Exo7 - Exercices de mathématiques

Suites 1 Convergence

Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n∈N d´eﬁnie par u n = (−1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang Exercice 5 Soit H n = 1+ 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int´egrale

Suites réelles - Mathématiques en ECS1

Exercice 5 6 Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire Soient (u n) n2N et (v n) n2N deux suites convergentes de limites respectives let l0 Alors 1 La suite (u n+ v n) n2N est convergente de limite l+ l0 2 Pour tout réel , la suite ( u n) n2N est convergente de limite l ce qui peut s'écrire lim n1 ( u n

Fiche dexercices numéro 10 Suites numériques - 1

1 Montrer qu'une suite convergente est bornée La réciproque est-elle vraie? 2 Montrer qu'une suite convergente d'entiers est nécessairement stationnaire, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel Ntel que 8n> N; u n= u N Exercice 2 : Soit (u n) une suite réelle Montrer successivement : a)Si u n0, alors v n=: u 0+:::+u n n+10 b)Si u

Chapitre 4 { Suites num eriques { Exercices d’entra^ nement

Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang Corrections des exercices Exercice 1 1 Vraie Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et admet la m^eme limite 2 Faux Un contre-exemple est la suite (u n) n d e nie par u n = ( 1)n Alors (u 2n) n est

TD2 d’Analyse (DUMI2E) Suites r eelles

1 Montrer qu’une suite convergente est born ee 2 Montrer que si une suite est convergente, alors sa limite est unique 3 Montrer que toute suite extraite d’une suite divergente tendant vers 1 est divergente et tend vers la m^eme chose Exercice 2 [Cours] - 1 Montrer que toute suite d’entiers convergente est stationnaire - 2 Soit (u n)

Propriétés - Suites monotones

Écrire avec les quanti cateurs la dé nition d'une suite divergente Exercice 3 Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire à partir d'un certain rang Exercice 4 Montrer que toute suite convergente est bornée Exercice 5 Montrer que si (u n) nest une suite arithmétique de premier terme aet de raison r, alors 8n2N , u n

TD 12 : Suites numØriques - mpsi2-champofr

Exercice 12 3 Montrer qu’une suite un n2N à valeurs dans Z est convergente si et seulement si elle est stationnaire PD Que dire alors de la limite de un? Exercice 12 4 Théorème des segments emboîtés PD Soit an;bn n une suite décroissante (au sens de l’inclusion) de segments non vides de R et dont les longueurs tendent vers 0 lorsque

Exo7 - Exercices de mathématiques

Montrer que toute suite convergente est bornée Indication H Correction H Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang Indication H Correction H Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n2N déﬁnie par u n =( 1)n + 1 n n’est pas convergente

Université Paris 1 - L1 Miash

1 Montrer que les suites a et b sont monotones, en déduire qu'elles convergent 2 Montrer que la suite u converge ssi les suites a et b ont la même limite Exercice 5 Soit (u n) n∈ℕ une suite réelle 1 On suppose que (u 2n) n∈ℕ et (u 2n+1) n∈ℕ convergent , la suite (u n) n∈ℕ est-elle alors convergente ? 2 On suppose que (u

1 G¶en¶eralit¶es - pagesperso-orangefr

Th¶eorµeme 6 Une suite convergente a une unique valeur d’adh¶erence Exercice 3 Montrer qu’une suite p¶eriodique convergente est n¶ecessairement constante Exercice 4 Montrer que si u est une suite num¶erique telle que (u2n)n2N; (u2n+1)n2Net (u3n)n2Nsont convergentes, alors u est convergente 4 Le critµere de Cauchy

Suites

1 Convergence

Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.

Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par

u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.

Montrer que un+q=unpour toutn2N.

2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.

SoitHn=1+12

++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.

En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.

Déterminer la limite de Hn.

4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 1

5.Conclusion ?

On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par

f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.

Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest

l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.

Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:

Exercice 8Posonsu2=112

2et pour tout entiern>3,

u n= 112
2 113
2 11n 2

Calculerun. En déduire que l"on a limun=12

Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en

quelques mots la méthode employée. 1.

1 ; 12

;13 ;:::;(1)n1n 2.

2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::

0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::

4. 1n 2+2n

2++n1n

2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.

1+3+5++(2n1)n+12n+12

7. n+(1)nn(1)n 2 8.

2n+1+3n+12

n+3n 9.

1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;

q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113
+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.

Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16

n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.

On considère les deux suites :

u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:

Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de

RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n

On se propose de montrer que(un)tend verspa.

Montrer que

u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.

En déduire que la suite (un)converge verspa.

4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.

Si u1pa6ket pourn>1 montrer que

u npa62pa k2 pa 2n1 6.

Application : Calculer

p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.

Soientaetbdeux réels,a récurrente(un)ndéfinie par : u

02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):

1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers

une solution de l"équationf(x) =x.

2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :

0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u

n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes.

4.Application.Soit

u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2:

Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.

Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2

Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :

a6a+b2

6beta6pab6b:

Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 suivante : u n+1=pu nvnetvn+1=un+vn2 (a)

Montrer que un6vnquel que soitn2N.

(b)

Montrer que (vn)est une suite décroissante.

Soitn>1.

Montrer que l"équation

nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3.

Montrer que (an)converge vers12

Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie

pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux

: regardez lesnN(pour lequel on utilise notree=1).Indication pourl"exer cice2 NÉcrire la convergence de la suite et fixere=12

. Une suite eststationnairesi, à partir d"un certain rang, elle est

constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge !

Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute

sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le

prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes.

Indication pour

l"exer cice

6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :

1n+16Z

n+1 ndtt 61n
2.

Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque

d"un coté on calculeHnet de l"autre les termes s"éliminent presque tous deux à deux. 3.

La limite est +¥.

Calculer un+1un.

Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des

valeurs intermédiaires. L"unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante.

Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il

faut montrer que`=a.Indication pourl"exer cice8 NRemarquer que 11k

2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.

2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.

Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq

alors multiplier l"inégalitéuq6pq

6vqparq! et raisonner

avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur .

Pour montrer la décroisance, montrer

un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4.

Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).

Raisonner par récurrence.

6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4

suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer

que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté.

Petites manipulations des inég alités.

3. (a)

Utiliser 1.

(b)

Utiliser 2.

(c)

Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1:

C"est une étude de la fonction fn.

On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En

calculantfn(12 )montrer que la suite(an)est minorée par12 3. Une fois établie la con vergencede (an)vers une limite`, composer l"inégalité12

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