Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ℝ3 dont l'image de la base canonique =( 1, 2, 3) est :
Matrices et applications linéaires - Cours et exercices de
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TD 24 Matrices et applications linéaires - heb3org
Matrices et applications linéaires et Im(Φ) Exercice 8 : [corrigé] Donner les matrices de f−IdE et de f+2IdE dans les bases canonique de R3
V Applications linéaires
V 2 Applications linéaires et matrices V 2 c Casgénéral Donnonsunexempledecalculdematricedereprésentationdansdesbasesautres quelesbasescanoniques
Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 2 Déterminer les coordonnées de ( 1), ( 2) et ( 3) dans la base canonique 3 Calculer une base de ker( )et une base de ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7 Soit :ℝ3→ℝ3 définie pour tout vecteur =( , , )∈ℝ3 par :
Algèbre linéaire : Applications linéaires, matrices
Algèbre linéaire : Applications linéaires, matrices, déterminants 3°) Donner une base de son noyau et une base de son image Correction exercice 3
Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires
Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 6 1 Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Diagonalisation et trigonalisation Objectifs : Savoir chercher une base d’un espace vectoriel, d’un noyau, d’une image Déterminer une matrice associée à une application linéaire Savoir calculer
Matrice d’une application linéaire - Cours et exercices de
A Calculer rg(A) et rg(B) Déterminer une base du noyau et une base de l’image pour chacune des applications linéaires associées f A et f B Correction H Vidéo [001099] Exercice 9 Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f2 = f 1 Montrer que E =Ker f Im f 2 Supposons que E soit de
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1
la troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l’axiome (II-2) et ou` la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l’axiome (II-4) On en d´eduit que (−1)·xest le sym´etrique de x, c’est-`a-dire, −x Solution de l’exercice 2 : Nous devons montrer que pour tous x,y ∈ F et pour tout α ∈ R,
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Matrices et
Ce chapitre est l"aboutissement de toutes les notions d"algèbre linéaire vues jusqu"ici : espaces vectoriels, dimension,applications linéaires, matrices. Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l"étude des
applications linéaires se ramène à l"étude des matrices, ce qui facilite les calculs.1. Rang d"une famille de vecteurs
Le rang d"une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs.
1.1. Définition
SoientEunK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Le sous-espace vectorielVect(v1,...,vp)
engendré parfv1,...,vpgétant de dimension finie, on peut donc donner la définition suivante :Définition 1(Rang d"une famille finie de vecteurs).
SoitEunK-espace vectoriel et soitfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Lerangde la famillefv1,...,vpg
est la dimension du sous-espace vectoriel Vect(v1,...,vp)engendré par les vecteursv1,...,vp. Autrement dit :rg(v1,...,vp) =dimVect(v1,...,vp)
Calculer le rang d"une famille de vecteurs n"est pas toujours évident, cependant il y a des inégalités qui découlent
directement de la définition.Proposition 1. Soient E unK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille de p vecteurs de E. Alors :1.06rg(v1,...,vp)6p : le rang est inférieur ou égal au nombre d"éléments dans la famille.
2.SiEest de dimension finie alorsrg(v1,...,vp)6dimE: le rang est inférieur ou égal à la dimension de l"espace
ambiant E.Remarque. Le rang d"une famille vaut 0 si et seulement si tous les vecteurs sont nuls. Le rang d"une famillefv1,...,vpgvautpsi et seulement si la famillefv1,...,vpgest libre.Exemple 1.
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS2 Quel est le rang de la famillefv1,v2,v3gsuivante dans l"espace vectorielR4? v 1=0 B B@1 0 1 01 CCAv2=0
B B@0 1 1 11 CCAv3=0
B B@1 1 0 11 C CACe sont des vecteurs deR4donc rg(v1,v2,v3)64.
Mais comme il n"y a que 3 vecteurs alors rg(v1,v2,v3)63.Le vecteurv1est non nul donc rg(v1,v2,v3)>1.
Il est clair quev1etv2sont linéairement indépendants donc rg(v1,v2,v3)>rg(v1,v2) =2.Il reste donc à déterminer si le rang vaut2ou3. On cherche si la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée en résolvant le
système linéaire1v1+2v2+3v3=0. On trouvev1v2+v3=0. La famille est donc liée. AinsiVect(v1,v2,v3) =
Vect(v1,v2), donc rg(v1,v2,v3) =dimVect(v1,v2,v3) =2.1.2. Rang d"une matrice
Une matrice peut être vue comme une juxtaposition de vecteurs colonnes.Définition 2. On définit lerangd"une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes.Exemple 2.Le rang de la matrice
A=1 212
02 41 0
2M2,4(K)
est par définition le rang de la famille de vecteurs deK2: v 1 =12,v2=24,v3=12
1 ,v4 =00ª. Tous ces vecteurs sont colinéaires àv1, donc le rang de la famillefv1,v2,v3,v4gest 1 et ainsi rgA=1.Réciproquement, on se donne une famille depvecteursfv1,...,vpgd"un espace vectorielEde dimensionn. Fixons
une baseB=fe1,...,engdeE. Chaque vecteurvjse décompose dans la baseB:vj=a1je1++aijei++anjen, ce que l"on notevj= 0 B B@a 1j ...aij ...anj1 C CA B . En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matriceA2Mn,p(K). Le rang de la famillefv1,...,vpgest égal au rang de la matriceA.Définition 3.On dit qu"une matrice estéchelonnéepar rapport aux colonnes si le nombre de zéros commençant une colonne
croît strictement colonne après colonne, jusqu"à ce qu"il ne reste plus que des zéros. Autrement dit, la matrice
transposée est échelonnée par rapport aux lignes.Voici un exemple d"une matrice échelonnée par colonnes; lesdésignent des coefficients quelconques, les+des
coefficients non nuls :0 BBBBBB@+0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
+0 0 0 0 +0 0 0 0 0 0 +0 01 CCCCCCA
Le rang d"une matrice échelonnée est très simple à calculer.Proposition 2. Le rang d"une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles.Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus,4colonnes sur6sont non nulles, donc le rang
de cette matrice est 4.La preuve de cette proposition consiste à remarquer que les vecteurs colonnes non nuls sont linéairement indépendants,
ce qui au vu de la forme échelonnée de la matrice est facile. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS31.3. Opérations conservant le rangProposition 3.Le rang d"une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cpn"est pas modifié par les trois opérations élémentaires suivantes
sur les vecteurs : 1. C i Ciavec6=0: on peut multiplier une colonne par un scalaire non nul. 2. C i Ci+Cjavec2K(et j6=i) : on peut ajouter à la colonne Ciun multiple d"une autre colonne Cj. 3. C i$Cj: on peut échanger deux colonnes.Plus généralement, l"opérationCi Ci+P i6=jjCjconserve le rang de la matrice.On a même un résultat plus fort, comme vous le verrez dans la preuve : l"espace vectoriel engendré par les vecteurs
colonnes est conservé par ces opérations. Démonstration.Le premier et troisième point de la proposition sont faciles.Poursimplifierl"écriture de la démonstration du deuxième point,montrons que l"opérationC1 C1+C2ne change pas
le rang. Notonsvile vecteur correspondant à la colonneCid"une matriceA. L"opération sur les colonnesC1 C1+C2
change la matriceAen une matriceA0dont les vecteurs colonnes sont :v1+v2,v2,v3,...,vp.Il s"agit de montrer que les sous-espacesF=Vect(v1,v2,...,vp)etG=Vect(v1+v2,v2,v3,...,vp)ont la même
dimension. Nous allons montrer qu"ils sont égaux! Tout générateur deGest une combinaison linéaire desvi, doncGF.Pour montrer queFG, il suffit de montrerv1est combinaison linéaire des générateurs deG, ce qui s"écrit :
v1= (v1+v2)v2.Conclusion :F=Get donc dimF=dimG.Méthodologie.Comment calculer le rang d"une matrice ou d"un système de vecteurs?
Il s"agit d"appliquer la méthode de Gauss sur les colonnes de la matriceA(considérée comme une juxtaposition
de vecteurs colonnes). Le principe de la méthode de Gauss affirme que par les opérations élémentairesCi Ci,
Ci Ci+Cj,Ci$Cj, on transforme la matriceAen une matrice échelonnée par rapport aux colonnes. Le rang de
la matrice est alors le nombre de colonnes non nulles.Remarque : la méthode de Gauss classique concerne les opérations sur les lignes et aboutit à une matrice échelonnée
par rapport aux lignes. Les opérations sur les colonnes deAcorrespondent aux opérations sur les lignes de la matrice
transposéeAT.1.4. Exemples
Exemple 3.
Quel est le rang de la famille des 5 vecteurs suivants deR4? v 1=0 B B@1 1 1 11 CCAv2=0
B B@1 2 0 11 CCAv3=0
B B@3 2 1 31C
CAv4=0
B B@3 5 0 11 CCAv5=0
B B@3 8 1 11 C CA On est ramené à calculer le rang de la matrice : 0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA En faisant les opérationsC2 C2+C1,C3 C33C1,C4 C43C1,C5 C53C1, on obtient des zéros sur la première ligne à droite du premier pivot :0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CAMATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS4On échangeC2etC3par l"opérationC2$C3pour avoir le coefficient1en position de pivot et ainsi éviter d"introduire
des fractions.0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CAEn faisant les opérationsC3 C3+3C2,C4 C4+2C2etC5 C5+5C2, on obtient des zéros à droite de ce deuxième
pivot :0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CAEnfin, en faisant les opérationsC4 C4C3etC5 C52C3, on obtient une matrice échelonnée par colonnes :0
BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
1411 0 0
1616 0 01
C CAIl y a 3 colonnes non nulles : on en déduit que le rang de la famille de vecteursfv1,v2,v3,v4,v5gest 3.
En fait, nous avons même démontré que
1111
0146
001116
Exemple 4.
Considérons les trois vecteurs suivants dansR5:v1= (1,2,1,2,0),v2= (1,0,1,4,4)etv3= (1,1,1,0,0). Montrons
que la famillefv1,v2,v3gest libre dansR5. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce qui revient
au même, celui de la matrice suivante :0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA. Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient : 0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2211 0 0 2 22
0 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2111 0 0 2 12
0 2 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
21 01 0 0 2 13 0 221 C CCCA
Comme la dernière matrice est échelonnée par colonnes et que ses3colonnes sont non nulles, on en déduit que la
famillefv1,v2,v3gconstituée de 3 vecteurs est de rang 3, et donc qu"elle est libre dansR5.Exemple 5.
Considérons les quatre vecteurs suivants dansR3:v1= (1,2,3),v2= (2,0,6),v3= (3,2,1)etv4= (1,2,2).Montrons que la famillefv1,v2,v3,v4gengendreR3. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce
qui revient au même, celui de la matrice suivante :0 @1 2 31