`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´

NOM : DERIVATION 1ère S Exercice 5 On considère les deux fonctions fet gdéﬁnies sur R par : f(x) = x2 3x g(x) = x3 3x 1) Etude de f a) Calculer la dérivée f0de f b) Etudier le signe de la dérivée f0 c) En déduire le tableau de variations de la fonction f 2) Etude de g a) Calculer la dérivée g0de g b) Etudier le signe de la

NOM : STATISTIQUES 1ère S

NOM : STATISTIQUES 1ère S Exercice 4 1) Calculer, pour chaque mois de l’année, le jour médian ainsi que les jours qui correspondent au premier quartile et au troisième quartile 2) Même question pour une année entière de 365 jours D LE FUR 4/ 50

Exercices

exercices Premiere` S 1)On note f la fonction déﬁnie sur [1;3] par f(x) = ax2 + bx + c Déterminer a, b, c pour que "l’arc" ABC soit la représentation de f 2)a)Reproduire la ﬁgure et indiquer sur la ﬁgure les points de la colline et ceux du sol

`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´

de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´ Exercice n˚7: On donne la fonction f d´eﬁnie sur R par f(x) = sinx 1− sinx et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e 1 Montrer que f est d´eﬁnie ssi x 6= π 2 +2kπ avec k ∈ Z 2 Montrer que f est 2π−p´eriodique

351es - ChingAtome

1 Nombre dérivé et sens de variation : Exercice 6061 Voici le tableau de variations d’un fonction[f déﬁnie sur 4;4 [ 4 2 1 4 2 4 3 1 Variation de f x Déterminer le signe du nombre dérivée de la fonction f en 1 Exercice 6062 On considère une fonction f dont on donne ci-dessous le tableau de signe de sa fonction dérivée: x 5 2 1 4

1Rappels - généralités

Exercice réservé 2144 Le tableau de variations de la fonction f déﬁnie sur R est représenté ci-dessous:-1 2 0 1 + 1 5 3 7-4 3 Variation de f x Pour chacune des ﬃ dire si elles sont vraies, fausses ou indécidables en justiﬁant à chaque fois votre réponse: a 3 admet le nombre 2 comme antécédent b f(1)>f( 1) c f(2) est un

Première S - Statistiques descriptives - Variance et écart type

La racine carrée de la variance Ì= √ est l’écart type de cette série La variance et l’écart type permettent de mesurer la « dispersion » des valeurs de la série autour de la moyenne Si les valeurs de la série possèdent une unité, l’écart type s’exprime dans la même unité Autre formule pour calculer la variance : V = Ú z

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CORRIGE – Notre Dame de La Merci - Montpellier Exercice 1 : Racines, forme factorisée, tableau de signes, tableau de variations de polynôme : (6 pts) P x x x2 5 36 Discriminant : ' u u 5 4 1 36 25 144 169 13 22 Deux racines : 1 5 13 18 9 2 1 2 u x et 2 5 13 8 4 2 1 2 u x Forme factorisée :

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

en d´eduire pour (Cf)?

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

x-1.

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 1DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°4:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

et en-∞.

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

(b) Montrer quefest paire.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

(b)

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

L.BILLOT 2DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°7:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

(a)-3π

2par valeurs sup´erieures,

(b)

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

-3π

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 3DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.

Exemples :

E(5,4) = 5E(⎷

2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.

Exercice n°10:

Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.

Corrig´e

Exercice n°11:

On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).

1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.

2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.

3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.

Corrig´e

L.BILLOT 4DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est

centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.

3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).

D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++

1-x2+0-

f?(x)0+0-

4.x0 1 +∞

f?(x)0+0- 2 f(x)

1-∞

5. 123
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.

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L.BILLOT 5DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°2:

1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :

2[f(1 +h) +f(1-h)] =12?

(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?

3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?

1 2?

3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?

=12×6hh= 3 Donc le point Ω de coordonn´ees (1;3) est centre de sym´etriede (Cf).

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

2 x= limx→+∞x= +∞et par sym´etrie, limx→-∞f(x) =-∞.

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

x >→1x-1 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞, et par sym´etrie : lim x <→1f(x) =-∞.

3. Pour toutx?= 1,ax+b+c

x-1=(ax+b)(x-1) +cx-1=ax2+ (b-a)x+c-bx-1, en identifiant le num´erateur de cette fraction avec celui def(x), on obtient :???a= 1 b-a= 1 c-b= 1????a= 1 b= 2 c= 3, doncf(x) =x+ 2 +3 x-1.

4. lim

x→+∞3 x-1= 0, donc limx→+∞(f(x)-(x+2)) = 0 et la droite (d) d"´equationy=x+2 est asymptote `a la courbe en +∞. Puisque Ω?(d), nous pouvons d´eduire que (d) est aussi asymptote `a (Cf) en-∞.

5. Pourx?= 1,fest d´erivable comme quotient de deux polynˆomes, et :

f ?(x) =(2x+ 1)(x-1)-(x2+x+ 1) (x-1)2=x2-2x-2(x-1)2. Pour toutx?= 1,(x-1)2>0, doncf?(x) est du signe dex2-2x-2, polynˆome ayant pour racines 1-⎷

3 et 1 +⎷3 qui, d"apr`es la r`egle du signe du trinˆome est

positif ssix?]- ∞;1-⎷

3[?]1 +⎷3;+∞[.

6. x-∞1-⎷3 1 1 +⎷3 +∞ f?(x)+0--0+

3-2⎷3+∞+∞

f(x) -∞ -∞3 + 2⎷3

Remarque : il ´etait possible de ne faire que

la moiti´e du tableau de variations.2468 -2 -4 -62 4 6-2-4-6

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L.BILLOT 6DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°3:

1.fest d´efinie ssix2+ 2x-3?= 0 ssix?= 1 etx?=-3, doncDf=R- {-3;1}.

2.Dfest sym´etrique par rapport `a 1, et pour touth?=±2, on a :

f(-1 +h) =3 (-1 +h)2+ 2(-1 +h)-3=3h2-4, etf(1 +h) =3 (1 +h)2+ 2(1 +h)-3=3h2-4. Doncf(-1+h) =f(-1-h) et la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3.lim

x <→1x2+ 2x-3 = 0-, donc lim x <→1f(x) =-∞, d"autre part :lim x >→1x2+ 2x-3 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞. (Cf) admet une asymptote verticale d"´equationx= 1.

Remarque : Le signe (0

+ou 0-) est facile `a d´eterminer ici, cela serait plus com- pliqu´e avec par exemple :x2-2x.

limx→+∞x2+ 2x-3 = +∞, donc limx→+∞f(x) = 0, (Cf) admet une asymptote hori-

zontale d"´equationy= 0 en +∞.

4.fest d´erivable surDf, et pour toutx? Df:f?(x) =-3(2x+ 2)

(x2+ 2x-3)2. Le d´enominateur ´etant strictement positif,f?(x)?0? -3(2x+ 2)?0?x?-1. 5. x-1 1 +∞ f?(x)0-- -34+∞ f(x) -∞0 2 -22-2-4-6

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L.BILLOT 7DDL

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Exercice n°4:

1. Le polynˆomex2-2x+ 2 a pour discriminant Δ =-4<0, donc ce polynˆome ne

s"annule pas surRet le domaine de d´efinition defestR.

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞x 2 x2= 1, de mˆeme limx→-∞f(x) = limx→-∞x

2x2= 1, donc (Cf) admet

une asymptote horizontale d"´equationy= 1 en +∞et en-∞.

3. Pour ´etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ), j"´etudie le signe def(x)-1.

f(x)-1 =x2 x2-2x+ 2-1 =2x-2x2-2x+ 2. Pour toutx?R,x2-2x+ 2>0, doncf(x)-1?0?2x-2?0?x?1. Donc (Cf) est au dessus de son asymptote sur [1,+∞[ et elle est en dessous sur ]-∞;1].

4.fest d´erivable surRetf?(x) =2x(x2-2x+ 2)-x2(2x-2)

(x2-2x+ 2)2=2x(2-x)(x2-2x+ 2)2. (x2-2x+2)2´etant strictement positif surR,f?(x)?0?2x(2-x)?0?x?[0;2]. 5. x-∞0 2 +∞ f?(x)-0+0- 1 2 f(x) 0 1 12 -1 -2 -31 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

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L.BILLOT 8DDL

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Exercice n°5:

1.fest d´efinie ssi 2x2?= 0 ssix?= 0, doncDf=R?.

2. lim

x→-∞f(x) = limx→-∞2x3

2x2= limx→-∞x=-∞, de mˆeme limx→+∞f(x) = limx→+∞x= +∞.

lim x→0(2x3+ 27) = 27 lim x→02x2= 0+? donc lim x→0f(x) = +∞. (`a gauche et `a droite)

3. Pour toutx?= 0,f(x)-x=2x3+ 27

2x2-x=272x2, or limx→+∞272x2= limx→-∞272x2= 0,

donc la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞et en

4. (a) La fonctionx?→x3´etant croissante surR, on a :x?3?x3?33?x3?27.

(b)fest d´erivable surR?et pour toutx?= 0, f ?(x) =6x2×2x2-(2x3+ 27)×4x

4x4=x(x3-27)×4xx4

1234567

-1 -2 -31 2 3 4 5-1-2-3-4

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L.BILLOT 9DDL

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Exercice n°6:

1. Le domaine de d´efinition estR, donc pour toutx?R,x+ 2π?Ret-x?R.

(a) Pour toutx?R,f(x+2π) = cos(2x+4π)-2cos(x+2π) = cos2x-2cosx= f(x), doncfest p´eriodique, de p´eriode 2π. (b) Pour toutx?R,f(-x) = cos(-2x)-2cos(-x) = cos(2x)-2cosx=f(x), doncfest paire.

2. (a)fest d´erivable surRet pour toutx?R:

f ?(x) =-2sin2x+ 2sinx=-4sinxcosx+ 2sinx= 2sinx(-2cosx+ 1). (b) Pour toutx?]0;π[,sinx >0, doncf?(x) est du signe de 1-2cosx.

Remarque : on af?(0) =f?(π) = 0.

Or, pourx?[0,π],1-2cosx?0?cosx?1

2?x??π3;π?

x0π3πf?(x)0-0+0 -1 3 f(x) -32 3. 123
-1 -2π

2π3π22π-π2-π-3π2-2π

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L.BILLOT 10DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°7:

1.fest d´efinie ssi 1-sinx?= 0 ssi sinx?= 1 ssix?=π2+ 2kπaveck?Z.

2. pour toutx?=π

2+ 2kπ,f(x+ 2π) =sin(x+ 2π)1-sin(x+ 2π)=sinx1-sinx=f(x), doncf

est 2π-p´eriodique.

3. (a) lim

x >→-3π

2sinx= 1 et lim

x >→-3π21-sinx= 0+donc lim x >→-3π2f(x) = +∞ (b) lim x

2sinx= 1 et lim

x <→π21-sinx= 0+donc lim x <→π2f(x) = +∞

4. Pour toutx??

-3π

2;π2?

,fest d´erivable et f ?(x) =cosx(1-sinx)-sinx(-cosx) (1-sinx)2=cosx(1-sinx)2. (1-sinx)2>0, doncf?(x)?0?cosx?0?x?? -3π

2;-π2?

5. x-3π2-π2π2 f?(x)-0+ f(x) -12 -11 2345

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L.BILLOT 11DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°8:

1. Le domaine de d´efinition estR.

Pour toutx?R,f(-x) = (-x)2- | -x|=x2- |x|=f(x).

2. Six?0 :f(x) =x2-xet six?0 :f(x) =x2-(-x) =x2+x

3. lim

x >→0f(x)-f(0) x-0= lim x >→0x

2-xx= lim

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] `ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´

Exercice n°1:

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 1DDL

Exercice n°4:

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

L.BILLOT 2DDL

Exercice n°7:

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

2par valeurs sup´erieures,

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 3DDL

Exemples :

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

3.lim