VECTEURS E 3C
Montrer que MA + MB = 2 MI EXERCICE 3C 4 ABC est un triangle, G est le centre de gravité de ce triangle Montrer que GA + GB + GC = 0 (On pourra utiliser la propriété démontrée dans l’EXERCICE 3C 3, et se souvenir que le centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane en partant du sommet) EXERCICE 3C 5
Prof : Abdessattar El-Faleh
GA GB GC 0 JJJG JJJG JJJG G 1°) a- Montrer que GB GC GA 2 c JJJG JJJG JJJJG b- En déduire que AG GA 2 c JJJJG JJJJG 2°) Montrer de même que BG GB 2 c JJJJG JJJJG et que CG GC 2 c JJJG JJJJG 3°) En déduire que les trois médianes sont concourantes en ( Le point est appelé centre de gravité du triangle ) EXERCICE N°06: Soit un
Exercices trait s Le plan euclidien
a) Montrer l’existence d’un unique point G, appelé centre de gravité du trian-gle ABC, tel que l’on ait GA GB GC 0+ + = b) Soit I le milieu de BC Montrer que G appartient au segment AI et que l’on a 2 3 AG AI=== c) Déduire de ce qui précède que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes Solution — a) Fixons une
PROF: ATMANI NAJIB
Soit A et B deux points distincts Dans chacun des cas suivants, justifier que le point G défini par l’égalité vectorielle donnée est le barycentre d’un système de points pondérés que l’on précisera 1) 2GA GB+3=0 JJJGJJJGG 2) GA GB=−5 JJJGJJJG 3) 1 5 AG AB GB+= JJJGJJJGJJJG Exercice n°2
Exercices - Moutamadrisma
2) Démontrer que GA GI 0 En déduire la position de G sur (AI) Exercice 10 ABC est un triangle On note G le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, 1) Le but de l’exercice est de déterminer la position précise du point G 1) Soit I le milieu de [BC] Démontrer que GB GC 2GI
Exercices sur les barycentres
2) Démontrer que GA GI 0 En déduire la position de G sur (AI) Exercice 10 ABC est un triangle On note G le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, 1) Le but de l’exercice est de déterminer la position précise du point G 1) Soit I le milieu de [BC] Démontrer que GB GC 2GI
DS DE MATHEMATIQUES 04 – 11 – 2014 1° S Rouge et Bleue
7) a) Calculer les coordonnées du point G tel que GA GB GC= 0 b) Calculer les coordonnées de I milieu de [AB] c) Montrer que IG= 1 3 IC Que représente G pour le triangle ABC ? EXERCICE 2 : ( 4 pts) Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O; i, j on donne les droites d'équations :
TD BARYCENTRE AVEC CORRECTION - AlloSchool
que : 23AC AG GB 1)montrer que G le barycentre de : {( , 1); ( , 1); ( , 2)} et construire le point Solution : 2 3 2 3 0AC AG GB AC AG GB 2 3 0 2 0 AG GC AG GB AG GB GC AG GB GC GA GB GC2 0 2 0 2 Donc G le barycentre de : {( , 1); ( , 1); ( , 2)} On a :® bc AG AB AC a b c a b c Donc :
PROF: ATMANI NAJIB
0 34 GA GB−= JJJG JJJGG est équivalente à 21 12 12 0 8 3 0 34 GA GB GA GB − =×⇔ − = JJJGJJJGGJJJGJJJGG (De manière générale on peut multiplier tous les coefficients du système par un même réel non nul) Ceci supprime les fractions, et rend le calcul vectoriel ou l’application de la formule AG AB β αβ = + JJJG JJJG
Énoncé Composition Mathématiques S 2015 - Concours Général
1° a) Montrer qu’il existe un unique point G tel que ¡¡ GA¯ ¡¡ GB ¯ ¡¡ GC ¯ ¡¡ GD ˘¡ 0 b) Montrer que ¡ AG ˘ 3 4 ¡¡¡ AGA, où GA est le centre de gravité du triangle BCD c) On appelle médiane issue de A la droite reliant A au centre de gravité du triangle BCD, et on définit de façon analogue les trois autres
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CHAPITRE II
GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE
§1. - VECTEURS DU PLAN.
1.1. Exercices traités.
E XERCICE 1. - Soient A,B,A",B"quatre points du plan. Établir que : AB A" B" AA" BB"= Û == Û == Û == Û =???? ?????? ???? ????.Solution.
- Il suffit de montrer l"implication : AB A" B" AA" BB"====????====???? ?????? ???? ????.Or, si
AB A" B"====???? ??????, on a en vertu de la relation de Chasles : AA" AB BA" A" B" BA" BB"= + = + == + = + == + = + == + = + =???? ???? ???? ?????? ???? ????, d"où le résultat. ■ E XERCICE 2. - On considère un triangle ABCdu plan. a) Montrer l"existence d"un unique pointG, appelé centre de gravité du trian-
gle ABC, tel que l"on ait GA GB GC 0+ + =+ + =+ + =+ + =???? ???? ???? ?. b) Soit Ile milieu de BC. Montrer que G appartient au segment AI et que l"on a 23AG AI====.
c) Déduire de ce qui précède que les trois médianes du triangleABCsont
concourantes.Solution.
- a) Fixons une origine O. Si le point G existe, il doit vérifier :0 GA GB GC (GO OA) (GO OB) (GO OC )
3OG OA OB OC,= + + = + + + + +
EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB
2 d"où : 13OG (OA OB OC )= + += + += + += + +???? ???? ???? ????.
Ceci prouve l"unicité de
G. Pour montrer son existence, considérons
le pointG défini par :
13OG (OA OB OC )= + += + += + += + +???? ???? ???? ????.
On a :
GA GB GC (GO OA) (GO OB) (GO OC )
3OG (OA OB OC ) 3OG 3OG O,
etG vérifie les conditions imposées.
b) On a :GA (GB GC ) (GI IB GI IC ) 2GI= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -???? ???? ???? ??? ??? ??? ??? ???
car I est le milieu de AB et donc IB IC 0+ =+ =+ =+ =??? ??? ?. Les vecteurs GA???? et GI??? sont colinéaires, et par conséquent les pointsA,I,G sont alignés. De
plus, G est situé entre A et I et la relation GA 2GI==== implique que 23AG AI====.
c) La question b) montre queG est situé sur les trois médianes du
triangle ABC. Ces dernières sont donc concourantes en G.■ E XERCICE 3. - Montrer que trois vecteurs du plan sont toujours linéaire- ment dépendants.Solution.
- Soient 1 2 3V ,V ,V??? ??? ??? trois vecteurs du plan. Supposons par l"absurde que ces trois vecteurs soient linéairement indépendants.Alors, les vecteurs
1 2V ,V??? ??? seraient a fortiori linéairement indépendants
et3V??? serait non nul. Dans ce cas, 1 2(V ,V )??? ??? constituerait une base du
plan, et le vecteur non nul3V??? se décomposerait sous la forme
3 1 1 2 2VλVλV= += += += +??? ??? ??? avec des iλ réels. On aurait alors :
1 1 2 2 3λVλV V 0+ - =+ - =+ - =+ - =??? ??? ??? ?
et donc, par indépendance linéaire,1 2λ λ1 0= = - == = - == = - == = - =, ce qui est absurde.
Donc1 2 3V ,V ,V??? ??? ??? sont linéairement dépendants. ■
GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE
31.2. Exercices proposés.
E XERCICE I. - Un avion navigue avec une vitesse au sol de 300km/h dans une direction de 60° (angle par rapport au Nord, calculé dans le sens des aiguilles d"une montre). Mais le vent souffle de l"Ouest à une vitesse au sol de 65 km/h.Déterminer la vitesse réelle au sol de l"avion, ainsi que sa direction réelle (en degrés,
par rapport au Nord).Réponse.
- La vitesse réelle au sol de l"avion est de 357 km/h, dans une direction d"environ 65° par rapport au Nord.■ E XERCICE II. - Soient ABC un triangle du plan, G son centre de gravi- té, I le milieu de AC et J le symétrique de G par rapport à Isur la droite BI. a) Montrer que l"on a, pour tout pointM du plan : (((())))1
3MG MA MB MC= + += + += + += + +???? ???? ???? ???? et (((())))1
3MJ 2MA MB 2MC= - += - += - += - +???? ???? ???? ????.
b) En déduire l"ensemble des pointsMdu plan tels que :
2MA MB 2MC MA MB MC- + = + +- + = + +- + = + +- + = + +???? ???? ???? ???? ???? ????.
Réponse.
- L"ensemble cherché est la médiatrice du segment GJ.■ E XERCICE III. - Quelles conditions doivent vérifier deux vecteurs U?? et V?? pour que l"on ait :U V U V+ = ++ = ++ = ++ = +?? ?? ?? ???
Les vecteurs
U?? et V??forment-ils alors une base ?
Réponse.
- La condition sur les normes est vérifiée si et seulement si l"un des vecteurs U?? ou V?? est nul, ou bien si aucun n"est nul mais il existe λ0>>>> tel que VλU====?? ??. Les vecteurs U?? et V?? sont proportion- nels dans tous les cas ; ils ne forment donc pas une base. ■§2.
- COORDONNÉES CARTÉSIENNES.EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB
42.1. Exercices traités.
E XERCICE 4. - Soient a,b deux nombres strictement positifs. On considère les points A et B du plan de coordonnées (lna,sina) et (lnb,sinb) dans un repère orthonormé. Déterminer les coordonnées cartésiennes du milieuI du segment
AB.Solution.
- Comme OA OB2OI++++====
???? ???????, les coordonnées ( x,y ) du pointI sont données par :
1 2 a b a b1 2 2 2 x (lna lnb) ln ab, y (sina sinb) sin( )cos( )+ -+ -+ -+ - et donc x ln ab====, a b a b2 2y sin( )cos( )+ -+ -+ -+ -====.■
E XERCICE 5. - Déterminer le réel λ pour que les vecteurs (((())))1Uλ====---- ?? et (((())))λV2λ1====++++ ?? soient linéairement indépendants.Solution.
- Le produit mixte de ces deux vecteurs est donné par :2 21λU,V 2λ1λ(1λ)λ2λ1? ?? ?? ?? ?= = + + = += = + + = += = + + = += = + + = +? ?? ?? ?? ?- +- +- +- +
Il est non nul si et seulement si
λ1¹ -¹ -¹ -¹ -, de sorte que les vecteurs U?? et V?? sont linéairement indépendants si et seulement si λ1¹ -¹ -¹ -¹ -. ■2.2. Exercices proposés.
E XERCICE IV. - On considère les points A et B de coordonnées carté- siennes respectives (2, 1)---- et (1,3).Déterminer les coordonnées cartésiennes de la projection deB sur la droite OA.
Réponse.
- Cette projection a pour coordonnées cartésiennes 25x= -= -= -= - et 1
5y====. ■
E XERCICE V. - On considère les vecteurs θU??? et θV??? de coordonnées res- pectives (2cosθ,θ) et (1,θcosθ). Déterminer le réel θ pour que les vecteursGÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE
5θU??? et θV??? forment une base. Préciser alors le produit mixte θ θU ,V? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?
??? ??? et l"aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs ?Réponse.
- Les vecteurs θU??? et θV??? forment une base si et seule-ment siθ est non nul et non congru à π
4 modulo π
2. Dans ce cas, on a
θ θU ,Vθcos2θ? ?? ?? ?? ?====? ?? ?? ?? ? ??? ???, et l"aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs est égale àθcos2θ. ■
§3.
- PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS.3.1. Exercices traités.
E XERCICE 6. - Soient U,V?? ?? deux vecteurs du plan. Montrer que l"on a :22 2 2U,V U V U V? ?? ?? ?? ?+ × = ++ × = ++ × = ++ × = +? ?? ?? ?? ?
Solution.
- Notons ( x,y ) et ( z,t ) les coordonnées de U?? et V?? dans un repère orthonormé. On a :222 2 2 2U,V xt yz x t y z 2xyzt? ?? ?? ?? ?= - = + -= - = + -= - = + -= - = + -? ?? ?? ?? ?
222 2 2 2U V xz yt x z y t 2xyzt× = + = + +× = + = + +× = + = + +× = + = + +?? ??,
d"où :222 2 2 2 2 2 2 2U,V U V x t y z x z y t? ?? ?? ?? ?+ × = + + ++ × = + + ++ × = + + ++ × = + + +? ?? ?? ?? ?
Par ailleurs, on a :
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2U V x y z t x z x t y z y t= + + = + + += + + = + + += + + = + + += + + = + + +?? ??,
d"où le résultat. ■ E XERCICE 7. - Montrer que, dans un parallélogramme, la somme des car- rés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.Solution.
- Considérons un parallélogramme ABCD du plan, de diagonalesAC et BD. On a :
AC AB AD= += += += +???? ???? ???? et DB AB AD= -= -= -= -???? ???? ????, d"où :EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB
62 2 2 2AC AB AD AB AD 2AB AD= + = + + ×= + = + + ×= + = + + ×= + = + + ×???? ???? ???? ???? ???? ???? ????,
2 2 2 2DB AB AD AB AD 2AB AD= - = + - ×= - = + - ×= - = + - ×= - = + - ×???? ???? ???? ???? ???? ???? ????.
En sommant ces deux relations membre à membre, on obtient :2 2 2 2AC DB 2 AB AD( )( )( )( )+ = ++ = ++ = ++ = +( )( )( )( )( )( )( )( )
Comme AB DC====???? ???? et AD BC====???? ????, on en déduit que :2 2 2 2 2 2AC DB AB BC CD DA+ = + + ++ = + + ++ = + + ++ = + + +,
et le résultat est démontré. ■ E XERCICE 8. - Déterminer l"ensemble des points Mdu plan desquels on voit un segmentAB sous un angle droit.
Solution.
- On exploite l"identité de polarisation : (1)2 21U V U V U V2( )( )( )( )× = + - -× = + - -× = + - -× = + - -( )( )( )( )( )( )( )( )
en posant U MA====?? ???? et V MB====?? ????. Si I désigne le milieu de AB, on a : MA MB 2MI+ =+ =+ =+ =???? ???? ???? et MA MB BA- =- =- =- =???? ???? ???, de sorte que l"identité de polarisation (1) s"écrit : (((( ))))2 21MA MB 4MI AB2× = -× = -× = -× = -???? ????.Le point
M regarde le segment AB sous un angle droit si et seu- lement si MA MB 0× =× =× =× =???? ???? ? i.e. (d"après ce qui précède) si et seulement si2 24MI AB====, ce qui équivaut encore à :
ABMI2====.
L"ensemble des points
M desquels on voit le segment AB sous
un angle droit est donc le cercle de centre le milieuI de AB, et de
diamètre AB. Les cas où M est égal à A ou B sont particuliers, car l"angle que fait les demi-droitesMA et MB n"est plus défini.■
3.2. Exercices proposés.
GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE
7 EXERCICE VI. - On considère quatre points distincts A,B,C,Mdu plan.Montrer que, si l"on a
AB AC AB AM× = ×× = ×× = ×× = ×???? ???? ???? ?????, la droite CM est une hauteur du
triangle ABC.