[PDF] ALGÈBRE DE BOOLE ET FONCTIONS BOOLÉENNES

ALGÈBRE DE BOOLE ET FONCTIONS BOOLÉENNES

ALGÈBRE DE BOOLE ET FONCTIONS BOOLÉENNES 1 PROPRIÉTÉS L’algèbre de Boole est définie sur l'ensemble E2 constitué des éléments {0,1} Il existe une relation d'ordre 0 < 1, et trois opérations de base La complémentation, définie en Table 1 est une application de E2 sur E2

PARTIE B : EXERCICES d’application

9 Equations et problèmes 9 10 Notion de fonction 1 10 11 Notion de fonction 2 12 12 Notion de fonction 3 13 13 Fonctions Linéaires Fonctions affines 1 14 14 Fonctions linéaire Fonctions affines 2 15 15 Fonctions Linéaires Fonctions affines 3 16 16 Fonctions Linéaires Fonctions affines 4 17 17 Vitesse 18 18 Pourcentages 19

IDENTITES REMARQUABLES ET RAPPELS DE CALCUL LITTERAL 2 PGCD

Le +5 de gauche et le 7x de droite ne sont pas à leur place Trouver si un nombre est solution d’une équation (savoir J 1) Le nombre -2 est-il solution de l’équation 3x + 5 = 2x + 1 ? On remplace tous les x par -2 et on effectue le calcul des deux membres, séparément : Membre de gauche : Membre de droite : 3 × ( -2) + 5 = -1 2 × ( -2

Exercices sur les équations du premier degré

sonnements et leurs techniques à des pro-blèmes concrets qu’ils inventent En voici un de Nicolas Chuquet (1445-1500) "Des frères se partagent un héritage Le premier prend 100 euros et 10 du reste Le second prend 200 euros et 10 du nouveau reste Le troi-sième prend 300 euros et 10 du nouveau reste et ainsi de suite jusqu’au

Factorielle et binôme de Newton Cours

8 Trouver le nombre de façons d’ordonner n objets distincts, c’est-à-dire trouver le nombredepermutationsden éléments 9 Trouver le nombre de façons de choisir des suites ordonnées de k objets distincts choisisparmin objetsdistincts Exercice2 (FormuledubinômedeNewton) 1 Calculer 5 2 , 50 2 , 50 49 2 Développer(a+ b)6,(2x−1

R esoudre une equation produit nul - Cours et exercices de

Trouver une equation 1 Invente une equation qui admette 4 comme solution 2 Invente une equation qui admette 1 et 3 comme solution R esoudre une equation a l’aide d’une factorisation R esoudre les equations suivantes : x2 = 2x (3 2x)(2x+ 5) = (4x 5)(2x+ 5) R esoudre une equation a l’aide d’une factorisation

10EXERCICES DE MISE EN EQUATION (avec des indices et les

Il y a 12 pièces de 1€ et 31 pièces de 2 € 10) Si on augmente de 5 m un côté d’un carré et si on diminue de 3 m l’autre côté, on obtient un rectangle de même aire que celle du carré Combien mesure le côté de ce carré ? Appeler x le côté du carré L’aire du carré vaut x² et l’aire du rectangle vaut (x+5)(x 3)

Equations, inéquations dans R Systèmes d’équations linéaires

corde par rapport à celle de A et B Pour cela, on admettra que l’équation de la courbe 2 formée par la corde est de la forme 2 x x e ek k y k − + =, k étant un nombre réel positif pour le moment inconnu, et que la longueur de la courbe entre A et B est 1 1 k e e( )k k − − Il s’agit de trouver k vérifiant 1 1 k e e( )k k

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S4ͲCLMDanielEtiemble

Notesdecours

1/10

1 PROPRIÉTÉS

relationd'ordre0<1,ettrois et,min,quiestnotée .sontdesapplicationsdeE2XE2Ͳ>E2 x x 01 10

Table1:complémentation

xySxyS000000

011010101100

111111

Table2:Union,+,ou,

max Intersection,.,et,min a.1=a carmin(a,1)=a a+0=a carmax(a,0)=a a.0=0 a+1=1

2)complément:

a.a 0 carmin(0,1)=0 a+a 1 carmax(0,1)=1

3)Commutativité

a.b=b.a a+b=b+a carlesfonctionsminetmaxsontcommutatives

4)Associativité

a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c carlesfonctionsminetmaxsontassociatives

5)Distributivité

a.(b+c)=a.b+a.c a+(b.c)=(a+b).(a+c)

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Notesdecours

2/106)THÉORÈMEDEMORGAN

a.b ab a+b a.b ab a ba.b a .b a+b a b a.b a+b

0011010111

0110001110

1001001110

1100101000

Table3:théorèmedeMorgan

1.1 OPÉRATEURSNANDETNOR

NAND(a,b)=

a.b ab

NOR(a,b)=

a+b a.b x x.1x.x x.y

1.x. y

x+y

1.x.1.y

NOT ET OU NAND NOR

Figure1:Opérateurslogiques.

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Notesdecours

vérifiéesavec a.a 0et a+a

1nesontpastoujoursvérifiées.La

lorsqueE= ES=E E S=E E=E E=E

1.2 FONCTIONSBOOLÉENNES

nombrefinidevaleursentières.LaTable xyS 001 010 021
100
110
121

Table4:Exempledefonctionbooléenne

l'exempled'unetellefonctionde etil xyS m 0 000 m 1 011 m 2 101
m 3 110

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Notesdecours

1.2.1 Formedisjonctivenormale

1,etc.

m

0=1six=0ETy=0,soit

x 1ET y

1,soit

x .y1et m 0 x.y xym0m1m2m3

001000

010100

100010

110001

Table6:Termesproduit

m 0 x.y m 1 x.y m 2 x.y m 3 x.y

Cecipeutêtreréalisé

S=m0.S0+m1.S1+m2.S2+m3.S3.

adonc partque fonctiona pourvaleur1. xyS m000S0 m101S1 m210S2 m311S3

Table7:Termesproduitetsorties

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Notesdecours

5/10xym0m1m2m3m1+m2S

00100000

01010011

10001011

11000100

Table8:Exempledefonction

S=1sim1=1ousim2=1,soitm1+m2=1==>S=m1+m2

Sx .yx.y souslaforme f= m(1,2). note

Figure4:PortelogiqueOuexclusif

x y S

1.2.2 FormeNANDdeNAND.

setransformeautomatiquement 1

1.2.3 Formeconjonctivenormale

9présentelestermes

sommepourunefonctionàdeuxentrées. 1 (porteNandàuneentrée).

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Notesdecours

6/10 xyM0M1M2M3

000111

011011

101101

111110

Table9:Termessomme

x y S x y S x y S NAND.

M0=x+y

M1=x+ y M2= x +y M3= x+ y xyS

M000S0

M101S1

M210S2

M311S3

Table10

S=(M0+S0).(M1+S1).(M2+S2).(M3+S3)

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Notesdecours

i,ona M deS(carMi+1=1,et1estabsorbédans sommepourlesquelsla fonctionapourvaleur0. xyM0M1M2M3M0.M3S

00011100

01101111

10110111

11111000

Table11

S=0siM0=0etsiM3=0,soitM0.M3=0==>S=M0.M3

soitܵ normale.

1.2.4 Forme

NORdeNOR

desportesNOR 2

1.3 Simplificationdesexpressionsbooléennes.

xyS m0000 m1011 m2101 m3111

Table12

2 (porteNoràuneentrée).

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Notesdecours

pardistributivité

S=1.y+x.1parabsorption

S=y+x=x+y

surlesvariables.LaFigure7:Diagrammede m casd'une faible. sont lessuivantes: Ͳ touslestermesproduitpourlesquelslafonctionestà1devrontêtreprisaumoins Ͳ fairelesregroupementsdetaillemaximale,demanièreàéliminerleplusgrand nombrepossibledevariables danslestermesdel'expression. Ͳ neprendrequelesregroupementsoutermesproduitnécessairespouravoirau moinsunefoischaque1,sansredondance. difficilede

D'autreslogicielsutilisentdesméthodes

deréécritured'expressions. inévitables. x y yx.y x.y x.y x.y0 1quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7