Travaux dirigés corrigés Mécanique du Point Matériel
ℜ En tout point M(x,y,z) de l’espace, on définit une quantité physique f telle que : ( fx,y,z )= r2 avec r= OM et OM xi yj zk r = + + 1 Calculer le gradient du champ scalaire f, gradf, et la différentielle totale de f, df 2 Montrer qu’en tout point M, df= grad fd OM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire) 3
Examens corrigés Mécanique du Point Matériel
7) Exprimer, en fonction de ϕ, l’abscisse curviligne s de M, comptée à partir du point correspondant à ϕ = 0 On donne s(ϕ=0)=0 8) En déduire la longueur totale de la trajectoire décrite par M Exercice 2 : (12 Ppoints) Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur L
Exercices et Controˆles Corrig´es de M´ecanique du Point Mat
1 1 Exercices 5 1 Etablir les ´equations horaires du mouvement des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) et y(t) En d´eduire l’´equation de la tra-jectoire y= f(x) 2 Calculer la vitesse des ´electrons au point A, ~vA, en fonction de v0,l et γ0 En d´eduire l’angle α= d (~i,~v A) 3 Quelle est la nature de la
Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel
Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M BOURICH 6 Exercice 1 1- Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur (1,2,2) 2- Pour quelles valeurs de a les vecteurs (1,0,a), (a,1,0) et (0,a,1) sont-ils coplanaires ? Corrigé : On commence par normer le vecteur donné
MECANIQUE DU POINT MATERIEL - التعليم الجامعي
100 EXERCICES CORRIGES (Enoncés en arabe et en français) LEXIQUE DE TERMINOLOGIE (français-arabe, Arabe-français) MECANIQUE DU POINT MATERIEL iv Sommaire
Mécanique du point matériel Cours et exercices
Ce polycopie de cours et exercices de mécanique du point matériel est un moyen pédagogique destiné aux étudiants de la première année sciences et technologie (ST) du système LMD, il peut servir comme un support au cours dispensé aux étudiants
Exercices corrigés
Mécanique du point matériel Exercices corrigés Analyse dimensionnelle Application Période d’un pendule simple Intuitivement, on peut penser que la période P d’un pendule simple (figure 1) pourrait dépendre de la longueur l du fil, de la masse m du corps et de l’accélération de la pesanteur g
��Exercices et examens r�solus: M�canique du point
Title: ��Exercices et examens r�solus: M�canique du point mat�riel Author: hp Created Date: 12/14/2015 2:43:04 PM
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Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016
CHAPITRE1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices
1.1.1Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs?A(3,2⎷2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et?C(1,2,2).1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB
et?uCdes directions, respectivement, de?A,?Bet?C.2. Calculer cos(
??uA,?uB), cos(??uB,?uC) et cos(??uC,?uA), sachant que les angles sont com- pris entre 0 etπ.3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.
4. En d´eduire sin(
??uA,?uB), sin(??uB,?uC) et sin(??uA,?uC). V´erifier ces r´esultats en utili- sant la question 2.5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm´ee?1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
SoitR(O,?i,?j,?k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (?er,?eθ,?e?).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.
2. Calculer
∂?e r 3Rappels et compl´ements math´ematiques
3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.
4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre
sous la forme d?e en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR.5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `aR? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.6. Consid´erons un vecteur
?V=Vr?er+Vθ?eθ+V??e?. En utilisant les r´esultats pr´ec´e- dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ?Vpar rapport `aR1.1.3Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les troissyst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les
r´esultatsde l"exercice 2Consid´erons un rep`ere cart´esienR(O,?i,?j,?k). Soient (?eρ,?e?,?k) et (?er,?eθ,?e?) respective-
ment les bases cylindrique et sph´erique. SoitMun point rep´er´e par--→OMpar rapport `a
R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal deMenM?tel queM?est tr`es proche deM. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par--→OM?---→OM=d---→MM?=d--→OM
1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar
rapport `aRdans la base cart´esienne.2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base
cylindrique.3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base
sph´erique--→OM=r?er, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRet ce dans cette base.1.1.4Tube cathodique
On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d"un osilloscope. Les ´electrons arrivent enOavec une vitesse?v0=v0?iet traversent les plaques de d´eviation P1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une
acc´el´eration uniforme?γ0=γ0?jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L"´ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l"exercice les grandeurs vectorielles dans la base cart´esienne. la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est?vAet fait un angleαavec?i. L"acc´el´eration des ´electrons entre les pointsAetEest nulle. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1. Etablir les ´equations horaires du mouvement
des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) ety(t). En d´eduire l"´equation de la tra- jectoirey=f(x).2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,
?vA, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire
l"angleα=?(?i,?vA).3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-
trons entreAetE? En d´eduire les ´equations horairesx(t) ety(t). D´eterminer la d´eviationδen fonction dev0,letγ0.
y xO j i 1P 2 P l D=5lδ E Aα1.1.5Exercice
Un v´ehicule, que l"on peut consid´erer comme un point mat´erielM, se d´eplace parrapport `a un r´ef´erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse?V(M/R) telle que|?V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr´esent´e pary=f(x). On s"int´eresse au segment de la route [A,B].1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction
de xet de la d´eriv´ee premi`eref?(x) = df(x)/dxpar rapport `ax.2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-
duire que la composante de l"acc´el´eration selonOypeut se mettre sous la forme y(M/R) =v2f??(x) (f?2+ 1)2 f ??(x) ´etant la d´eriv´ee seconde def(x) par rapport `ax. AB M y x O y=f(x)1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L"objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kroneckerδij1et le tenseur de Levi-Civita?ijk2.Les indicesi,j,k? {1,2,3}´etant donn´e
que l"on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.1. la fonction de Kronecker est d´efinie par
ij=?1 sii=j0 si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par
ijk=???0 si au moins deux indices sont ´egaux1 si (i,j,k)?{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)} -1 si (i,j,k)?{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm´ee (?e1,?e2,?e3). La propri´et´e d"or- thonormalit´e de la base se traduit par?ei·?ej=δij, qui seront utilis´es dans la suitede l"exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs?A(a1,a2,a3),?B(b1,b2,b3) et?C(c1,c2,c3).
1. Montrer que le produit scalaire
?A·?B=? i=1,3aibi.2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que
A??B=?
i,j,k? ijkajbk?ei.3. Montrer que le produit mixte
A·(?B??C) =?
i,j,k? ijkaibjck.4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer
A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C
5. Montrer que
??A??B?·??C??D?
=??A·?C???B·?D? -??A·?D???B·?C?1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs?V1(1,1,0),?V2(0,1,0) et?V3(0,0,2).1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2
et?v3des directions respectivement de?V1,?V2et de?V3.2. Calculer cos(
??v1,?v2), sachant que l"angle correspondant est compris entre 0 etπ.3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois
grandeurs?1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
Consid´erons la position d"un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (?i,?j,?k),(?eρ,?e?,?k) et (?er, ?eθ, ?eφ) respectivement les bases cart´esienne, cylindrique et sph´erique
associ´ees `a ce rep`ere. Le tenseur poss`ede les propri´et´es suivantes, que l"on neva pas d´emontrer i,j? ijk?ijl=δklet? i? ijk?ilm=δjlδkm-δjmδkl. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices7
1. Calculer
∂?e2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.
3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se
mettre sous la forme d?eρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?
en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant
les r´esultats de la question pr´ec´edente, d´eduire les expressions de d?e r dt,d?eθdtetd?eφdt.1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne
On effectue un test d"acc´el´eration sur une voiture arrˆet´ee au d´epart (vitesse initiale
v0= 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.
1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.
1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.
2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?
1.1.10Exercice : Excès de vitesse
Un conducteur roule `a une vitesse constantev0= 120 km h-1sur une route r´ecti-ligne d´epassant la limite autoris´ee. Un gendarme `a moto d´emarre `a l"instant o`u la voiture
passe `a sa hauteur et acc´el`ere uniform´ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h-1 au bout de 12s.