EN INTEGRANT L’EQUATION DE SCHRODINGER, ON OBTIENT : MECANIQUE

Pour les mouvements de petite amplitude, ou` jxj=l˝1 et jzj=l˝1, on obtient l’equation de mouvement d’un oscillateur harmonique pour la co-´ ordonnee´ x, x + 2 0 x= 0; ou` 0 = r g l; si l’on neglige l’acc´ el´ eration centrifuge en direction de´ x 2 2 Fonction et equations´ de Lagrange

EN INTEGRANT L’EQUATION DE SCHRODINGER, ON OBTIENT : MECANIQUE

Introduction à la mécanique ondulatoire 3 COURS2,–EQUATION,DE,SCHRODINGER, INDEPENDANTDU,TEMPS 1 Mesure de l’impulsion d’une particule et transforméede Fourier 2 Les observables en Mécanique Quantique 3 Relations d’incertitude d’Heisenberg 4 Equation de Schrödinger en présence d’uneforce conservative 5

Mécanique analytique - Dunod

mécanique classique au sein des facultés et des écoles aux niveaux Licence 3 et Master L’évolution de notre système éducatif, à travers le renversement idéologique entre ( i )la volonté d’abstraction et d’axiomatisation systématique des années 1970 et ( ii ) l’actuel

Une équation fondamentale en mécanique des fluides : l

U kmh et D m≈ ≈1 1−1 On trouve un nombre de Reynolds de l’ordre de: Et est égal au produit de la taille et de la vitesse caractéristiques sur la viscosité cinématique ν Par exemple, pour cette petite nageuse mesurant 1 m qui avance à1 km/h : 2 e 2 ( ) R ( ) U vgradv D DU DU v U D ρ ρ ρ η ν η η ν ρη = ≈ = = = ∆

Cours Mécanique des fluides compressibles

a d a d dp 2 2 = = dρ dp a = Dans le cas d’un gaz idéal et pour une perturbation infinitésimale, le déplacement de l’onde est isentropique donc pv γ=cte et en différenciant, on obtient : rT p d dp γ ρ γ ρ = = donc finalement : a =γrT AN : pour l’air à 15°C a ≈340 m/s (1224km/h) Attention : T est obligatoirement en °K

Mécanique ventilatoire

a – 2 Le volume de réserve inspiratoire « VRI » : Volume d’air mobilisable lors d’une inspiration profonde et forcée a – 3 Le volume de réserve expiratoire « VRE » : Volume d’air mobilisable lors d’une expiration profonde et forcée a – 4 Capacité vitale : C’est la somme de tous les volumes sus cités :

MESURE,DE,L,IMPULSION,D'UNE,PARTICULE•Projet : comment trouver la vitesse vou l'impulsionp?mvd'une particule quantique ?•Resultatprobabiliste comme pour la position•On introduit la fonction d'onde dans l'espace des positions.•Il y a un lien de transforméede Fourier entre et •Notions sur la transforméede FourierIntroduction à la mécanique ondulatoire5MUpTMUpT

n UfT? G T M THP MTHP fUtTe MiPM n T t dtS Animation de la synthèseadditive d'un signal carrépar augmentation du nombred'harmoniques.x carre UtT? 1 M M M k?G sinUPMUPkMGTftT

UPkMGT

1 M E sinUPMftTO G L sinU'MftTO G 2 sinUGRMftTOááá C

INTRODUCTION,A,LA,TRANSFORMEEDE,FOURIERIntroduction à la mécanique ondulatoire8•Question: Peut-on toujoursexprimerunefonctionnon-périodiquegUxTde L2commeunesommecontinue d'exponentiellesoscillantes?•OUI ! On saitmêmedonnerles coefficients :M•En Physique on utilise les notations suivantes (en 1D) : On se placera dans l'espace de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l'infini.MME

MUpT(?

G M PEM M OM EM CUxTe

EipxHM

dx TFSC M

INVERSION,DE,LA,TRANSFORMEEDE,FOURIER•On sait donc que l'on peut exprimerunefonctionnon-périodiquede L2commeunesommecontinue d'exponentiellesoscillantes dont les coefficients sont : A partir de la fonction d'onde dans l'espace position, on peut donc calculer la fonction d'onde dans l'espace impulsion.•Inversement, peut on retrouver la fonction d'onde si on connait sa transformée de Fourier ?Et bien OUI ! C'est la formule d'inversion de la TF : On dit que est la TF directe de et la TF réciproque de Introduction à la mécanique ondulatoire9MUxT

MUpT(?

G M PEM M OM EM CUxTe

EipxHM

MUxTMUpTMUpTMUxTMUpTMUxT

DEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(I)La transforméede Fourier estuneisométrie:Théorèmede Parseval-Plancherel.Celaimplique: estde carrésommablessil'estaussi. Pour construireun paquetd'onde, on choisiradoncdes coefficients de carrésommable. Danscecasestautomatiquementunefonctiond'ondephysiquementacceptable ! Deuxcaslimites(on y reviendra) : •Approximation d'uneondeplane. •Approximation d'uneparticulebienlocalisée. Introduction à la mécanique ondulatoire10MM

G |M P E?ME G |E P E

ProduitscalaireDEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(II)Dérivationet transforméede Fourier.Introduction à la mécanique ondulatoire11On part deOn dérivesous l'intégrale:On en déduit:Dériverpar rapport àx dansl'espace position correspond àmultiplier par dansl'espaceimpulsion A QUELFACTEURMULTIPLICATIFDANSL'ESPACEDES POSITIONS CORRESPOND LA DERIVATION DANSL'ESPACEDES IMPULSIONSA.B.C.D.

DEFINITION,DES,OBSERVABLES•A toute grandeur physique Aon peut associer uneobservable åS •åestun opérateurlinéairehermitienagissantdansl'espacedes fonctionsd'onde.Hermitiensi: On géneralisealorsles resultatsprécedentsàla valeurmoyenned'un observable pour un grand nombrede réalisations: Commeåesthermitienalorsestréel.•A noter: on verraau cours3 queles seulesvaleurspossibleslorsd'unemesured'uneobservable åsontles valeurspropresde åSIntroduction à la mécanique ondulatoire15M

M M G UxT E AM P UxT C dx? M E AM G UxT C M M P UxTdx MaE

ProduitscalaireMaE

t M M M Ur,tT E AMUxT C dx x x x IiM I M M P I ixpHM

PAQUETD'ONDESIntroduction à la mécanique ondulatoire19Paquet d'ondes : Onde planeParticule bien localiséeOn a toujours :PRINCIPE,D'INCERTITUDE,D'HEISENBERGPaquetd'ondes:On voit que: estla TF de (et vice-versa)Les mathématiciens nous disent queavec et et Introduction à la mécanique ondulatoire20MxMpM

M P Mp? M Mp P ECMpE P Mx? M Mx P ECMxE P D'oùvient le caractèrequantique decette inégalité?Mp n E? M p n |MUpT| P dx

QUESIGNIFIEA.Le produitde la resolution des mesuresde x et de p doittoujoursêtreplus grand queB.Il estimpossible de prépareruneparticuledansun tatoùsaposition et son impulsion sontsimultanmentarbitrairementbiendfinies. C.Le paquetd'ondes'étaledansle temps.D.Si vousmesurezla position d'uneparticulevousperturbezson impulsion.MxMpM

M P MHP

EQUATION,DE,SCHRODINGER,POUR,UNE,PARTICULE,LIBREOn a :On cherche une méthode générale de résolution en utilisant la TF.Introduction à la mécanique ondulatoire22iM

MEUx,tT

Mt ?M M P Pm M P

EUx,tT

Mx P P

EUx,tT

Mx P ME p P M P

CUp,tTiM

MEUp,tT

Mt p P Pm

EUp,tT

|MUp,tT| P ?|MUp,RT| P

EQUATION,DE,SCHRODINGER,POUR,UNE,PARTICULE,LIBREIntroduction à la mécanique ondulatoire23On a obtenu en fonction dePour trouver il suffit de faire une TF inverse de :La condition initiale se déduitde la fonctiond'ondedansl'espacedes positions àt?R:Mthodegnralede rsolutionde lÕquationde SchroMdingerpour uneparticulelibreMUp,RTMUx,tT

MUp,RT?

G M PEM M OM EM

CUx,RTe

EipxHM

MUp,RT

RESOLUTION,DE,L'EQUATION,DE,SCHRODINGER•Equation généraleen présenced'uneforce conservative•Etatsstationnaires: étatspropresde l'Hamiltonien•Passage d'une marche de potentiel•Un effet purement quantique : l'effet tunnelIntroduction à la mécanique ondulatoire24

MEUx,tT

Mt ?M M P Pm M P

EUx,tT

Mx P

MUx,tTMEiM

EMUx,tT

Ex iM

MEUx,tT

Mt P Pm

EUx,tT

H? P Pm iM ME Mt HE ME Mt HE H? P Pm iM

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Mt ?M M P Pm M P

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Mx P H? P Pm

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H HM M UxT?E M M M UxTE M

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