Inégalités – Valeur absolue - Free
Une méthode va être vu tout de suite, une autre sera développée dans le chapitre « Fonctions usuelles » Méthode : On part de l’inégalité a ≤ b et, en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2 2, on aboutit à une relation entre f (a) et f (b)
Valeurs absolues Partie entière Inégalités
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI Montrer que, pour a réel positif et n entier naturel donnés, (1+a)n >1+na Correction H [005147] Exercice 3 *** On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations + et ) que pour n2N, (1+ 1 n) n
Chapitre 1 MAJORER, MINORER
Si on multiplie une in´egalit´e par un nombre positif, on ne change pas le sens de l’in´egalit´e; si on multiplie une in´egalit´e par un nombre n´egatif, on change le sens de l’in´egalit´e Exercice -Montrer que, pour tous les r´eels x, y, z et t tels que x ≤ y et z ≤ t, on a x +z ≤ y +t D’apr`es (v), x + z ≤ y + z
DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE
V Valeurs absolues et opérations ♦ La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues Pour tous réels a et b, a × b = a × b ♦ La valeur absolue d'un quotient est égale au quotient des valeurs absolues Pour tous réels a et b, b ≠ 0, a b = a b
Inégalités des accroissements finis
De la même façon, en posant h(x) = m x – f(x), on montre l’autre inégalité 2 Théorème des inégalités des accroissements finis avec valeurs absolues Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I S’il existe un réel positif M tel que pour tout x appartenant à I tels que f'(x)⩽M, alors quels que
TD n 1 - Méthodes en analyse Généralités sur les fonctions
Exercice n 5 Résoudre des (in)équations avec valeurs absolues a) Géométriquement : Résoudre, sans calcul et en utilisant uniquement la droite numérique, les(in)équationsd’inconnuex2R : jx 1j= 1 jx+ 1j 2 jx 1j jx 2j b) Algébriquement: Résoudre,les(in)équationsd’inconnuex2R : j1 x2j= j1 + xj jx+ 1j j2x+ 1j+ 1 jx2 2j jxj
9782340-026940 001 504 - editions-ellipsesfr
25 Établir une inégalité 104 26 Résoudre une équation avec des valeurs absolues ou des radicaux 108 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux 112 28 Manipuler la partie entière 116 Fonctions : généralités 29 Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction 119
RAPPELS SUR LES INEGALITESI Manipuler des inégalités I
• Inégalité triangulaire Définition 1 Exemple 3 — Résoudre l’inéquation : j2 xj+j2x+4j 5 d’inconnue x 2R SF 3 : résoudre une inéquation avec des valeurs absolues Soient x;a2R et r 2R+ • jxj r si et seulement si : • jx aj r ssi : Théorème 2 : Interprétation géométrique • Lien avec la racine carrée Soit x 2R et
Entre la Terminale et les CPGE scientifiques
Pente d’une droite de R2 Soit Dune droite du plan R2 non parallèle à l’axe des ordonnées : Dadmet donc une unique équation de la forme y=ax+b, avec (a,b)∈R2 On appelle penteou coefficient directeur de Dle réel a L’interprétation géo-métrique est claire : si M1 et M2 sont deux points distincts de Dde coordonnées respectives
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Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0 (***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C. ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en (Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat : =n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit lesPour cela développer, puis majoreruk=Cknn
ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12 Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a
1+:::+1a
n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).
3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap; Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?
5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7. Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24
(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.
3.mg=x+y2
pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4. D"après 1), la mo yennearithmétique de
1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique. B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2
, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA 0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4
Pourn2N,(1+1n
)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12 12n<12
Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612
uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1: En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,
(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j! 16i;j6na
ia j=nå i=1a ia i+å 16i
16i
Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x
.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x 2=(x1)(x+1)x
2.f 1. Par suite,
8x>0;f(x)>f(1) =1+11
=2: On en déduit alors que
nå i=1a inå j=11a j>n+å 16i
1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est
alors négatif ou nul. Ceci fournit 5 0>D0= (nå
k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.
Finalement, dans tous les cas,
j ånk=1akbkj6qå
nk=1a2kqå