RACINES CARREES EXERCICE 1B
A 2 3 7 7 3 3(identité remarquable) EXERCICE 2 : Calculer : A 2 1 2 A 2 2 2 1 1 u u 2 2 2 4 3 4 8 2 A 2 2 2 1 D 15 2 40 2 12 32 2 A 2 2 3
PUISSANCES ET RACINES CARRÉES - Maths & tiques
= √9×8 ← On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = √9 x √8 ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 3 x √8 ← On simplifie la racine du carré parfait = 3 x √4×2 ← On recommence si possible = 3 x √4 x √2 = 3 x 2 x √2 = 6√2 ← On s’arrête, 2 ne « contient » pas de carré parfait B = √45
LES RACINES CARRÉES - maths et tiques
= √9×8 ← On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = √9 x √8 ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 3 x √8 ← On simplifie la racine du carré parfait = 3 x √4×2 ← On recommence si possible = 3 x √4 x √2 = 3 x 2 x √2 = 6√2 ← On s’arrête, 2 ne « contient » pas de carré parfait B = √45
Racines carrées (cours de troisième)
On préfère écrire une racine sous la forme a b où a et b sont des entiers avec b le plus petit possible : 200 = 100 × 2 = 100 × 2 = 10 2 × 2 = 10 2 L’intérêt de modifier ainsi l’écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des expressions numériques contenant des racines et des sommes
Racine carrée - Free
La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de ces nombres On démontre qu'il en va de même pour les quotients Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors a b = a b Attention Il n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction Le carré de a b est a + b
Identités remarquables - Free
On remarque que 9x² est le carré de 3x et que 1 est le carré de 1 L’expression B est donc une différence de deux carrés Appliquons la 3ème identité remarquable 9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x + 1)(3x – 1) 2- Factoriser C = 16 – (2x + 1)² Comme 16 est le carré de 4, il s’agit bien d'une différence des carrés de 16 et de 2x + 1
Exercices de révisions : Racines carrées
carré est 16 sont 16 et -16 256 et -256 4 et -4 2 et -2 b) Tout nombre positif a deux racines carrées a une racine unique n’a pas toujours de racine carrée n’a jamais de racine carrée c) √ N’existe pas = -10 = 10 = 10 000 d) √− = -5 = 5 = 25 N’existe pas e) √ = 2 3 4 9 f) √ =
C:UsersPacalDesktopSujets brevet Calcul avec des racines carrées
Conduire un calcul avec des racines carrées DURÉE 15 MIN 59 21 SUJET Fiche 10 Fiche 12 I Développer à l'aide des identités remarquables Calculer avec des ractnes carrées Conduire un calcul avec des racines carrées (3+dïî)2-6dïï Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en centimètres La mesure du côté du carré est 3
Préparer et réussir l’épreuve de - Maths Exercices
L’idée est de décomposer chacun des nombres 27, 75 et 48 en un produit d’un carré parfait par un autre nombre, puis d’utiliser la deuxième formule pour « casser » la racine carrée : √27 = √9 × 3 = √9 × √3 = 3√3
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Racine carréeA- DéfinitionLa racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté xdont le carré est égal à x.
Ainsi, pour tout réel positif x,
x2=x et x≥0.Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif.Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de lesreconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc...En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous formedécimale. Ainsi :
2≈1,414; 3≈1,732; 5≈2,236B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaireDeux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux.DémonstrationSoient a et b deux réels positifs tels que a² = b².
On a alors a² - b² = 0, soit (a + b)(a - b) = 0. D'où les deux possibilités :-soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b sont positifs-soit a - b = 0 et a = b.
2- PropriétésSoient a et b deux réels positifs. Comparons
ab et a×b.On a :
ab2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et a×b2 =a2×b2
=abOn en déduit que : ab=a×b.La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de cesnombres.On démontre qu'il en va de même pour les quotients.Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors
a b= a b.AttentionIl n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction.Le carré de
ab est a + b.Par contre le carré de
ab est ab2=a22 abb2=ab2 abComme les expressions
ab et ab n'ont en général pas le même carré, elles ne sont paségales. 3- Utilisation des carrés parfaitsSi a et b sont deux nombres positifs, on a l'égalité
a2b=ab.KB 1 sur 2
En effet, a2b=a2b=abCette égalité permet de transformer certaines racines carrées et parfois de les ajouter ou de lessoustraire en faisant apparaître un facteur commun.Etudions les nombres
12 et 27.En remarquant que 12 et 27 sont divisibles par des carrés parfaits (12 = 4 × 3 et 27 = 9 × 3),nous pouvons écrire :
12=4 ×3=4×3=2 3 et 27=9 ×3=9×3=3 3.
Ainsi, la somme de
12 et 27 est 1227=2 333=53.C- Dénominateurs rendus rationnelsLorsque des quotients contiennent des racines carrées au dénominateur, il peut être intéressantde les faire disparaître du dénominateur, par exemple pour effectuer des additions. On utilise pour cela la propriété de simplification des quotients : on ne change pas la valeurd'un quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. 1- Premier casSoient a et b deux réels, b étant positif et non nul. On a alors l'égalité : a
b=a b b . Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par b.Exemple
1 2=1 ×2 2×2=2 2.2- Deuxième casSoient a et b deux réels positifs différents. On a l'égalité :
1 ab=a-b a-b. Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par a-b pour obtenir : 1 ab=1 a-b a-b.L'idée est de faire apparaître l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² sous la forme