Fonctions homographiques Inéquations - Meilleur en Maths
Dans un repère orthogonal, on trace la courbe représentative de la fonction f définie sur]−∞;−2[∪]2; ∞[ par f x = 1 x 2 Puis on trace les droites d'équations y=−2 et y=3 Les solutions de (I) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f au dessus de de la droite
FONCTIONS POLYNÔMES HOMOGRAPHIQUES 1 Définition FONCTIONS
est une fonction homographique avec a =2, b = –3 , c = 5 et d = 5 Exemple Soit f la fonction définie par 23 1 x fx x et H sa courbe représentative L’ensemble de définition de f est D /1^ ` f 2 Variations et courbe représentative Toute fonction homographique fx peut s’écrire sous la forme : fx 0 cx d E D avec DE, , , cd réels et cz
Lycée JANSON DE SAILLY FONCTION INVERSE FONCTIONS
07 janvier 2014 FONCTION INVERSE, FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2nde 10 3 – PROPRIÉTÉ Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduite x →A+ B x−α avec B 6= 0 PREUVE Soit f la fonction homographique définie par f(x)= ax+b cx+d (avec c 6= 0 et ad −bc 6= 0) – Si a =0 alors pour tout réel x 6= − d c, b cx+d = b c x+
Ch 10 : FONCTIONS INVERSES ET HOMOGRAPHIQUES (Les fonctions
On appelle fonction homographique toute fonction f qui, étant donnés quatre réels et avec non nul, associe à tout nombre réel tel que soit non nul, le nombre ˘ f est défini sur \{˘ } puis que ˇˆ Exemples : ˙ ˝˛ ˚ ˙ ˙ ˙ ˜ = fonction constante et non homographique 2 Variations et représentations graphiques ˚
LDDR Niveau 1 TE5 Fonctions
1 Étudier la fonction homographique f : f (x) Cela comprend a Domaine de définition ; 3 2 b Points d'intersection du graphe de f avec les axes ox et Oy c Asymptotes d Tableau des signes de f e Tableau des valeurs et Graphe soigné de f 2 Sans calculer f I dessiner son graphe sur le même système d'axes 2/2
LDDR- Niveau 2 : TE 3 Fonctions - WordPresscom
On donne une fonction homographique f telle que — 2x 1) Déterminer k, sachant que f(3) = 7 2) Pour la suite du problème on pose k = 2 a) Déterminer successivement son domaine de définition, son zéro, son point d'intersection avec l'ake des y, ses asymptotes et son signe b) Calculer quelques images et tracer-le graphe de f
LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications
des suites homographiques1 qui rentreront dans le cadre de notre étude (fsera donc une fonction dite homographique) ou de suites imbriqués du type : 8 >< >: a 0 0;b 0 0 a n+1 = an+bn 2 b n+1 = p a nb n;8n2N: 1 Suites définies par récurrence u n+1 = f(u n) Définitions et propriétés 1 1 Sujet d’étude
CH7 –Analyse
Représenter graphiquement la fonction f définie sur [0,+¥[par : f(x) = 4x2 si 0 £x £ 2 1 et f(x) = 2x 1 si 2 1 < x Donner le tableau de variations de f, en précisant son comportement pour les grandes valeurs de x Exercice n°2 : 1) Représenter sur un même graphique la droite D : y = x + 1 et l’hyperbole H d’équation y = x 2
QSJp31 - Weebly
a) Fonction f b) Fonction g Corrigé FA3 Combien de triangles? a) 5 points délimitent 10 triangles b) 50 points délimitent 1225 triangles c) npoints délimitent triangles n ·(n–1) 2 x –2 1 5 – x + 4 6 3 –1 x –2 0,6 3 5x –10 3 15
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Lycée JANSON DE SAILLY07 janvier 2014
FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
IFONCTION INVERSE
1 -DÉFINITION
La fonction inverse est la fonction définie pour tout réelx?=0 parf(x) =1xENSEMBLE DE DÉFINITION
L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls notéR?, c'est la réunion de
deux intervalles]-∞;0[?]0;+∞[2 -VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
x-∞0+∞ f(x) ❊DÉMONSTRATIONSoientaetbdeux réels non nuls tels quea Étudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>0
soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement négatifs, si aÉtudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>03 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équationy=1x.REMARQUE:
Pour tout réelx?=0,f(-x) =-1
x=-f(x). Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
011 M M ?x1 x -x 1 xREMARQUE:
- On peut rendref(x) =1 xaussi grand que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et positif. - On peut rendref(x) =1 xaussi proche de 0 que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l'axe des
ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.IIFONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
1 -DÉFINITION
On appelle fonction homographique toute fonctionfqui peut s'écrire sous la formef(x) =ax+bcx+doùa,b,
c?=0 etdsont des réels tels quead-bc?=0REMARQUE
La conditionad-bc?=0 traduit le fait queax+betcx+dne sont pas pas proportionnels.Sic?=0 etad-bc=0 alors le quotientax+b
cx+dest constant. En effet ax+b cx+d=cax+bcc(cx+d)=cax+adc(cx+d)=ac2 -ENSEMBLE DE DÉFINITION
Une fonction homographique est définie pour tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s'annule pas.
La fonctionf:x?→ax+b
cx+dest définie sur? -∞;-dc? -dc;+∞;?EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie parf(x) =2x+1 3-2x3-2x?=0 lorsquex?=3
2, donc l'ensemble de définition defestD=?
-∞;32? ??32;+∞;? que l'on note aussiR-?3 2?A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
3 -PROPRIÉTÉ
Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduitex?→A+Bx-aavecB?=0. ❊PREUVE Soitfla fonction homographique définie parf(x) =ax+b cx+d(avecc?=0 etad-bc?=0) - Sia=0 alors pour tout réelx?=-d c, b cx+d=bc? x+dc? =b c x+dc - Sia?=0 alors pour tout réelx?=-d c, ax+b cx+d=ac×x+b a x+dc= a c×? x+d c? +?ba-dc? x+dc= a c+bc-ad c2 x+dcEXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2x-113x+6Pour tout réelx?=-2,
2x-113x+6=23×x-11
2 x+2=23×(x+2)-15 2 x+2=23-23×152
x+2=23-5x+2Ainsi, pour tout réelx?=-2,f(x) =2
3-5x+2
4 -VARIATIONS
La forme réduitef:x?→A+Bx-aavecB?=0 d'une fonction homographique permet de déduire les variations
de la fonctionfà partir des variations de la fonction inverse. B<0 x-∞a+∞ f(x) B>0 x-∞a+∞ f(x)EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =23-5x+2.
Étudions les variations de la fonctionfsur chacun des intervalles]-∞;-2[ou]-2;+∞[ a) Soientaetbdeux réels de l'intervalle]-∞;-2[tels queaA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, sia1b+2D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, siaD'où le tableau des variations de la fonctionf x-∞-2+∞ f(x)5 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative d'une fonction homographique estune hyperbole.REMARQUE
La forme réduitef:x?→A+B
x-aavecB?=0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrieW( a;A)ainsi que les deux asymptotes d'équationx=aety=Ade l'hyperbole. B<0 ?i? jOxy ?A a W B>0 ?i? jOxy ?A a WA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 1
Soientflafonction définie pour tout réelx?=0parf(x)=1xetglafonction affine définie surRparg(x)=2-x.
1. Tracer les courbes représentatives des deux fonctionsfetgdans le plan muni d'un repère orthonormé.
2. Étudier les positions relatives des deux courbes.
EXERCICE 2
1. Donner un encadrement de1xdans chacun des deux cas suivants :
a)-0,52. Dans chaque cas, trouver les réelsxqui satisfont la condition donnée :
a) 1 x?34; b)1x>2; c)-2<1x?-15; d)-13?1x?3EXERCICE 3
Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600?