[PDF] Méthodes de lissage exponentiel

Méthodes de lissage exponentiel

Méthode classique: lissage exponentiel I Le lissage exponentiel est simple et intuitif; c’est l’ancêtre des méthodes plus modernes de séries chronologiques I Il demeure utile afin de motiver les nouveaux modèles, avec les outils vus jusqu’à maintenant I Considérons z1;:::;zn une série chronologique, réalisation de fZt;t 2Zg

Prévision à court terme : méthodes de lissage exponentiel

- Appliquer les méthodes de lissage exponentiel à des séries chronologiques réelles ; - Choisir la méthode de prévision adaptée à une série chronologique ; - Mise en œuvre des méthodes de lissage exponentiel à l'aide d'un logiciel de calcul (Microsoft Excel, OpenOffice Calc), choix des paramètres de lissage ;

Méthodes de lissage exponentiel

Méthode classique: lissage exponentiel I Le lissage exponentiel est simple et intuitif; c’est l’ancêtre des méthodes plus modernes de séries chronologiques I Il demeure utile car simple à mettre en oeuvre avec un chiffrier électronique I On retrouve les méthodes de lissage dans les ouvrages de gestion, pour ne citer que ces exemples

S´eries chronologiques Pr´evision par lissage exponentiel

Le lissage exponentiel simple (LES) Mod`ele consid´er´e : X t = a +ǫ t Soit 0 < β < 1, on cherche la meilleure (au sens des MC pond´er´es) pr´evision cte Xˆ T(h) i e la solution de min a TX−1 j=0 βj(X T−j −a)2 D´efinition La pr´evision de la s´erie `a l’horizon h, Xˆ T(h), fournie par la m´ethode de lissage exponentiel

Méthode : Lissage exponentiel

S112 Organisation et suivi de production Prévision Lycée CHEVALIER D’EON-TONNERRE-BTS Assistance Technique Ingénieur Page 1 Méthode : Lissage exponentiel Les méthodes classiques 'étudier donnent la même importance aux observations quelque soit leur niveau d'ancienneté On remarque bien souvent que le passé récent a beaucoup plus

Lissages Exponentiels - Département de Mathématiques d’Orsay

On peut voir le lissage exponentiel comme une méthode de prévision mais également, comme son nom remarque la formule de mise à jour du lissage exponentiel

Méthodes de prévision des ventes

importante et plus la tâche (de prévision) est délicate Plus l’historique est ancien, moins il est fiable La méthode de lissage exponentiel Faire évoluer alpha de 0 à 1 pour retenir le coefficient qui permet de réduire l’erreur Saisonnière sans tendance ni saisonnalité Quasiment jamais utilisée

Chapitre 2: Prévisions des ventes - LOMAG-MAN Org

Lissage Exponentiel Une méthode classique et populaire de prévision est le lissage exponentiel, la prévision courante est une moyenne pondérée de la dernière prévision et de la valeur courante de la demande: FD Ftt t=+−αα−−11()1 où α, le coefficient de lissage se situe entre 0 et 1 Présenté de manière différente:

Introduction à la méthode statistique - Dunod

D Inconvénients de la méthode des moyennes mobiles 110 IV Correction des variations saisonnières 111 A Modèle additif 111 B Modèle multiplicatif 112 C Autres approches 113 V Un exemple de décomposition d’une série chronologique 113 A Schéma additif 114 B Schéma multiplicatif 116 VI Les méthodes de lissage exponentiel 118

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Méthodes de lissage exponentiel

I Typiquement dans un modèle de régression, on dispose des observations(yt;xt),t=1;:::;n, avecnla taille de l"échantillon. I On a alors formulé un modèle linéaire de la forme y t=x>t+t: I Pour faire des prévisions à l"instantt0, on avait cependant besoin dext0.

Données mesurées dans le temps: séries

chronologiques I Il y a des situations où l"on dispose que d"une série de données. I Lorsque les données sont mesurées dans le temps, il est anticipé que ces données soient dépendantes. I L"hypothèse de l"échantillon aléatoire (X1;:::;Xniid) devient alors douteuse. I Lorsque les données sont mesurées dans le temps, on dira queX1;:::;Xnest une série chronologique. I Formellement, une série chronologique est une réalisation finie d"un processus stochastique.

Calcul des prévisions

I Que faire si l"on dispose que d"une série de données et que l"on désire faire des prévisions? I Une stratégie consiste à utiliser le passé de la variable, ou l"historique. I En utilisant le passé de la variable, en expliquant la dépendance dans les données, on cherche à proposer des prévisions.

Méthode classique: lissage exponentiel

I Le lissage exponentiel est simple et intuitif; c"est l"ancêtre des méthodes plus modernes de séries chronologiques. I Il demeure utile afin de motiver les nouveaux modèles, avec les outils vus jusqu"à maintenant. I Considéronsz1;:::;znune série chronologique, réalisation defZt;t2Zg. I Un modèle possible est d"expliquerZtpar le temps lui-même: Z t=f(t;) +t; oùf(t;)est une fonction connue, fonction du temps, et les erreursftgsont non-corrélées.

Exemples

I Dans le cas non-saisonnier, on pourrait considérer: Z t=+t;modèle avec moyenne constante; Z t=0+1t+t;modèle avec tendance linéaire; I

Cas saisonnier:

Z t=0+1sin(2t=12) +2cos(2t=12) +t; c"est un exemple de modèle sinusoidal; Z t=12X j=1 jIft2périodeig+t;modèle avec indicatrices; avecIft2périodeigvalant un sitest dans la périodei, i=1;:::;12.

Méthodes d"estimation

I Une première méthode d"estimation pourrait être les moindres carrés ordinaires: min nX t=1fztf(t;)g2 I On verra cependant qu"une méthode plus naturelle consistera à utiliser les moindres carrés pondérés: min nX t=1w tfztf(t;)g2 I

Leswtsont des poids, qui sont choisis tels qu"ils

décroissent de manière exponentielle: w t=wnt;t=1;:::;n:

Choix du coefficientw

I Le coefficientwdoit être choisi par l"utilisateur. I Il aura un impact direct sur l"importance des observations récentes relativement aux données passées. Par exemple w=0:9. I Ce cadre des moindres carrés pondérés avec ce choix de poids mène à la méthode générale du lissage exponentiel.

Modèle avec moyenne constante

I Considèrons le modèleZt=+t. Sous forme matricielle on aura alors: Z=1+; avecZ= (Z1;:::;Zn)>et1= (1;:::;1)>. I

La variable à l"horizonlest alors:

Z n+l=+n+l: I

La prévision pourZn+lest alors:

Z n(l) =; en autant quesoit connu.

Estimation dedans le modèle avec moyenne

constante I Si on utilise les moindres carrés ordinaires, on trouve: = (X>X)1X>y; = (1>1)11>Z; =n1nX t=1Z t; Zn: I

On note queZn=Pn

t=1f(1=n)Ztg. I L"utilisation des moindres carrés entraîne que chaque observation a un poids de 1=n.

Modification des poids

I

Les donnéesztsont observées dans le temps.

I Intuitivement, il semble raisonnable d"attribuer plus de poids aux observations récentes, et moins aux observations passées. I Une façon: pondérer de façon que les poids décroissent géométriquement dans le temps. I

Cette idée amène la prévision suivante:

zn(l) =c z n+wzn1+w2zn2+:::+wn1z1 avecw2(0;1)etcPn1 t=0wt=1.

Justification théorique

I En fait, si on considère le problème des moindres carrés pondérés suivant: min n1X j=0w jfznjg2 I

Les moindres carrés pondérés donnent:

= (X>W1X)1X>W1y; =P n1 j=0wjznjP n1 j=0wj;

1w1wnn1X

j=0w jznj; avecX=1= (1;:::;1)>,y= (zn;:::;z1)>et

W=diag(1;1=w;:::;1=wn1).

Facteur d"amortissement

I

Òn rappelle quecPn1

t=0wt=1. I Utilisant les résultats sur les séries géométriques: n1X t=0w t=1wn1w; I

Puisquew2(0;1), ceci implique:

c=1w1wn!1w; lorsquen! 1. I

Typiquementw2(0:7;0:95).

Étude en fonction dew

I Avecc=1w1wn, on remarque que la prévision devient: zn(l) =1w1wn z n+wzn1+w2zn2+:::+wn1z1 I Le poids associé à chaque donnée est donc1w1wnwj. On aura: lim w!11w1wn=00 lim w!11nwn1=1n I Siwest proche de un, tous les poids sont grands ou plutôt de même importance (et proches de 1=n). I Les prévisions seront lisses et on parlera d"un lissage fort. I Siw<<1, les prévisions vont reposer sur les dernières données; ce sera moins lisse. Astuce décisive: connaissance du passé infini I La prévision devrait dépendre sur les donnéesz1;:::;zn: zn(l) =1w1wn z n+wzn1+w2zn2+:::+wn1z1 I

Cependant, compte tenu quewn!0 rapidement, et

compte tenu d"astuces théoriques, il est souvent commode de supposer que l"on dispose de tout l"historique: zn(l) = (1w) z n+wzn1+w2zn2+::: où l"on s"est permis de laisser tendren! 1et donc

1w1wn!1w, lorsquen! 1.

Premier lissage des observations

I

La prévision:

zn(l) = (1w) z n+wzn1+w2zn2+::: est appeléepremier lissage des observations. I

Le facteur=1west appeléeconstante de lissage.

I On a mentionné quew2(0:7;0:95), donc typiquement

2(0:05;0:3). Ce sont des règles empiriques.

I

Le premier lissage est parfois notéSn:

S n=1X j=0w jznj;8l1: I

On note queSnest indépendant de l"horizonl

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