[PDF] Algèbre matricielle - MAT1600

Synthèse 3 : Les matrices

3 3 Matrice Identité Définition Une matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs, est notée In et est appelée matrice unité ou matrice identité Propriété 1 Quelle que soit A()np, AIpn==I A A Propriété 2 La matrice λIn, pour tout λ∈\, est appelée matrice scalaire C

Les matrices - La matrice identité - Clipedia

Nous venons de supposer que la matrice identité d’ordre nest une matrice carrée Cela découle des conditions sur les dimensions que doivent respecter les deux matrices dans un produit ma-triciel, et du fait que la matrice identité est l’élément neutre pour la multiplication matricielle En effet

Généralités sur les matrices - HEC Montréal

Page 2 sur 7 Matrice diagonale : n a 5 50⋯0 0a 6 6⋯0 ⋮⋮⋱⋮ 00⋯a k l r Matrice identité d’ordre : I l L n 10⋯0 01⋯0 ⋮⋮⋱⋮ 00⋯1 r Matrice triangulaire supérieure :

CHAPITRE 1 : LES MATRICES Matrices inversibles A) Matrice

) est la matrice d'identité d'ordre 3, etc Propriété : pour toute matrice A d'ordre n, on a A×In=In×A=A On peut faire l'analogie avec : pour tout réel x, x×1=1×x=x On dit que 1 est l'élément neutre pour la multiplication B) Matrices inversibles Définition Soit A une matrice d'ordre n On dit que A est inversible s'il existe une

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la matrice identité d’ordre 3 1 Calculer la matrice M2 2 a) Calculer la matrice M+2M2

Algèbre matricielle - MAT1600

La matrice identité d’ordre nest la matrice carrée de format n n dont les entrées sur la diagonale principale sont égales à 1 et les autres, celles hors de la diagonale principale sont nulles (c’est-à-dire égales à 0) Nous noterons cette matrice par I nou encore Isi l’ordre est connu Exemple 1 5 La matrice identité d’ordre 4

1) Définitions, exemples1) Définitions, exemples

est une matrice diagonale d’ordre 3 Si de plus les termes de la diagonale sont tous égaux à 1, la matrice est appelée identité d’ordre n et notée In Par exemple, I4 = est la matrice identité d’ordre 4 Remarque Deux matrices de mêmes ordres sont dites égales si leurs coefficients situés aux mêmes places sont deux à deux

Définition et opérations sur les matrices

la matrice identité d’ordre n Quel que soit la matrice carrée A d’ordre n, Ann La matrice unité d’ordre est donc élément neutre pour la multiplication dans l’ensemble des matrices carrées d’ordre n Remarque : En notant On la matrice carrée nulle d’ordre n, on a, quel que soit la matrice A carrée d’ordre , AO O A O n n n

Chapitre VIII Calcul matriciel

Le produit est automatiquement bien défini pour les matricées carrées d’ordre L’élement neutre est () ( ) On l’appelle la matrice d’identité d’ordre On a une structure d’algèbre sur ( ), isomorphe à ( ) si ii) Ce qui ne marche pas toujours Attention : Le produit n’est pas toujours bien défini : par exemple,

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Algèbre matricielle - MAT1600

Robert Bédard

Département de mathématiques

Université du Québec à Montréal

bedard.robert@uqam.ca

18 août 2015

Table des matières

Liste des tableaux v

Table des figures vii

Préface ix

1 Matrices 1

1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Opérations algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Application des matrices aux graphes . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Systèmes d"équations linéaires 23

2.1 Opérations élémentaires de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Algorithme d"élimination de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Solutions d"un système d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Interpolation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Inversion de matrices 51

3.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Analyse intersectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 Polynôme minimal d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Déterminants 77

4.1 Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Opérations élémentaires de ligne ou colonne. . . . . . . . . . . . 85

iii ivTABLE DES MATIÈRES

4.3 Développement de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.4 Déterminant et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Géométrie vectorielle 113

5.1 Géométrie vectorielle dans le plan et l"espace . . . . . . . . . . . 113

5.2 Droites et plans dansE3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3 Droites dans le planE2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4 Distance entre un point et un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6 Espaces euclidiens 143

6.1 Vecteurs lignes et vecteurs colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2 Sous-espaces linéaires et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3 Produit scalaire et méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . 163

6.4 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Liste des tableaux

3.1 Tableau intersectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1 Déterminants et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 86

v

Table des figures

1.1 Exemple d"un graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1 Exemple d"un vecteur géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Addition de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.5 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.6 Base orthonormée du planE2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.7 Base orthonormée de l"espaceE3. . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.8 Angle entre deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.9 Angle et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.10 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.11 Distance planet pointQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.12 Plan0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1 Droite des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

vii

Préface

Ces notes s"adressent aux étudiantes et étudiants du cours Algèbre matricielle (Sigle : MAT1600) à l"UQAM. Elles constituent la matière pour un cours de pre- mier cycle d"une quarantaine d"heures. Elles seront divisées en sept chapitres. Pour l"instant, les six premiers chapitres ont été rédigés. Les notions de base du calcul matriciel sont décrites et quelques applications sont aussi présentées. Quelques exercices sont inclus à la fin de chaque chapitre. Ceux marqués d"un (y) sont considérés comme étant difficile et nécessitent parfois des notions vues dans d"autres cours de mathématiques. Il y a très peu d"exercices de ce type. Ils ne

sont là que pour éveiller la curiosité des étudiantes et étudiants sur d"autres sujets

mathématiques. Les preuves de certains des théorèmes ou propositions ne sont qu"esquissées dans le texte. J"ai préféré procéder ainsi pour ne pas trop alourdir ces notes de cours en espérant que les étudiantes et étudiants ne m"en tiendront pas trop rigueur. D"avance je remercie toute personne qui me signalera les lapsus et autres co- quilles qui m"auraient échappés.

Robert Bédard

ix

Chapitre 1

Matrices

Dans ce chapitre, nous allons définir ce qu"est une matrice et décrire ensuite les opérations algébriques usuelles sur celles-ci. Nous terminerons en considérant une application à la théorie des graphes orientés.

1.1 Définitions de base

Définition 1.1.Unematricede formatmnest un tableau rectangulaire com- portantmlignes etncolonnes dont les entrées sont généralement des nombres.

Exemple 1.1.

12 4

0 0;5 3

est une matrice de format23: Notation 1.1.Généralement lorsque nous voulons écrire une matrice quelconque

A, nous écrirons

A=2 6

66666664a

11a12::: a1j::: a1n

a

21a22::: a2j::: a2n...............

a i1ai2::: aij::: ain............... a m1am2::: amj::: amn3 7

77777775

oùaijdésigne l"entrée à la ligneiet à la colonnej. On dit queaijest le terme gé- nérale de la matriceA. Souvent aussi nous écrirons tout ceci sous la forme abrégée

A= [aij]1im1jnou encoreA= [aij]

1

2CHAPITRE 1. MATRICES

Définition 1.2.DeuxmatricesA= [aij]etB= [bij]sont égalessi et seulement si elles ont le même format et les entrées aux positions correspondantes sont égales. C"est donc dire que siAest de formatmnetBest de formatm0n0, alors il faut pour que ces deux matrices soient égales quem0=m,n0=netaij=bij pour toutietjtels que1imet1jn.

Exemple 1.2.Les deux matrices suivantes

1 23 1 7 5 et2 41 23
1 7 5

0 0 03

5 ne sont pas égales parce qu"elles n"ont pas le même format; l"une est de format

23et l"autre de format33. Alors que les deux matrices

x13 2 5 7 et8 13 2y7 sont égales si et seulement six= 8ety= 5. Certains matrices sont particulières à cause de leur format ou de certains pro- priétés qu"elles possèdent. Nous allons maintenant énumérer certaines de ces ma- trices. Définition 1.3.Lamatrice nullede formatmnest la matrice de formatmn dont toutes les entrées sont nulles. Nous noterons cette matrice par0mnou encore par0seulement si le format est connu.

Exemple 1.3.La matrice nulle de format32est

0 32=2
40 0
0 0 0 03 5 Définition 1.4.Une matriceA= [aij]est dite êtrecarrée d"ordrensi elle est de formatnn. Elle a autant de lignes que de colonnes. Dans ce cas, la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit est appelée ladiagonale principale.

Exemple 1.4.La matrice2

6 412 3
057

1 10-13

7 5 est une matrice carrée d"ordre 3 dans laquelle nous avons encadré les entrées de la diagonale principale : 1, 5 et -1.

1.2. OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES.3

Définition 1.5.Lamatrice identitéd"ordrenest la matrice carrée de formatnn dont les entrées sur la diagonale principale sont égales à 1 et les autres, celles hors de la diagonale principale sont nulles (c"est-à-dire égales à 0). Nous noterons cette matrice parInou encoreIsi l"ordre est connu.

Exemple 1.5.La matrice identité d"ordre 4 est

I 4=2 6

641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 13

7 75

1.2 Opérations algébriques.

Il est possible de définir des opérations algébriques sur l"ensemble des ma- trices. Nous pouvons ainsi additionner, soustraire ou encore multiplier des matrices si certaines conditions sont vérifiées sur les formats de celles-ci. Nous allons main- tenant décrire ces opérations et sous quelques conditions, elles sont bien définies. Définition 1.6.Soit deux matrices :A= [aij]de formatmnetB= [bij]de formatm0n0. Alors nous pouvons les additionner si et seulement si elles ont le même format,c"est-à-direm0=metn0=n. Dans cecas, le résultatde l"addition : lasommenotéeA+Best aussi une matrice de formatmnet l"entrée à la ligne iet colonnejdeA+Best la somme des entrées correspondantes deAet deB, c"est-à-direaij+bij. Nous pourrions écrire ceci de façon abrégée par [aij] + [bij] = [aij+bij]:

Exemple 1.6.L"addition13 4

2 5 7 +5 1 2 6 n"est pas définie dans ce cas parce que ces deux matrices ne sont pas de même format, une est de format23, alors que l"autre est de format22. Par contre, l"addition 2

41 3 71

0 2 52

1 101 43

5 +2

401 3 5

2 5 1 4

19 2 13

5 est bien définie, les deux matrices étant de format34et la somme est2

4(1 + 0) (3 + (1)) (7 + 3) ((1) + 5)

(0 + 2) (2 + 5) (5 + 1) ((2) + 4) (1 + 1) (10 + (9)) ((1) + 2) (4 + 1)3 5 =2

41 2 10 4

2 7 6 2

2 1 1 53

5

4CHAPITRE 1. MATRICES

Définition 1.7.Soit une matriceA= [aij]de formatmnet un scalaire (c"est- à-dire un nombre). Alors nous pouvons multiplierApar, que nous noterons parA, et le résultat de lamultiplication deApar le scalaireest une matrice du même format queAet dont les entrées sont celles deAmultipliées par. Nous pouvons écrire ceci de façon abrégée par

A=[aij] = [aij]:

Exemple 1.7.Nous avons illustré cette opération ci-dessous. 7 2

41 0 6 1

2 5 3 1

3 4 7 53

5 =2

471 70 76 71

72 75 73 71

7(3) 74 77 753

5 =2

47 0 42 7

14 35 21 7

21 28 49 353

5 Définition 1.8.Soit deux matrices :A= [aij]de formatmnetB= [bij]de formatm0n0. Alors nous pouvons soustraire l"une de l"autre si et seulement si elles ont le même format, c"est-à-direm0=metn0=n. Dans ce cas, le résultat : ladifférencenotéeAB, est aussi une matrice de formatmnet l"entrée à la ligneiet colonnejdeABest la différence des entrées correspondantes deAet deB, c"est-à-direaijbij. Nous pourrions écrire ceci de façon abrégée par [aij][bij] = [aijbij]:

Noter queABest tout simplementA+ (1)B.

Exemple 1.8.

7 1 2 4 51
6 3 =(75) (1(1)) (26) (43)quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10