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b) Déterminer la matrice colonne C telle que : C = DC +E c) On pose la suite de matrice (Xn) telle que : Xn = Un − C Montrer que : Xn+1 = DXn d) En déduire alors Xn puis Un en fonction de n, a0 et b0 e) Montrer alors que (Un) converge vers C Exercice11 On estime que les patients admis dans un certain service d’un hôpital peuvent se

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En déduire l’expression de la matrice An en fonction de n 5) a) Montrer que X n = 3 5 − 3 5 $ 1 6 n 3 5 + 2 5 $ 1 6 n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ b) Déterminer alors les limites des suites (u

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Exercice 1 1 1 3 o o 0 0 n—l n3 1 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : A n 2 Application à l'étude de deux suites On considère les suites (an)neN et (bn)neN définies par ao — — 2, bo 0 et pour tout n N : 3bn + 37b 1 n=input 2 for i=l:n end disp(a) = AXn an +1 a) Quelle instruction faut-il ajouter en ligne

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I a) Montrer que f est un endomorphisme de b) Montrer que f f 2 Déterminer le spectre de f 3 a) Montrer que le vecteur y appartient à l'image de f, notée Imf, si et seulement si f (y) b) Montrer que la dimension de 1m f est inférieure ou égale n — I c) Montrer que pour tout i [1, n— Il, on a (ei — ei+l) e Irnf

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CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

1) Pour des raisons de séurité, l’angle doit être inférieur à 25° Montrer que ’est ien le as ii REPONSE : (1,5 point) Le triangle ACD est rectangle en A On a donc : cos = cos = ; cos-1() ≈22,62 L’angle mesure donc environ 22,6° La mesure de cet angle est bien inférieure à 25 ° omme les raisons de séurité l’exigent

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Il su t de remarquer, par [Chap 1, Corollaire 1 8], que jjx n x mjj X = sup ‘2X jj‘jj X 1 j‘(x n) ‘(x m)j: Exercice Soit f une fonction d e nie sur un compact K du plan complexe a valeurs dans un espace de Banach X On dit que f est faiblement continue si pour tout ‘2X, l’application K3z7‘(f(z)) est continue Montrer que sup