Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
1 Suites majorées, minorées, bornées
La fonction f est continue (c'est une fonction affine) L est donc solution de l'équation f (x)=x donc L=1+ 1 2 L On en déduit que 1 2 L=1 soit L=2 2 Divergence des suites monotones Propriété : Si une suite est croissante et non majorée alors elle a pour limite + ∞ Si une suite est décroissante et non minorée alors elle a pour
Notions de fonction - WordPresscom
par un scalaire et la aleurv absolue d'une fonction Relation d'ordre: On dira que f g sur I lorsque 8x 2 I;f(x) g(x) Dé nition d'un ensemble (de réels) majoré, minoré, borné Bornes sup et inf d'un ensemble de réels Dé nition d'une fonction majorée, minorée, bornée Bornes sup et inf d'une fonction Min et max Exemples et exercices
Bornes dans R - Weebly
n)est majorée, M =sup n∈N u n ⇐⇒ ˆ ∀n ∈ N, u n 6M ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N/M −ε < u n0 Exemple 1 Soit pour n >1 : u n = (−1)n + 1 n Montrer que (u n) est bornée et calculer ses bornes 3 4 Cas des fonctions Définition (pour une fonction) Si f est une fonction majorée sur I, on peut définir le plus petit des majorants de f
L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS - bagbouton – PTSI
est majorée si elle possède (au moins) un majorant A est majorée a On dit que est minorée si elle possède (au moins) un minorant est minorée a On dit que est bornée si elle est majorée et minorée Exemple : Les intervalles de : b a, où et b deux réels tels que ab, sont bornés 2) Maximum, minimum
Généralités sur les fonctions 1 Fonctions réelles
Soit f une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à 0 La fonction f est paire si, et seulement si, pour tout x ∈ Df,f(−x) = f(x) Son graphe est alors symétrique par rapport à la droite d’équation x = 0 La fonction f est impaire si, et seulement si, pour tout x ∈ Df,f(−x) = −f(x)
LES SERIES NUMERIQUES - WordPresscom
- Suite bornée : Une suite numérique est bornée si et seulement si elle est minoré et majorée à la fois Propriété 1 : - Toute suite croissante et majorée est convergente - Toute suite décroissante et minorée est convergente - Toute suite monotone et non-bornée est divergente Propriété 2 +: Une série ≥0
L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS - bagbouton – PTSI
Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que A est majorée si elle Un sous ensemble de même minoré n’admet pas nécessairement de
PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
proceedings of the american mathematical society volume 102, number 3, march 1988 le dual des fonctions holomorphes integrables sur un domaine strictement pseudo-convexe
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Bornes des fonctions
DedouFevrier 2012
Fonctions majorees
Certaines fonctions sont majorees (par un nombre, bien s^ur) et d'autres ne le sont pas.Exemple
La fonction cosinus est majoree par 1 (et d'ailleurs aussi par 2), tandis que la fonction exponentielle n'est pas majoree du tout.Exo corrige Donnez un autre exemple de fonction majoree et de fonction non majoree.Fonctions minorees
Certaines fonctions sont minorees (par un nombre, bien s^ur) et d'autres ne le sont pas.Exemple
La fonction exponentielle est minoree par 0 , tandis que la fonction logarithme n'est pas minoree du tout.Exo corrige Donnez un autre exemple de fonction minoree et de fonction non minoree.Fonctions bornees
Certaines fonctions sont majorees et minorees
on dit qu'elles sont bornees.Exemples
La fonction sinus est bornee. Les fonctions logarithme et exponentielle ne le sont pas.Exo corrige Donnez un autre exemple de fonction bornee et de fonction non bornee.Maximum d'une fonction
Certaines fonctions majorees atteignent leur maximum.Et d'autres ne l'atteignent pas.
Exemples
La fonction cosinus atteint son maximum en 0. La fonction x7! exn'atteint pas son maximum, bien qu'elle soit majoree par0.Exo corrige
Donnez un exemple de fonction qui, bien que minoree, n'atteint pas son minimum.Borne superieure d'une fonction
La fonctionx7! exn'atteint pas son maximum,mais si elle l'atteignait, ce serait 0! Ce nombre est le plus petit des
majorants de cette fonction. On dit aussi que c'est sa borne superieure.Denition a) La borne superieure d'une fonction majoreef, notee supf, est le plus petit de ses majorants (il y en a toujours un). b) La borne superieure d'une fonction non majoree est +1.Exo corrige Donnez la denition de la borne inferieure, inff, d'une fonctionf.