Mecanique quantique Cours et exercices corriges
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Mecanique Quantique Cours Et Exercices Corriges
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Premier exercice : (7 points) Oscillateur mécanique
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Espaces de Hilbert - Université Paris-Saclay
cipe de superposition en mécanique quantique; équations différentielles ordinaires; élec-tromagnétisme Ce chapitre vise principalement l’étude des espaces vectoriels qui sont de dimension infinie Ils interviennent fréquemment en Analyse Le corps des scalaires de tous les espaces vectoriels considérés sera toujours supposé
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Espaces de Hilbert
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Sud, France
Dans ce chapitre, on commence par étudier l"espace de Hilbert concret et tangible2CC1, avant d"introduire le concept général au moyen d"une définition mathématique
abstraite.1. Espace vectoriel complexe hermitien concretCnen dimension finie
Les espaces vectoriels sont omniprésents en mathématiques : algèbre linéaire; matrices;déterminants; schémas numériques pour les équations différentielles; et en physique : prin-
cipe de superposition en mécanique quantique; équations différentielles ordinaires; élec-
tromagnétisme. Ce chapitre vise principalement l"étude des espaces vectoriels qui sont de dimensioninfinie. Ils interviennent fréquemment en Analyse. Le corps des scalaires de tous les espaces vectoriels considérés sera toujours supposé égal àRou, le plus souvent, àC. Soit doncEun espace vectoriel surC(ou surR). Leséléments deEsont des
vecteursque l"on peut : additionner :v+w2Esiv;w2E; multiplier par des scalaires :v2Esi2C(ou2R) etv2E.Définition 1.1.
Une normejj jjsurEest une application à valeurs positives :E3v7! jjvjj 2[0;1[
satisfaisant : positivité stricte :jjvjj= 0si et seulement siv= 0; invariance par dilatation :jjvjj=jjjjvjjpour tout2C(ou2R) et toutv2E; inégalité triangulaire :jjv+wjj6jjvjj+jjwjjpour tousv;w2E. La positivité stricte exclut que certains vecteurs non nuls puissent avoir une longueur nulle. Ensuite, l"invariance par dilatation est exigible pour des raisons à la fois structu- rales (compatibilité avec la multiplication par des scalaires) et "physiques» (changementd"unité de mesure). Enfin, l"inégalité triangulaire n"est pas seulement calquée sur la géo-
métrie élémentaire dans le plan, elle exprime surtout une compatibilité du comportement avec l"additionv+w, et aussi, elle jouera un rôle technique crucial en tant que moyen de comparaison dans tous les calculs de majorations qui vont suivre.Par exemple, pour tout entiern>1, l"espace :
R n=f(x1;x2;:::;xn):xi2Rg 12FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
est canoniquement muni de la norme diteeuclidienne: jj(x1;x2;:::;xn)jj:=q x21+x22++x2n:
On peut aussi munirRnd"autres normes (vérifier que les trois axiomes sont satisfaits) : maxjx1j;:::;jxnjou encore :jx1j++jxnj: x 2 x 1 0 1 1 x 2 x 1 0 1 1 x 2 x 1 0 1 1 fjx1j+jx2j<1g q x21+x22<1
max(jx1j;jx2j)<1 En fait, sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, toutes les normes sontéquivalentesentre elles au sens suivant.Proposition 1.2.
[Équivalence des normes en dimension finie]Soientjj jj1etjj jj2deux normes quelconques sur un espace vectoriel réel ou complexeE. Si la dimension deEest finie : dimE <1; alors il existe deux constantes0< c6C <1telles que : cjjvjj26jjvjj16Cjjvjj2; pour tout vecteurv2E. Géométriquement parlant, les boules unitésjjvjj161etjjvjj261pour les deux normes deviennent contenues l"une dans l"autre après une dilatation (contraction) appro- priée : disque dans un carré; carré dans un disque. Cet énoncé exprime que, de toute majoration : jjvjj16quelque chose; obtenue avec la première norme, on peut déduire une majoration analogue : jjvjj26même chose à la constanteCprès; avec la deuxième norme, etvice-versa.Démonstration.
On traite le cas d"unR-espace vectorielE. Sin:=dimE>0, on sait que E=Rn. Puisque le casn= 0est trivial, supposonsn>1.Fixons alors une norme de référence surRn:
jxj:=maxjx1j;:::;jxnj; laquelle le munit de sa topologie standard. Il suffit de faire voir que toute norme quelconquejjxjjsurRnest équivalente àjxj, puisque "être des normes équivalentes» est une relation
d"équivalence (exercice). Si(e1;:::;en)est la base canonique deRn, en termes de laquelle tout vecteurx= (x1;:::;xn)s"écritx=x1e1++xnen, il vient par inégalité triangulaire : jjxjj6jx1jjje1jj++jxnjjjenjj6Cjxj;
1.Espace vectoriel complexe hermitien concretCnen dimension finie3
où la constanteC:=P ijjeijjest finie. Il reste à trouver0< c <1telle quecjxj6jjxjj pour toutx. Observons que l"inégalité valable pour tousx;y2Rn:xy6Cxy; montre la lipschitzianité, donc la continuité de l"application : R n3z7! jjzjj 2R+: Soit maintenant la 'sphère" unité pour la norme de référence : S jj:=x2Rn:jxj= 1; qui est frontière de l"hypercube compact[1;1]n. Étant image inverse du ferméf1g, cette 'sphère"Sjjest fermée, donc compacte. Par conséquent, la restriction àSjjde l"applicationcontinuez7! jjzjjy atteint son minimum : c:=minjxj=1jjxjj=jjxjj; en au moins un certain pointx2Sjj. Orx6= 0n"estpasl"origine deRn puisque062Sjj, doncjjxjj>0, d"où nous déduisons que l"inégalité visée est au moins vraie surSjj: c1 =cjxj6jjxjj(8jxj=1) Pour unx2Rnnf0gnon nul quelconque, en appliquant cette inégalité au vecteurx jxjqui appartient àSjj, il vient : cx jxj6x jxj; d"oùcjxj6jjxjjaprès pulvérisation des dénominateurs. LorsqueEest unC-espace vectoriel, avecn:=dimCE, on se ramène àR2n. Quand on travaille en dimension finien>1sur le corps des nombres complexesC= R+p1Rau lieu deR, il faut remplacer la norme euclidienne ci-dessus par la norme dite
hermitienne: jj(z1;z2;:::;zn)jj:=q jz1j2+jz2j2++jznj2; où l"on a bien entendu : jzkj2:=x2k+y2k(k=1n); si chaque nombre complexezkest décomposé en partie réelle et partie imaginaire : z k=xk+p1yk(k=1n):
Contrairement à ce qui va se passer en dimension infinie pourC1, dansCn, la sommePn i=1jzij2converge toujours, et de plus, on peut définir un produit scalaire dit hermitien par la formule : hz;wi:=z1 w 1+z2 w 2++zn w n; où pour toutwk=uk+p1vk, le nombre complexe conjugué est :
w k:=ukp1vk(k=1n);
tant : jjzjj=p hz; zi: On constate aisément que ce produit hermitien satisfait les propriétés suivantes.4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
Lemme1.3.
et tous;2C, on a : (i) hw;zi= hz;wi; (ii) hz0+z00;wi=hz0;wi+hz00;wi, hz; w0+w00i=hz;w0i+hz;w00i; (iii) hz;wi=hz;wi, hz;wi= hz;wi; (iv) hz;zi 2R+; (v) hz;zi= 0 =)z= 0.En renversant les rôles, ces cinq propriétés élémentaires peuvent aussi être envisagées
comme cinq axiomes définissant la notion de produit hermitien abstrait sur un espace vec- toriel complexe de dimension finie. Dans le cas d"unR-espace vectoriel, les barres de conjugaison disparaissent.Maintenant, dehors la dimension finie!
2. Espace hermitien concret`2CC1en dimension infinie
infinie, i.e. qui ne sont pas de dimension finie, car ils seront très utiles en Analyse où l"on
regarde des espaces de fonctions. Contrairement à la dimension finie, sur les espaces vectoriels de dimensioninfinie, toutes les normes ne sontpaséquivalentes.