Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1
Généralité sur les fonctions
Quand une fonction est majorée sur son ensemble de définition, on se ontente de dire qu’elle est majorée Un majorant ???? d’une fontion sur n’est pas néessairement extremum absolu Dans la courbe ci-contre 4 est un majorant de mais pas un extremum asolu (Il n’ y a pas de réel qui vérifie que ( )=4)
G´en´eralit´es sur les Fonctions r´eelles `a variable r´eelle
Majorants et Minorants d’une fonction f Pour montrer qu’une fonction f est major´ee sur I Il s’agit de rechercher M ∈ Rtel que ∀x ∈ I on a f(x) ≤ M” Plusieurs m´ethodes sont alors possibles : 1 Par majorations successives en partant de x ∈ I 2 En effectuant l’´etude de la fonction f sur I 3
Savoir ÉTUDIER DES SUITES DINTÉGRALES
Lorsque le rang n est dans la fonction (son expression dépend de n), et les bornes sont fixes : par exemple, v n = ∫ a b f n (t) dt Ce que je dois savoir faire Montrer qu'une telle suite est convergente Si f admet une primitive F, alors u n = [ (t) ] 0 n = n) – (0) +∞ n→si cette expression a une limite quand ,
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Pour montrer qu'une suite réelle u est majorée (resp minorée), le cas échéant à partir d'un certain rang, on peut se ramener à la définition, en exhibant un majorant et en veillant à ce que le majorant considéré soit indépendant de n,
theoremes d analyse - Université Paris-Saclay
Voici une formulation ´equivalente du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires On rappelle que si E est un ensemble et f : E → R une application, son image f(E) = {f(t)t ∈ E} est l’ensemble des valeurs prises par f(t) lorsque t d´ecrit E Th´eor`eme 2 Soit I un intervalle non vide, f : I → R une fonction continue Alors f(I) est un
Savoir-Faire : Montrer qu’une suite est bornée
Savoir-Faire : Montrer qu’une suite est bornée Définitions : • (u n) est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, u n M • (u n) est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, u n m • (u n) est bornée si (u n) est à la fois majorée et minorée
Limites et fonctions continues - Exo7
Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une application f: UR, où U est une partie de R En général, U est un intervalle ou une réunion d’intervalles On appelle U le domaine de définition de la fonction f Exemple 1 La fonction inverse : f: ]1,0[[]0,+1[ R x 7 1 x Le graphe d’une fonction f: UR est la
Convexité - Licence de mathématiques Lyon 1
Notons qu'il est immédiat que f0 g (a) f0 d (a) pour tout a 2 R (la limite à gauche d'une fonction croissante est toujours inférieure à sa limite à droite); en particulier, si f est convexe alors f0 g et f0 d sont toutes deux des fonctions croissantes Théorème 7 11 Soit I un intervalle ouvert de R , et f : I R une fonction convexe
[PDF] montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse
[PDF] montrer qu'une matrice est nilpotente
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[PDF] montrer qu'une suite n'est pas géométrique
[PDF] Montrer que
THEOREMES D"ANALYSE
P. Pansu
12 avril 2005
1 Valeurs interm´ediaires
1.1 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
Th´eor`eme 1Soit[a,b]un intervalle ferm´e born´e. Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. On
suppose quef(a)<0etf(b)>0. Alors il existe au moins unc?]a,b[tel quef(c) = 0. une borne sup´erieurec. Montrons quec < b. Posons?=f(b). Par continu¨ıt´e `a gauche enb, il existeα >0 tel Montrons quef(c)≥0. Par d´efinition deA, pour toutx?]c,b],f(x)>0. En passant `a la limite, on trouve quef(c)≥0. Cela prouve en particulier quec > a.On conclut quef(c) = 0.
Remarque 1Sifprend, au sens large, des signes oppos´es aux extr´emit´es,fs"annule quelque part dans[a,b].En effet, sifs"annule `a l"une des extr´emit´es, il n"y a rien `a prouver.Sinon,fou-fsatisfait les
hypoth`eses du th´eor`eme. Exercice 2Soit[a,b] = [0,3]. On d´efinit une fonctionfsur[a,b]comme suit. ?f(x) =xpourx?[0,1], f(x) = 1 pourx?[1,2], f(x) =x-1 pourx?[2,3].V´erifier quefest continue. Laquelle, parmi les solutions de l"´equationf(x) = 0, la preuve ci-dessus
produit-elle? Dans la preuve, rempla¸consAparB={x?[a,b]|f(x)<0}. Que faut-il changer d"autre dans la preuve? Laquelle, parmi les solutions de l"´equationf(x) = 0, la nouvelle preuve produit-elle?Solution de l"exercice 2.Plusieurs racines.
fest continue sur chacun des intervalles [0,1], [1,2], [2,3], et les valeurs en 1 et 2 sont compa- tibles, doncfest continue sur [0,3]. Pour ce choix def,A= [0,2] etB= [0,1], donc la preuve du th´eor`eme donnec= 2. La preuve n"a pas besoin d"autre modification que le changement de d´efinitionA→B. Elle donnec= 1. 11.2 Interpr´etation g´eom´etrique
Voici une formulation ´equivalente du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. On rappelle que si
Eest un ensemble etf:E→Rune application, son imagef(E) ={f(t)|t?E}est l"ensemble des valeurs prises parf(t) lorsquetd´ecritE. Th´eor`eme 2SoitIun intervalle non vide,f:I→Rune fonction continue. Alorsf(I)est un intervalle. Preuve.Du th´eor`eme 1, il r´esulte que sic < dappartiennent `af(I), alors [c,d]?f(I). Autrement dit,f(I) est convexe. C"est donc un intervalle. Exercice 3Soitf:]a,b[→Rune fonction continue. On suppose quelimt→a+f(t) =-∞et lim t→b-f(t) = +∞. Montrer quefest surjective. Solution de l"exercice 3.Fonctions d´efinies sur un intervalle ouvert.Par d´efinition de la limite,f(I) n"est ni major´e ni minor´e. Le seul intervalle qui ait cette
propri´et´e, c"estRentier. Par cons´equent,f(I) =R, doncfest surjective.Fin du cours n02
Exercice 4Construire une fonction non continuef: [0,1]→Rtelle que, pour tout intervalleI?[0,1],f(I)est un intervalle.
Solution de l"exercice 4.R´eciproque du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. La fonction d´efinie sur ]0,1] parf(x) = cos(1/x), etf(0) = 0 n"est pas continue en 0. En effet, il existe deux suitesxn=12nπ,yn=1(2n+1)πtendant vers 0 et telles que les suitesf(xn) = 1 et
f(yn) =-1 poss`edent des limites distinctes. Pourtant, comme elle est continue sur ]0,1], pour tout intervalleI?]0,1],f(I) est un intervalle. SiI?[0,1] est un intervalle contenant 0, et non r´eduit `a{0}, alorsf(I) = [-1,1]. En effet,I contientxnetynpournassez grand, doncf(I) contientf([yn,xn]) = [-1,1].2 Bornes atteintes
2.1 Suites extraites
D´efinition 5Soit(un)n≥0une suite de nombres r´eels. Une suite de la forme(uφ(n))n≥0, o`u
φ:N→Nest une fonction strictement croissante, s"appellesous-suiteousuite extraitede(un). Remarque 6N´ecessairement,φ(n)≥n, donclimn→∞φ(n) = +∞. Exemple 7Les suitesu2n,u2n+1,un2sont extraites de(un). Proposition 8Si la suite(un)a une limite finie?(resp.+∞), alors toute sous-suite poss`ede la mˆeme limite. Preuve.Soit? >0. Par d´efinition, il existeNtel que n≥N? |un-?|< ?.Sin≥N,φ(n)≥n≥N, donc
n≥N? |uφ(n)-?|< ?.Autrement dit, lim
n→∞uφ(n)=?. C"est pareil pour la limite infinie. Remarque 9En revanche, il y a des cas o`u(uφ(n))converge mais(un)ne converge pas.Prendreun= (-1)netφ(n) = 2n.
22.2 Valeurs d"adh´erenceD´efinition 10Soit(un)une suite de nombres r´eels. On dit qu"un r´eelyest unevaleur d"adh´erence
de(un)si pour tout? >0et tout entierN, il existen≥Ntel que|un-y|< ?.Exemple 11Si une suite(un)est convergente, alors elle poss`ede une et une seule valeurd"adh´erence,
sa limite.Si?= limn→∞un, alors pour tout? >0, l"in´egalit´e|un-y|< ?est satisfaite pour toutnassez
grand. En particulier, si on se donne un entierN, elle est vraie pour au moins unn > N. Donc lalimite est une valeur d"adh´erence. Montrons qu"il n"y en a pas d"autres. En effet, siy?=?, posons
?=|y-?|/2. SoitNun entier tel que n≥N? |un-?|< ?.Pour toutn≥N,
|un-y| ≥ |?-y| - |un-?|>2?-?=?, ceci montre queyn"est pas valeur d"adh´erence.Exemple 12La suiteun= (-1)n+1
nposs`ede deux valeurs d"adh´erence,1et-1.En effet, ´etant donn´e? >0, l"intervalle ]1-?,1 +?[ contient tous les termes d"indice pair et>1
donc des termes de la suite d"indices arbitrairement grands. De mˆeme, ]-1-?,-1 +?[ contient tous les termes d"indice impair>1 ?. Donc 1 et-1 sont des valeurs d"adh´erence. Inversement, si y?= 1 et-1, il n"y a aucun terme de la suite au voisinage dey`a partir d"un certain temps.Exemple 13La suite z´ero-virgule. On d´efinit une suite(un)comme suit. On ´ecritnen base 10,
on ´ecrit devant0,. Autrement dit, pourn= 1,...,9, on poseun=n/10. Pourn= 10,...,99, on poseun=n/100. Et ainsi de suite : sinest compris entre10k-1et10k-1, on poseun=n.10-k. Alors l"ensemble des valeurs d"adh´erence de la suite(un)est l"intervalle[1/10,1]. Exercice 14Montrer qu"une suite qui tend vers+∞ne poss`ede aucune valeur d"adh´erence. Solution de l"exercice 14.Suites sans valeurs d"adh´erence. Soity?R. Posons?=|y|. Par d´efinition de la limite, il existeNtel que n≥N?un>2?.Sin≥N,
|un-y| ≥ |un| - |y|>2?-?=?, doncyn"est pas valeur d"adh´erence de la suite.Exercice 15Soit(un)une suite et(uφ(n))une suite extraite. Montrer que toute valeur d"adh´erence
de(uφ(n))est aussi valeur d"adh´erence de(un). Solution de l"exercice 15.Valeurs d"adh´erence et sous-suites. Soityune valeur d"adh´erence de (uφ(n)). Par d´efinition, pour tout? >0 et pour tout entier N, il existem≥Ntel que|uφ(m)-y|< ?. Posantn=φ(m), on constate quen≥Net que |un-y|< ?. Par cons´equent,yest valeur d"adh´erence de (un). Exercice 16Soit(un)une suite de r´eels. Soit??R. Interpr´eter les ´enonc´es suivants.1.?? >0,?Ntel que?n≥N,|un-?|< ?.
2.?? >0,?N,?n≥Ntel que|un-?|< ?.
33.?? >0,?N,?n≥N,|un-?|< ?.
4.?? >0,?N,?n≥Ntels que|un-?|< ?.
5.?? >0tel que?N,?n≥Ntel que|un-?| ≥?.
6.?? >0tel que?N,?n≥N,|un-?| ≥?.
7.?? >0tel que?N,?n≥Ntels que|un-?| ≥?.
8.?? >0,?Ntel que?n≥N,|un-?| ≥?.
Solution de l"exercice 16.Jongler avec les quantificateurs.1. signifie que lim
n→∞un=?.2. signifie que?est une valeur d"adh´erence de la suiteun.
3. signifie queun=?pour toutn.
4. signifie que?est ou bien ´egale `a l"un desun, ou bien une valeur d"adh´erence de la suiteun.
5. signifie que?n"est pas valeur d"adh´erence de la suiteun.
6. signifie qu"il existe un voisinage de?qui ne contient aucun point de la suiteun.
7. signifie que la suiteunn"est pas constante ´egale `a?.
8. signifie que?n"est pas valeur d"adh´erence de la suiteun.
Proposition 17Soit(un)une suite de nombres r´eels. Un r´eelyest valeur d"adh´erence de(un) si et seulement si il existe une sous-suite qui converge versy. Preuve.D"apr`es les exercices 11 et 15, les limites de sous-suites sont des valeurs d"adh´erence. R´eciproquement, soityune valeur d"adh´erence de (un). Posons?n=1 n. On construit par r´ecurrence une fonctionφstrictement croissante et telle que pour toutn, |uφ(n)-y|< ?n. Par hypoth`ese, il existem1tel que|um1-y|< ?1. On poseφ(1) =m1. Supposantφ(2),...,φ(n-1) d´efinis, on poseN=φ(n-1)+1. Par hypoth`ese, il existemn≥Ntel que|umn-y|< ?n. On poseφ(n) =mn. La fonction obtenue est strictement croissante. L"in´egalit´e|uφ(n)-y|< ?nmontre que
lim n→∞uφ(n)=y. Exemple 18Toute suite convergente extraite de la suiteun= (-1)neststationnaire, i.e. est constante au bout d"un certain temps.Fin du cours n03
2.3 Suites born´ees
Exercice 20Soit(un)une suite non born´ee de r´eels. Alors on peut extraire de la suite des valeurs
absolues(|un|)une sous-suite qui tend vers+∞.Solution de l"exercice 20.Suites non born´ees.
Par hypoth`ese, pour toutM, il existentel que|un| ≥M. Montrons par l"absurde que pour toutMet tout entierN, il existen≥Ntel que|un| ≥M. Sinon, il existeMetNtels que pour 4 donc la suite (un) est born´ee, contradiction. On construit par r´ecurrence surnune fonction strictement croissanteφ:N→Ntelle que|uφ(n)| ≥n. Par hypoth`ese, il existem=φ(1) tel que|uφ(1)| ≥1. Supposantφ(n-1) construit,
on applique la remarque pr´ec´edente `aM=netN=φ(n-1) + 1 : il existe unm≥φ(n-1) + 1tel que|um| ≥n. On pose doncφ(n) =m. Ceci fournit la suite extraite telle que|uφ(n)|tend vers
Th´eor`eme 3(Bolzano-Weierstrass). Une suite born´ee de r´eels poss`ede au moins une valeur d"adh´erence.
Autrement dit, elle poss`ede au moins une sous-suite convergente. par une infinit´e de termes de la suite, i.e. x?A? ?N?N,?n≥Ntel queun≥x. L"ensembleAcontient-M, il est non vide. Il est major´e parM. Montrons quey= supAest une valeur d"adh´erence de la suite. Fixons? >0 etNentier. Commey+? /?A, il existe unN?tel que n≥N??un< y+?. On peut supposer queN?≥N. En revanche, il existe un ´el´ementxdeAtel quex > y-?. Par |un-y|< ?. Ceci montre queyest valeur d"adh´erence. Corollaire 21Soit(un)une suite born´ee de r´eels qui ne poss`ede qu"une valeur d"adh´erence ?(autrement dit, pour toute suite convergente(uφ(n))extraite de(un), la limite est?). Alors lim n→∞un=?. Preuve.Par l"absurde. Supposons que (un) ne converge pas vers?. Il existe? >0 tel que, pour tout entierN, il existem≥Ntel que|um-y| ≥?.En appliquant de fa¸con r´ep´et´ee cette propri´et´e, on vaconstruire par r´ecurrence une fonction
strictement croissanteφ:N→Ntelle que pour toutn,|uφ(n)-y| ≥?. On pose d"abordN= 1, ce qui donne un entierm1et on poseφ(1) =m1. Supposantφ(2),...,φ(n-1) d´efinis, on pose N=φ(n-1)+1. Par hypoth`ese, il existemn≥Ntel que|umn-y| ≥?. On pose alorsφ(n) =mn.Comme (uφ(n)) est born´ee, elle admet au moins une valeur d"adh´erence (th´eor`eme 3), qui
est aussi une valeur d"adh´erence de (un) (exercice 15), donc c"est?, par hypoth`ese. Mais c"est impossible, caruφ(n)ne s"approche jamais de?. Contradiction.On conclut que lim
n→∞un=?. Exercice 22On consid`ere la suite de fonctionsfn(x) =x-e-nxcos(nx). Montrer que pour tout n≥1, il existeun?]0,1[tel quefn(un) = 0. Montrer queuφ(n)une sous-suite convergente. Montrer quelimn→∞uφ(n)= 0. En d´eduire quelimn→∞un= 0. Solution de l"exercice 22.Convergence des racines.Commefnest continue,fn(0) =-1
n<0,fn(1)≥1-e-1>0, l"´equationfn(x) = 0 poss`ede au moins une solutionun?]0,1[. Comme (un) est born´ee, le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass garantit que (un) poss`ede des sous-suites convergentes. Soituφ(n)une sous-suite convergeant vers?. Montrons par l"absurde que?= 0. On ´ecrit f φ(n)(uφ(n)) =uφ(n)-vno`uvn=e-φ(n)uφ(n)cos(φ(n)uφ(n)).Si? >0,φ(n)uφ(n)tend vers +∞, donce-φ(n)uφ(n)tend vers 0, et il en est de mˆeme devn. Par
suite, 0 =fφ(n)(uφ(n)) converge vers?, donc?= 0, contradiction. On a donc prouv´e que?= 0.On a montr´e que la seule valeur d"adh´erence de la suite (un) est 0. D"apr`es la proposition 21,
lim n→∞un= 0. 52.4 Th´eor`eme de la borne atteinteD´efinition 23SoitEun ensemble etf:E→Rune fonction major´ee. On notesupEf=
supf(E) = sup{f(x)|x?E}. Th´eor`eme 4SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue. Alors -fatteint ses bornes : il existec1,c2?Itel quef(c1) = min{f(x)|x?I},f(c2) = max{f(x)|x?I}. Preuve.Par l"absurde. Supposons quefn"est pas major´ee. Alors pour tout entiern, il existe xn?Itel quef(xn)≥n. En particulier limn→∞f(xφ(n)) = +∞. CommeIest born´e, on peut
extraire une sous-suitexφ(n)qui converge vers?. CommeIest ferm´e,??I. Par continu¨ıt´e,
limn→∞f(xφ(n)) =f(?), contradiction. On conclut quefest major´ee. Pour la mˆeme raison,fest
minor´ee, donc born´ee. SoitA={f(x)|x?I}etM= supA. On sait qu"il existe une suite (´eventuellement sta- tionnaire)yn?Aqui converge versM. Par construction, il existexn?Itel quef(xn) =yn. De nouveau, on extrait une sous-suitexφ(n)qui converge vers??I. Par continu¨ıt´e,f(?) = lim n→∞f(xn) =M. Pour la mˆeme raison, la borne inf´erieure est atteinte. Corollaire 24SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue. Alorsf(I)est un intervalle ferm´e born´e.Preuve.D"apr`es le th´eor`eme 2,f(I) est un intervalle. On sait d´esormais que cet intervalle est
born´e et contient ses bornes, il est de la forme [m,M] o`um= minIf,M= maxIf. Exercice 25SoientIetJdes intervalles non vides deR. Dans quels cas existe-t"il une fonction continue surIdont l"image estJ? En donner un exemple, dans chaque cas.Solution de l"exercice 25.Images d"intervalles.
On remarque que tout intervalle ouvert deR(resp. semi-ouvert ou ferm´e semi-born´e, resp.ferm´e born´e et non r´eduit `a un point, resp. r´eduit `a un point) est l"image deR(resp. deR+, resp.
de [0,1], resp. de{0,0}) par une bijectionhcontinue dont la r´eciproque est continue. En effet, - siI=]a,b[, poserh(x) =a+bex 1+ex, - siI=]- ∞,b[, poserh(x) =b-ex, - siI=]a,+∞[, poserh(x) =a+ex, - siI= [a,b[, poserh(x) =a+bx 1+x, - siI=]a,b], poserh(x) =b+ax 1+x, - siI=]- ∞,b], poserh(x) =b-x, - siI= [a,+∞[, poserh(x) =a+x, - siI= [a,b], poserh(x) =a(1-x) +bx. Cela permet de limiter le tableau `a double entr´ee (I,J) `a 4 intervalles.I\JRR+[0,1]{0}
Rxx2sin2x0
R+xsinxxsin2x0
[0,1]x0 {0}x Les cases vides du tableau correpondent aux couples (I,J) pour lesquels il n"existe pas de fonction continue surId"imageJ. Corollaire 26SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue, `a valeurs strictement positives. Alors il existem >0tel quef≥m. 6 Preuve.Posonsm= infIf, de sorte que pour toutx?I,f(x)≥m. D"apr`es le th´eor`eme 4, il existec?Itel quem=f(c). Par cons´equent,m >0.Exercice 27Soitfune fonction continue surR, `a valeurs strictement positives, telle quelimx→-∞f(x) =
lim x→+∞f(x) = +∞. Montrer qu"il existem >0telle quef≥m.