Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ℝ3 dont l'image de la base canonique =( 1, 2, 3) est :
Matrices et applications linéaires - Cours et exercices de
Matrices et applications linéaires Vidéo — partie 1 Rang d'une famille de vecteurs Vidéo — partie 2 Applications linéaires en dimension finie Vidéo — partie 3 Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4 Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire
TD 24 Matrices et applications linéaires - heb3org
Matrices et applications linéaires et Im(Φ) Exercice 8 : [corrigé] Donner les matrices de f−IdE et de f+2IdE dans les bases canonique de R3
V Applications linéaires
V 2 Applications linéaires et matrices V 2 c Casgénéral Donnonsunexempledecalculdematricedereprésentationdansdesbasesautres quelesbasescanoniques
Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 2 Déterminer les coordonnées de ( 1), ( 2) et ( 3) dans la base canonique 3 Calculer une base de ker( )et une base de ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7 Soit :ℝ3→ℝ3 définie pour tout vecteur =( , , )∈ℝ3 par :
Algèbre linéaire : Applications linéaires, matrices
Algèbre linéaire : Applications linéaires, matrices, déterminants 3°) Donner une base de son noyau et une base de son image Correction exercice 3
Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires
Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 6 1 Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Diagonalisation et trigonalisation Objectifs : Savoir chercher une base d’un espace vectoriel, d’un noyau, d’une image Déterminer une matrice associée à une application linéaire Savoir calculer
Matrice d’une application linéaire - Cours et exercices de
A Calculer rg(A) et rg(B) Déterminer une base du noyau et une base de l’image pour chacune des applications linéaires associées f A et f B Correction H Vidéo [001099] Exercice 9 Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f2 = f 1 Montrer que E =Ker f Im f 2 Supposons que E soit de
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1
la troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l’axiome (II-2) et ou` la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l’axiome (II-4) On en d´eduit que (−1)·xest le sym´etrique de x, c’est-`a-dire, −x Solution de l’exercice 2 : Nous devons montrer que pour tous x,y ∈ F et pour tout α ∈ R,
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Exo7 Matrice d"une application linéaire
Corrections d"Arnaud Bodin.
Exercice 1SoitR2muni de la base canoniqueB= (~i;~j). Soitf:R2!R2la projection sur l"axe des abscissesR~i
parallèlement àR(~i+~j). Déterminer MatB;B(f), la matrice defdans la base(~i;~j).Même question avec Mat
B0;B(f)oùB0est la base(~i~j;2~i+3~j)deR2. Même question avec MatB0;B0(f). HH???Exercice 2Soient trois vecteurse1;e2;e3formant une base deR3. On notefl"application linéaire définie parf(e1) =e3,
f(e2) =e1+e2+e3etf(e3) =e3. 1. Écrire la matrice Adefdans la base(e1;e2;e3). Déterminer le noyau de cette application. 2. On pose f1=e1e3,f2=e1e2,f3=e1+e2+e3. Calculere1;e2;e3en fonction def1;f2;f3. Les vecteursf1;f2;f3forment-ils une base deR3? 3. Calculer f(f1);f(f2);f(f3)en fonction def1;f2;f3. Écrire la matriceBdefdans la base(f1;f2;f3)et trouver la nature de l"applicationf. 4.On pose P=0
@1 11 01 11 0 11
A . Vérifier quePest inversible et calculerP1. Quelle relation lieA,B,P etP1? H???Exercice 3 Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice par rapport à la base canonique(e1;e2;e3)est A=0 @1511 52015 8
87 61A
Montrer que les vecteurs
e forment une base deR3et calculer la matrice defpar rapport à cette base. H???Exercice 4SoitA=0
BBBBBB@0:::0 1
... 1 0 0 11 0:::01
C CCCCCA. En utilisant l"application linéaire associée deL(Rn;Rn), calculerAppour p2Z. 1 H???Exercice 5SoientA;Bdeux matrices semblables (i.e. il existePinversible telle queB=P1AP). Montrer que si l"une est
inversible, l"autre aussi; que si l"une est idempotente, l"autre aussi; que si l"une est nilpotente, l"autre aussi;
que siA=lI, alorsA=B. HH???Exercice 6Soitfl"endomorphisme deR2de matriceA=223
5223
dans la base canonique. Soiente1=2 3 et e 2=2 5 1. Montrer que B0= (e1;e2)est une base deR2et déterminer MatB0(f). 2.
Calculer Anpourn2N.
3. Déterminer l"ensemble des suites réelles qui vérifient 8n2N8 :x n+1=2xn+23 yn y n+1=52 xn23 yn. H???Exercice 7Soitaetbdeux réels etAla matrice
A=0 @a21b3 0 14
5 41 21
A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ? H???Exercice 8SoientA=0
BB@1 2 1
3 4 1 5 6 17 8 11
CCA;B=0
BB@2 21 7
4 31 11
01 243 32 111
C CA. Calculer rg(A)et rg(B). Déterminer une base du noyau et une base de l"image pour chacune des applications linéaires associéesfAetfB. H???Exercice 9 SoitEun espace vectoriel etfune application linéaire deEdans lui-même telle quef2=f. 1.Montrer que E=KerfImf.
2. Supposons que Esoit de dimension finien. Posonsr=dimImf. Montrer qu"il existe une baseB= (e1;:::;en)deEtelle que :f(ei) =eisii6retf(ei) =0 sii>r. Déterminer la matrice defdans cette baseB. H???Exercice 10 Trouver toutes les matrices deM3(R)qui vérifient 21.M2=0 ;
2.M2=M;
3.M2=I.
HH???Exercice 11 Soitfl"application deRn[X]dansR[X]définie en posant pour toutP(X)2Rn[X]:f(P(X)) =P(X+1)+P(X1)2P(X):
1. Montrer que fest linéaire et que son image est incluse dansRn[X]. 2. Dans le cas où n=3, donner la matrice defdans la base 1;X;X2;X3. Déterminer ensuite, pour une valeur denquelconque, la matrice defdans la base 1;X;:::;Xn. 3. Déterminer le no yauet l"image de f. Calculer leur dimension respective. 4. Soit Qun élément de l"image def. Montrer qu"il existe un uniqueP2Rn[X]tel que :f(P) =QetP(0) =P0(0) =0.
H???Exercice 12Pour toute matrice carréeAde dimensionn, on appelle trace deA, et l"on note trA, la somme des éléments
diagonaux deA: trA=nå i=1a i;i 1. Montrer que si A;Bsont deux matrices carrées d"ordren, alors tr(AB) =tr(BA). 2. Montrer que si fest un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionn,Msa matrice par rapportà une basee,M0sa matrice par rapport à une basee0, alors trM=trM0. On note trfla valeur commune
de ces quantités. 3. Montrer que si gest un autre endomorphisme deE, tr(fggf) =0. H???3 Indication pourl"exer cice1 Nfest l"application qui àx y associexy 0 .Indication pourl"exer cice5 NAestidempotentes"il existe unntel queAn=I(la matrice identité).Aestnilpotentes"il existe unntel queAn= (0)(la matrice nulle).Indication pourl"exer cice10 NIl faut trouver les propriétés de l"application linéairefassociée à chacune de ces matrices. Les résultats
s"expriment en explicitant une (ou plusieurs) matriceM0qui est la matrice defdans une base bien choisie
et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la formeM=P1M0P.Plus en détails pour chacun des cas :
1. Im fKerfet discuter suivant la dimension du noyau. 2.Utiliser l"e xercice
9 : K erfImfet il existe une base telle quef(ei) =0 ouf(ei) =ei. 3.Poser N=I+M2
(et doncM=) chercher à quelle conditionM2=I.4Correction del"exer cice1 NL"expression defdans la baseBest la suivantef(x;y)=(xy;0). Autrement dit à un vecteurx
y on associe le vecteur xy 0quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2