S 2 l’ensemble des solutions de (2) 2 5; 4 3 S II Inéquations du type A x B x Règle : a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 2 b 0 a b ou 0 0 b a Exercice d’application : Résoudre dans l’inéquation 2 4 x x (1)



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Équations et inéquations

irrationnelles

Cours 1

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x.

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels. a b si et seulement si 2a b et b 0.

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On peut alors en déduire deux informations :

22a b soit 2a b.

b 0

Sens réciproque :

On suppose que 2a b et b 0.

2a b donc 2a b soit a b.

Or b 0 donc a b.

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

25 1x x (2) ;

25 3 2 1x x x (3).

Solutions :

(1) est successivement équivalente à :

2 21x x et x 0

22 1x et x 0

21

2x et x 0

1 2x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

11 2S (2) est successivement équivalente à :

225 1x x et x + 1 0

2 25 2 1x x x et x - 1

2 4x et x - 1

2x et x - 1

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

22S
(3) est successivement équivalente à :

225 3 2 1x x x et 2x + 1 0

2 25 3 4 4 1x x x x et x 1

2

23 2 0x x et x 1

2 polynôme du second degré (1x ou 2

3x) et x 1

2 1x

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

31S

Cours 2

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x.

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si a b et b 0.

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On a alors

2 2a b soit a b.

De plus b 0.

Sens réciproque :

On suppose que a b et b 0.

On a alors a 0.

De plus, on peut écrire a b.

On retiendra :

a b si et seulement si a b et b 0 si et seulement si a b et a 0

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

2 1 1x x (2) ;

23 2x x (3).

Solutions :

(1) est successivement équivalente à :

21x x et x 0

21 0x x et x 0

1 5 1 5 ou 2 2x x

et x 0 1 5 2x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

11 5 2S (2) est successivement équivalente à :

2 1 1 x x et x + 1 0

2x et x - 1

2x

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

22S
(3) est successivement équivalente à :

21 0x x et x - 2 Considérons le polynôme 21x x e . Son discriminant est 3 . 0

donc le polynôme 21x x n'admet aucune racine dans .

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

3S

Cours 2'

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x .

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 0a b .

Démonstration :

Quasiment évidente.

II. Exemples

Cours 3

Équations avec plusieurs radicaux

2 3 5 1x x (1)

2 3 5 1x x (2)

2 1 2 3 1x x x (3)

2x x x x (4)

Cours 4

Inéquations irrationnelles

I. Inéquations de la forme A x B x

Règle :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 0 a b b

Exercices d'application :

Résoudre dans les inéquations suivantes :

2 1 4x x (1)

2 1 4x x (2)

(1) est successivement équivalente à : 2 1 4 4 0 x x x 3 4 x x 4x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

14;S (2) est successivement équivalente à : 2 1 4 4 0 x x x 3 5 4 x x 5 3 4 x x

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

25;43S

II. Inéquations du type A x B x

Règle :

a et b sont deux réels quelconques. a b si et seulement si 2 0b a b ou 0 0 b a

Exercice d'application :

Résoudre dans l'inéquation 2 4x x (1). (1) est successivement équivalente à : 2 4 0 2 4 x x x ou 4 0 2 0 x x 2 4

2 8 16

x x x x ou 4 2 x x 2 4

9 14 0

x x x ou 4x

Considérons le polynôme 29 14x x .

Ses racines sont - 2 et - 7.

(1) est successivement équivalente à : 4 7 2 x x ou 4x

4 2x ou 4x

Soit S l'ensemble des solutions de (1).

; 2S

III. Inéquations du type A x B x

Règle :

a et b sont deux réels quelconques. a b si et seulement si 2 0 0 a b a b

Exercices d'application :

Résoudre dans les inéquations :

3 1x x (1)

22 3 2 1x x x (2)

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