[PDF] X Maths B MP 2019 — Corrigé - prepamagfr

Opérations sur les dérivées - normale sup

Exercice 1 En utilisant le formule pour la dérivée d'une fonction réciproque, calculer les dérivées des fonctions arccos, arcsin, arctan Exercice 2 Soit f(x) = x5 +2x+1 (a) Montrer que fest une bijection de R vers R Elle admet donc une fonction réciproque, que l'on notera g (b) Expliquer pourquoi gest dérivable

Dérivationetétudedefonctions - Mathazay

dérivée d’une fonction f définie sur R montrée au lycée Exerciceno15 Opérations:inverse Soient u et v deux fonctions définies et dérivables

Exemples d’utilisation des fonctions du Kit ETS MB

pour la fonction linéaire par morceaux montrée dans une figure, la fonction « droite2D » pourrait vous être utile En se rappelant que, dans une page de calcul, un point doit être entré comme un vecteur, on va trouver que le graphe illustré à la figure 1a) a été

Introduction à la fonction exponentielle

Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle Mais cette fonction est sans intérêt Notre objectif est d’en rechercher d’autres 2 Théorie : de l’importance de la condition initiale Supposons qu’il existe une fonction f, non nulle, definie et derivable sur Rtelle que : f′ =f sur R 1

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d’une fonction Ce sont des ensembles qui généralisent la notion de dérivée de cette fonction On fait donc le lien entre ces nouvelles notions et la notion clas-sique de dérivée Lorsque les fonctions ne sont pas dérivables, le sujet propose de réécrire les sous-différentiels et sur-différentiels avec une définition utilisant les

Cours de maitrise de math, MMB B2 Notes succintes

C'est encore une forme bilinéaire symétrique en chaque point de R3 Remarque Permet de dé nir la dérivée seconde d'une fonction Maisca n'est pas possible sans une connexion Situation di érente de la dérivée première, qui peut se dé nir sans métrique et sans connexion

Fonctions d’ondes moléculaires

et donc une fonction d’onde k On remarquera qu’avec une base de p OA, on obtient p OM et p niveaux d’énergie 3 Les solutions du système (3) ne sont définies qu’à une constante multiplicative près qui est déterminée par la condition de normalisation de 1 et 2

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d’une fonction Ce sont des ensembles qui généralisent la notion de dérivée de cette fonction On fait donc le lien entre ces nouvelles notions et la notion clas-sique de dérivée Lorsque les fonctions ne sont pas dérivables, le sujet propose de réécrire les sous-différentiels et sur-différentiels avec une définition utilisant les

X Maths 1 PC 2001 — Corrigé - prepamagfr

1 b On sait que lorsqu’on dérive une fonction paire (resp impaire), on obtient une fonction impaire (resp paire) Dès lors, pour tout entier k et pour toute fonction f paire et suffisamment régulière, d2kf dx2k sera paire et d2k+1f dx2k+1 sera impaire Puisque le polynôme x2 −1 n est pair et qu’on le dérive n fois pour obtenir P n,

[PDF] Montrer

[PDF] Montrer : la peur, l'énervement, la joie, & la tristesse dans un dialogue

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[PDF] montrer définition

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[PDF] Montrer l'importance de l'adaptation d'impedence

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X Maths B MP 2019 - Corrigé

Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (professeur en CPGE); il a été relu par Hugues Zuber (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l"université). Ce sujet propose une généralisation de l"étude qualitativedes équations différen- tielles. En effet, la recherche moderne dans le domaine des équations différentielles

introduit des notions généralisant la notion de dérivabilité vue et étudiée au lycée ou

dans les études supérieures. Ainsi, il est possible de transformer la notion d"équation différentielle en une équation fonctionnelle où la dérivée ne figure plus. Ces outils

arrivent parfois à montrer l"existence ou l"unicité des solutions là où le théorème de

Cauchy-Lipschitz est impuissant.

•Dans la première partie, on étudie une équation différentielle d"ordre 1 non linéaire (car une valeur absolue y est présente). On montre qu"elle n"a pas de solution de classeC1(cas de non existence) sur son domaine de définition. En revanche, elle admet deux solutions si on relâche la contrainte en0(cas de non unicité). Cette partie est plutôt facile, mais devait être rédigée avec rigueur. •La deuxième partie propose l"étude des sous-différentiels et des sur-différentiels d"une fonction. Ce sont des ensembles qui généralisent la notion de dérivée de cette fonction. On fait donc le lien entre ces nouvelles notions et la notion clas- sique de dérivée. Lorsque les fonctions ne sont pas dérivables, le sujet propose de

réécrire les sous-différentiels et sur-différentiels avec une définition utilisant les

limites ainsi que les bornes supérieures et inférieures. Enfin, lorsque la fonction est concave, il existe une description encore plus simple des sur-différentiels.

•L"équation différentielle du début du sujet peut être remplacée par une équation

fonctionnelle. Pour cela, la dérivée est remplacée par les sous/sur-différentiels étudiés dans la partie précédente. Dans la troisième partie, cette équation fonc- tionnelle est scindée en deux inéquations fonctionnelles que l"on étudie. On éta- blit une inégalité entre deux fonctions vérifiant chacune l"une des deux inéqua- tions fonctionnelles. •Dans la dernière partie, un cas particulier de l"équation fonctionnelle est étudié. On se ramène ainsi à l"équation différentielle étudiée dans la première partie. On montre l"unicité de la solution en utilisant les résultats de la partie précé- dente. C"est un sujet long et technique; la rédaction de certaines questions est longue et pénible si on veut la faire proprement. De plus, quelques questions demandent de prendre beaucoup d"initiatives. Une des difficultés majeures est qu"il faut savoir appréhender de nouvelles notions, comme les sur/sous-différentiels ou les sur/sous- solutions, dans un temps court. Une excellente maîtrise deslimites avec les quan- tificateurs, des bornes supérieures et du maniement des inégalités est indispensable pour bien traiter ce sujet. En revanche, ce problème propose une démarche très intéressante car utilisée en

recherche mathématique: généraliser la notion de dérivabilité. Cette idée est l"un des

fondements de la théorie des distributions et de l"optimisation convexe.

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Indications

Partie I

1a Siu?a un signe constant au voisinage deysimplifier la valeur absolue et dériver

à nouveau l"équation.

1b Étudier le taux d"accroissement deu?.

2 Résoudreu??=uavec les conditions initiales.

Partie II

4 Par double inclusion: pour la première inclusion, utiliser le fait que si une fonc-

tionfa un extremum en un pointx0intérieur à son domaine de définition, alorsf?(x0) = 0. Pour la seconde inclusion, poser?=u.

5a Soitψ1tel queu-ψ1ait un minimum local enx0. Modifierψ1pour que sa

valeur enx0corresponde à ce qui est demandé.

5b Comparer les taux d"accroissement enx0de?1et?2en séparant bien les

casx > x0etx < x0. Puis appliquer le théorème d"encadrement entre les taux d"accroissement deu,?1et?2enx0.

6a Étudieru-?x0,ren particulier ses limites aux extrémités deIx0(r)pour montrer

que sa valeur maximum est atteinte surIx0(r).

7a Écrire la définition dep?D+u(x0)avec une fonction?puis utiliser le dévelop-

pement limité à l"ordre 1 de?enx0.

7b Comme(3)est supposée vraie, il existe au moins unε0>0tel que la borne

supérieure dans(3)existe bien. Quandεvarie, comparer ces bornes supérieures. Ne pas hésiter à introduire des notations supplémentaires.

7c Étudier la continuité à droite et à gauche de?en tout point deR?+.

7d Entreret2r, minorer?.

7e Utiliser l"inégalité démontrée en7bet ce l"on sait surρpour construire une

fonctionψtel queu-ψait un maximum local enx0.

9 Montrer queD+u(x0)est convexe et appliquer la caractérisation séquentielle des

fermés.

10c Utiliser le résultat de 10b ainsi que la décroissance despentes montrée en 10a.

Partie III

12 Appliquer le théorème de Heine àuetvet utiliser la continuité deωen0.

13 ComparerΦη(xη,yη)àΦη(x0,x0).

14b Supposer que|xη|= 1, puis minorer/majorer|xη-yη|en utilisant ce qui précède

pour trouver une contradiction.

14c Écrire queΦηa un maximum en(xη,yη)pour trouver?une fonction dont la

dérivée enxηva satisfaire la définition deD+u(xη).

Partie IV

16d Montrer que0?D-u1(0). En déduire queu1n"est pas sur-solution de(1).

16e Considérer une autre sur-solution et sous-solution et appliquer le résultat de la

question 15.

18a Soituune solution de(5), résoudreusur des intervalles sur lesquelsu?a un

signe constant. Puis considérer un point sur lequelu?change de signe après avoir prouvé qu"un tel point existe.

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Partie I

1aCommeuest de classeC1sur[-1;1], l"applicationx?→ |u?(x)|=-u(x)l"est

également. Soity?[-1;1]tel queu?(y)?= 0. Il y a deux cas: •Siu(y)>0, alors, par continuité deueny, il existe un voisinageJdeytel que pour toutx?J∩I,u(x)>0. Ainsi, pour toutx?J∩I,u(x) +u?(x) = 0. Par conséquent,u?=-usurJet commeuestC1surJ, on en déduit queu? l"est également. Ainsi,u?C2(J∩I), prouvant queuest de classeC2au voisinage dey. En dérivant la relationu?=-usurJ∩I, on obtientu??=-u?.

En particulier,

u ??(y) =-u?(y) =-|u?(y)| •De même, siu(y)<0, alors, par continuité deueny, il existe un voisinageJ deytel que pour toutx?J∩I,u(x)<0. Ainsi,u?=usurJet commeuest de classeC1, surJ, on en déduit queu?l"est également. Par conséquent,uest de classeC2au voisinage deyetu??=u?. En particulier,u??(y) =u?(y) =-|u?(y)|. La fonctionx?→ |u?(x)|estC1([-1;1]). De plus, pour touty?[-1;1], siu?(y)?= 0, alorsuestC2sur un voisinage deyetu??(y) =-|u?(y)|.

1bSoity?[-1;1]. Supposonsu?(y) = 0. En particulier,u(y) =-|u?(y)|= 0.

Calculons la valeur absolue du taux d"accroissement deu?eny. Soitx?[-1;1]?{y}:????u?(x)-u?(y) x-y???? =????|u?(x)|x-y???? -u(x)x-y???? =????u(x)-u(y)x-y???? Or commeuest dérivable enyde dérivéeu?(y) = 0, on en déduit que lim x→yu(x)-u(y) x-y= 0 La valeur absolue étant continue, on en déduit que lim x→y???? u?(x)-u?(y) x-y???? = limx→y???? u(x)-u(y)x-y???? = 0 Ceci prouve queu?est dérivable enyet queu??(y) = 0. En conclusion Siu?(y) = 0alors la fonctionu?est dérivable enyetu??(y) = 0.

2Soity?[-1;1]. Alors

•siu?(y)?= 0, alors en utilisant la question 1a,u??(y) =-|u?(y)|=u(y); •siu?(y) = 0, alors d"après la question 1b,u??(y) = 0 =-|u?(y)|=u(y). Dans tous les cas,u??(y) =u(y), d"oùu??=u. La fonctionu=u??étant continue, il vient queuest de classeC2sur[-1;1]. Finalement, La fonctionuest de classeC2sur[-1;1]et vérifieu??=u. Commeu??=u, on peut affirmer qu"il existe(A,B)?R2tel que ?x?[-1;1]u(x) = Aex+ Be-x En utilisant les conditions initiales et finales deu, il vient u(1) = Ae1+ Be-1=-1etu(-1) = Ae-1+ Be1=-1 Par différence,u(1)-u(-1) = 2Ash(1)-2Bsh(1) = 0

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© Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours4/30 Commesh(1)?= 0, il vientB =-A, ainsiu= 2Ach. En particulier,u(0) = 2A etu?(0) = 0. En utilisant la relationu(0) +|u?(0)|= 0, il en découle2A + 0 = 0 puisA = 0. Dès lors,uest la fonction nulle. Ceci contredit la conditionu(1) =-1.

Pour conclure

Il n"existe pas de fonctionu?C1([-1;1])vérifiant(2).

3Montrons queu0etu1vérifient les propriétés demandées:

•Les fonctions valeur absolue et exponentielle étant continues surR, on en dé- duit, par composition, queu0etu1sont continues sur[-1;1].

•u0(-1) =u0(1) =-1etu1(-1) =u1(1) =-1.

•Pour toutx?]0;1],u0(x) =-e-1+xetu1(x) =-e1-x. De même, pour toutx?[-1;0[,u0(x) =-e-1-xetu1(x) =-e1+x. On en déduit par composition queu0etu1sont dérivables sur[-1;1]?{0}avec?u

0?(x) =-e-1+xetu1?(x) = e1-xsix?]0;1]

u

0?(x) = e-1-xetu1?(x) =-e1+xsix?[-1;0[

d"où,u0(x) +|u0?(x)|=?-e-1+x+ e-1+x= 0six?]0;1] -e-1-x+ e-1-x= 0six?[-1;0[ et,u1(x) +|u1?(x)|=?-e1-x+ e1-x= 0six?]0;1] -e1+x+ e1+x= 0six?[-1;0[

On peut en conclure que

Les fonctionsu0etu1sont des fonctions deC0([-1;1])vérifiant pour toutx?[-1;1]?{0},u(x) +|u?(x)|= 0ainsi queu(-1) =u(1) =-1.

Partie II

4Supposonsude classeC1au voisinage dex0. Procédons par double inclusion.

Soitp?D+u(x0)(respectivementp?D-u(x0)), alors il existe?une fonction de classeC1au voisinage dex0avec??(x0) =pet telle queu-?admet un maximum local (respectivement un minimum local) enx0. Ainsix0est un extremum local deu-?. De plus,u-?est dérivable enx0comme différence de fonctions dérivables enx0. Notons, de plus, quex0est un point intérieur à l"ensemble de définition deu-?.

Donc(u-?)?(x0) = 0. Par conséquent

p=??(x0) =u?(x0)? {u?(x0)} Par suite,D+u(x0)? {u?(x0)}(respectivementD-u(x0)? {u?(x0)}). Réciproquement, montrons que le réelu?(x0)appartient àD+u(x0)et àD-(x0). Posons?=u. Dès lors,?est de classeC1au voisinage dex0, etu-?étant la fonction nulle,x0est bien un maximum local et un minimum local deu-?. Ainsi, u ?(x0) =??(x0)?D+u(x0)etu?(x0) =??(x0)?D-u(x0) Ceci montre que{u?(x0)} ?D+u(x0)et{u?(x0)} ?D-u(x0). Par double inclusion, il y a alors égalité entre ces trois ensembles. En conclusion, SiuestC1sur un voisinage dex0, alorsD+u(x0) = D-u(x0) ={u?(x0)}.

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