Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1
Généralité sur les fonctions
La fonction ℎ dans l’ativité 2 est majorée par 1 et minorée par −1 La fonction dans l’ativité 1 est minorée Montrer par absurde que ne peut pas être majorée Propriété : Si est une fonction majorée par ???? alors elle majorée par tout nombre ????′ tel que : ????′ R????
Notions de fonction - Mathématiques en TPC1
par un scalaire et la aleurv absolue d'une fonction Relation d'ordre: On dira que f g sur I lorsque 8x 2 I;f(x) g(x) Dé nition d'un ensemble (de réels) majoré, minoré, borné Bornes sup et inf d'un ensemble de réels Dé nition d'une fonction majorée, minorée, bornée Bornes sup et inf d'une fonction Min et max Exemples et exercices
AN 1 Inégalités, fonctions, calcul différentiel et intégral
Majorer, minorer et estimer sont au fondement de l’Analyse2 Il faut avoir les bons réflexes pour en-cadrer une expression Pour une somme de réels ou d’un produit de réels positifs, on encadre chacun 1 Seule l’addition est compatible au sens de l’Algèbre avec la relation d’ordre 2
Suites et s´eries de fonctions Analyse complexe
(partie enti`ere) qu’on ne peut pas minorer d’une mani`ere ind´ependante de x: On dit que la suite ( f n ) n converge simplement vers la fonction f d´efinie par : f ( x ) = 1 (b) Sur ]0 ;
Intégration sur un segment
Si fest une fonction continue et positive sur [a,b], alors son intégrale sur [a,b] est positive, autrement dit, fě 0 ùñ ż [a,b] fě 0 Proposition 10 - Positivité de l’intégrale Démonstration La fonction identiquement nulle sur [a,b] est une fonction en escalier qui minore f ce qui donne immédiatement le résultat
Cours de Statistique asymptotique
Soit f une fonction continue born ee (par homog en eit e on peut supposer que kfk 1= 1) Soit >0 x e et Iun rectangle ferm e v eri ant P(X =2I) Comme Iest compact la fonction f est uniform ement continue sur I Ainsi il existe >0 tel que jx yj =) jf(x) f(y)j ; 8(x;y) 2I2 Par compacit e on peut recouvrir Ipar un nombre ni de boules (I j)
Dérivation et intégration des fonctions de R dans K
accroissements finis, afin de pouvoir minorer la valeur absolue du taux d’accroissement, et non pas avec l’inégalité) Remarques •Ce théorème ne permet pas de prolonger par continuité la fonction f′ sur I: une fois la fonction fdéfinie sur I, si a∈I, l’éventuelle dérivabilité de fen aest fixée Si fest dérivable en a, ce
SUITES et SERIES DE FONCTIONS - F2School
Une suite (f n) n≥1 de fonctions converge uniformément sur chacun des intervalles [a,b] et ]b,c] Montrer qu'elle converge uniformément sur [a,c] Exercice 4 On considère une fonction f dont la dérivée est uniformément continue sur un intervalle [a, + &[ Montrer que la suite de terme général n f
Internet Archive
Fonction d´efinie de IR dans IR Limites Continuite´ Propriet´ ´es des fonctions continues sur un intervalle D´efinitions Monotonie, parite et p´ ´eriodicit e´ Applicatio
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Majorer, minorer, encadrer
D´edou
F´evrier 2011
Encadrer un nombre par deux nombres
Face `a un nombre qu"on ne connaˆıt pas super bien, commeπ, on l"encadre :Cet encadrement se d´ecompose en
dont on dit que c"est une majoration (deπ) et dont on dit que c"est une minoration (deπ).Le majorant et le major´e
majoreπ.Il y a aussi le point de vue sym´etrique3.15 est le minor´e etπest le minorant. On dit alors queπminore
3.15.Le major´e ou le minor´e est le nombre auquel on s"int´eresse, selon le
point de vue.Encadrer une fonction par deux nombres
On encadre (majore, minore) un nombre qu"on ne connaˆıt pas super bien, commee. On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction. Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions.ExempleLa fonctionx?→1x
2+1est comprise entre 0 et 1.Exo 1
Encadrer la fonction sinus (par deux nombres).
Encadrer une expression par deux nombres
Parfois, on veut encadrer (majorer, minorer) une expression d´ependant d"une variable (par des nombres ne d´ependant pas de cette variable).ExemplePourx?[-1,2],x2est compris entre-1 et 5.Exo 2
Encadrerx2+ 1 pourx?[-2,3].Encadrer l"expressionf(x) pourx?I, c"est pareil qu"encadrer la fonctionf(restreinte `aI.Encadrer une fonction par deux fonctions
Parfois, on veut encadrer une fonction par deux autres.Exemple
La fonctionx?→x3+ sinxest encadr´ee par les deux fonctions croissantesx?→x3-1 etx?→x3+ 1.Exo 3 Encadrerx?→exsinxpar deux fonctions monotones.Encadrer= majorer + minorer
Majorer et minorer, c"est pareil, au sens des in´egalit´es pr`es.Majorer et minorer, c"est pareil
y"a que le sens de l"in´egalit´e qui change.Si on sait majorer, on sait minorer,
et comme "encadrer" c"est "majorer" plus "minorer", on sait aussi encadrer.On va donc surtout parler de "majorer", mais il faudra savoir adapter `a "minorer".Majorer versus comparer
La diff´erence entre majorer et comparer, c"est qu"on a deux nombres (ou fonctions) dans le second cas, et un seul dans leMajorer une fonction
Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et ´eventuellement conclure.Exemple Une fonctionfayant le TV suivant est major´ee par 70.x-∞ -7 3 4 +∞4 66 f(x)? ? ? ?2-7 1Exo 4
Minorer la fonction pr´ec´edente au vu de son TV.Plus petit majorant
x-∞ -7 3 4 +∞4 66 f(x)? ? ? ?2-7 1Au vu du TV ci-dessus
dire que la fonction est major´ee par 70 c"est juste mais d´ebile. La bonne info, c"est que son plus petit majorant est 66. Exo 5 Quel est le plus grand minorant de cette fonction?Majorants et op´erations
Proposition
SiMest un majorant defetNun majorant deg, alors
M+Nest un majorant def+g.SiMest un majorant defetNun majorant deg,avecfet gpositives, alorsMNest un majorant defg.SiMest un majorant defetNunminorant strictement positifdeg,avecfetgstrictement positives, alorsMN est un majorant de fg .SiMest un majorant def, alors-Mest un minorant de-f.Majorer une somme
Pour majorerf+g,on majorefetg, puis on ajoute les majorants.Exemple Pour majorerx2+ sinxavecx?[-3,2], je majorex2par 9 et sinxpar 1, et je conclus que la somme est major´ee par 10.Exo 6Majorerx2+x3avecx?[-4,1].
Majorer un produit de positifs
Pour majorerfg,avecfetgpositives,on majorefetg, et on multiple les majorants.Exemple Pour majorerx2exavecx?[-3,2], je majorex2par 9 etexpar 32= 9, et je conclus que le produit est major´e par 81.Exo 7
Majorer (x+ sinx)(7-x) avecx?[2,4].
Majorer un produit quelconque
Pour majorerfg,avecfetgquelconques,on utilise quefgest major´e par sa valeur absolue|fg|qui est aussi
le produit de positifs|f|.|g|.Exemple Pour majorerx2sinxavecx?[-3,2], je majorex2(qui est positif donc ´egal `a sa valeur absolue) par 9 et|sinx|par 1, et je conclus que le produitx2sinxest major´e par 9.Exo 8Majorerexcosxavecx?[-3,2].
Majorer une valeur absolue
Il faut donc savoir majorer une valeur absolue, et en particulier lavaleur absolue d"une somme ou d"une diff´erence.Pour majorer|f+g|ou|f-g|,on majore|f|et|g|, puis on ajoute les majorants (mˆeme pour
|f-g|).Exemple Pour majorerx2sinxavecx?[-3,2], je majorex2(qui est positif donc ´egal `a sa valeur absolue) par 9 et|sinx|par 1, et je conclus que le produitx2sinxest major´e par 9.Exo 8