LYCÉE LOUIS-LE-GRAND PCSI2
Comme deux matrices diagonales commutent, on a Dn(R) ‰ Ker` Réciproquement, soit X 2Ker`, ie DX ˘XD Soit (i, j) 2‡1,n 2 tel que i 6˘j On a (DX)i,j ˘ Xn k˘1 Di,kXk,j ˘ Di,iXi,j ˘ iXi,j et (XD)i,j ˘ n k˘1 Xi,kDk,j ˘ Xi,jDj,j ˘ jXi,j d’où (j ¡i)Xi,j ˘ 0, ie Xi,j ˘ 0 On a donc Ker` ‰ Dn et finalement ces deux ensembles
Chapitre 13 : Matrices
matrices diagonales est une matrice diagonale Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Démonstration Pour les matrices carrées, cela découle directement de la dé nition Pour les matrices diagonales, prenons deux matrices diagonales (de taille n) A et B Le terme d'indice ij de AB
Chapitre 21 Matrices - maths-francefr
Par exemple, les matrices 0 n et I n sont des matrices diagonales La matrice ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 0 0 0 0 0 −1 ⎞ ⎟ ⎠ est une matrice diagonale et la matrice ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ n’est pas une matrice diagonale 2) Matrices colonnes Matrices lignes Définition 2 Soit n un entier naturel non nul
MPSI 2 DS 07 - Free
MPSI 2 3 DS 07 2 2 R´esolution de X2 = A On se propose dans cette partie de r´esoudre l’´equation du second degr´e X2 = A dans M3(R), c’est `a dire d´eterminer toutes les matrices X ∈M3(R) v´erifain t X2 = A
Matrices - Crans Wiki
2 En déduire quelles sont les matrices de Mn(K) qui commutent avec toutes les autres 3 Quelles sont les matrices qui commutent avec toutes les matrices diagonales? 4 Quelles sont les matrices qui commutent avec toutes les matrices triangulaires supé-rieures? 3 On considère l’endomorphisme f de R2[X] dont la matrice dans la base canonique
Corrigé - DS n°5
2 Soit D l’ensemble des matrices diagonales de taille 3 Puisque les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices, on a D Ă C(A) Soit M P C(A) Notons P = MA et Q = AM, et A = (ai,j)1ďi,jď3, M = (mi,j)1ďi,jď3, P = (pi,j)1ďi,jď3, Q = (qi,j)1ďi,jď3 Soit (i,j) P J1,3K 2 On a : pi,j = ÿ3 k=1 mi,kak,j = mi,jaj,j et qi,j
MATRICES - Unisciel
Matrices - 3 - ECS 1 Définition : La matrice unité d'ordre n est la matrice diagonale : = 0 0 1 0 0 1 1 0 0 L M O O O M L In Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la dimension, elle est simplement notée I Les matrices diagonales ou à défaut les matrices triangulaires vont jouer un rôle
MATRICES - celeneinsa-cvlfr
Théorème 1 Binôme de Newton pour les matrices Soient Xet Y appartenant à M n(K) telles que Xet Y commutent, c'est à dire XY = YX(ce qui reste assez rare) alors on a : 8n2N;(X+Y)n = Xn k=0 n k Xn kYk Attention, cette formule est évidemment fausse si les matrices ne commutent pas Exemple 2 Soit Aet Bdeux matrices qui commutent
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t
A= (aji)16j6p16i6n
A=0 B BB@a11a12 a1p
a a n1an2 anp1 CCCA)tA=0
BBBBB@a
11a21an1
a a1pa2panp1
C CCCCA tA????A=1 2 3
4 5 6 2 M2;3(R)
8A2 Mn;p(K);8B2 Mn;p(K);t(A+B) =tA+tB
8A2 Mn;p(K);82K;t(A) =tA
8A2 Mn;p(K);ttA=A
8A2 Mn;p(K);8B2 Mp;q(K);t(AB) =tBtA
M I n=0 BBB@1 00
0 011 C CCA8A2 Mn(K);AIn=InA=A
A 0=InAn=AAn1=An1A
8n2N;(X+Y)n=nX
k=0 n k X nkYk A=0 10 0 020 0 031 A ??B=0 @0 01 020 30 01A D=0 B BB@ 100
0 0n1 C
CCA)Dn=0
B BB@ n1000 0nn1
C CCA tr(A) =i=nX i=1a ii ????A=0 @1 7 3 3 5 25 3121
A ?tr(A) =trtA ?tr(A+B) =trA+trB;82R ????A=a b c d c d =adbc ??????? ??A? ???? ????j2 f1;2:::ng? ???A=i=nX ???? ????i2 f1;2:::ng? ???A=j=nX a d g b e h c f i4a d g a d
b e h b e c f i c f3 5 ???A=aei+dhc+gbf(ceg+fha+ibd)? 4 2 1 1 0 1 ?8n>2;detIn= 1? ?8A;B2 Mn(K);detAB= detAdetB ?detA= dettA ??????? ?? ?? ???????A? ????A2M3(K)????? ???A3+ 3A2=I3 A1=1???At
B????B= (bij)?? ??????? ?????? ???bij= (1)i+j???Aij?B??? ??????? ?? @3 11 1 3 10 2 21
A A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A ???(A) =a11a 22a23a 32a33
a12a 21a23
a 31a33
A
1=1???(A)t
B???? B=0 BBBBBBBBBB@
a 22a23a 32a33
a 21a23
a 31a33
a 21a22
a 31a32
a 12a13 a 32a33
a 12a13 a 22a23
a 11a13 a 21a23
a 11a12 a 21a22
1 C
CCCCCCCCCA
t B=0 BBBBBBBBBB@
a 22a23a 32a33
a 12a13 a 32a33
a 12a13 a 22a23
a 21a23
a 31a33
a 11a13 a 21a23
a 21a22
a 31a32
a 11a12 a 21a22
1 C
CCCCCCCCCA
A tB=0 BBBBBBBB@a
11a 22a23a 32a33
a12a 21a23
a 31a33
+a13a 21a22
a 31a32
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